河南省开封市高考数学三模试卷理科.doc

2018年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1（3分）已知集合A=x|y=lg（1x），B=y|y=2x+1，则（） AAB=x|x0BAB=RCAB=x|x1DAB=2（3分）下面是关于复数z=2i的四个命题：p1：|z|=5；p2：z的共轭复数为2+i；p3：z2=34i；p4：其中真命题为（） Ap1，p2Bp2，p3Cp2，p4Dp3，p43（3分）已知sin（）=，则sin（）=（） ABCD4（3分）已知函数，则f（x）（） A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数 C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数5（3分）已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（） A35B33C31D296（3分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）=68.26%，P（2+2）=95.44%） A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%7（3分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（） AB2CD8（3分）我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（） A4B5C2D39（3分）设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（） A0g（a）f（b）Bf（b）g（a）0Cf（b）0g（a）Dg（a）0f（b）10（3分）设双曲线（a0，b0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AB，AC的垂线交于D，若D到直线BC的距离不小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（） A（1，B（1，2C）D2，+）11（3分）如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（） AB2C8D612（3分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数f（x），若对于任意实数x，有f（x）f（x），且y=f（x）1为奇函数，则不等式f（x）ex的解集为（） A（，0）B（0，+）C（，e4）D（e4，+）二、填空题13（3分）已知非零向量，的夹角为60，且|=1，|2|=1，则|= 14（3分）若x，y满足，则z=y2|x|的最大值为 15（3分）甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9、0、2、1、5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为 16（3分）设数列an是首项为0的递增数列，fn（x）=|sin（xan）|，xan，an+1，nN*，满足：对于任意的b0，1），fn（x）=b总有两个不同的根，则an的通项公式为 三、解答题17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知3a2=3b2+3c2（1）求A；（2）若a=3，求ABC周长的取值范围18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，二面角PADC为120，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上（）平面PCD平面ABCD；（）设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为，试确定点F的位置，使得19某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元（）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，nN）的函数解析式f（n）；（）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，F1，F2分别为左、右焦点，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，且PQF2的周长为8（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M（3，0）的直线交椭圆C于不同两点A，BN为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围21已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直（）求实数a的值；（）函数g（x）=f（x）+bx，若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（）设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）g（x2）的最小值22（10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l经过定点P（1，1），倾斜角为（）写出直线l的参数方程，将圆锥曲线C的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，到到曲线C写出C标准方程；（）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值23已知函数f（x）=|2x1|2x+3|（）求不等式f（x）x的解集；（）若不等式f（x）my，（m0），对任意的实数x，yR恒成立，求实数a的最小值2018年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1【分析】先分别求出集合A和B，利用交集定义能求出结果【解答】解：集合A=x|y=lg（1x）=x|x1，B=y|y=2x+1=y|y1，AB=故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数、运算法则即可判断出真假【解答】解：关于复数z=2i的四个命题：p1：|z|=，因此是假命题；p2：z的共轭复数为2+i，正确；p3：z2=414i=34i，正确；p4：=+i，因此是假命题其中真命题为p2，p3故选：B【点评】本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数、运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：已知sin（）=，则sin（）=sin（）=sin（）=，故选：C【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题4【分析】由奇偶性的定义，计算f（x）和f（x），可得f（x）为奇函数，由指数函数的单调性，即可判断f（x）的单调性【解答】解：函数，可得f（x）=axax=f（x），则f（x）为奇函数，由y=ax递增，y=ax递减，可得f（x）在R上递减，故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和指数函数的单调性，属于基础题5【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可【解答】解：a2a3=a1qa1q2=2a1a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2q=，a1=16故S5=31故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题6【分析】由题意P（33）=68.26%，P（66）=95.44%，可得P（36）=（95.44%68.26%），即可得出结论【解答】解：由题意P（33）=68.26%，P（66）=95.44%，所以P（36）=（95.44%68.26%）=13.59%故选：B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题7【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，直线l的方程为y=1，由 ，可得交点的横坐标分别为2，2直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x）|=故选：C【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数8【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S10，退出循环，输出n的值为4，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S10，退出循环，输出n的值为4故选：A【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的a，A，S的值是解题的关键，属于基础题9【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案【解答】解：y=ex和y=x2是关于x的单调递增函数，函数f（x）=ex+x2在R上单调递增，分别作出y=ex，y=2x的图象如右图所示，f（0）=1+020，f（1）=e10，又f（a）=0，0a1，同理，g（x）=lnx+x23在R+上单调递增，g（1）=ln1+13=20，g（）=+（）23=0，又g（b）=0，1，g（a）=lna+a23g（1）=ln1+13=20，f（b）=eb+b2f（1）=e+12=e10，g（a）0f（b）故选：D【点评】本题考查了函数的性质，考查了函数图象熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键本题运用了数形结合的数学思想方法属于中档题10【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BDAC得=1，求出cx，利用D到直线BC的距离不小于a+c，即可得出结论【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BDAC得=1，cx=，D到直线BC的距离不小于a+c，cx=|a+c，c2a2=b2，11，2，e，双曲线的离心率的取值范围是，+），故选：C【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出交点D的坐标是解决本题的关键考查学生的计算能力11【分析】直观图如图所示，底面为梯形，面积为=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积【解答】解：直观图如图所示，底面为梯形，面积为=3，四棱锥的高为2，几何体的体积为=2，故选：B【点评】本题考查几何体的体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键12【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g（x），根据条件判断出g（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集【解答】解：由题意令g（x）=，则g（x）=，f（x）f（x），g（x）0，即g（x）在R上是单调递减函数，y=f（x）1为奇函数，f（0）1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）ex等价为1=g（0），即g（x）g（0），解得x0，不等式的解集为（0，+），故选：B【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想二、填空题13【分析】运用向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，解方程即可得到所求值【解答】解：非零向量，的夹角为60，且|=1，|2|=1，设|=t，可得（2）2=1，即为424+2=4t24t+1=1，解得t=，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查方程思想和运算能力，属于基础题14【分析】当x0时，可行域为四边形OBCD，目标函数为y=2x+z，当x0时，可行域为三角形AOD，目标函数为y=2x+z，分别平移直线可得最大值，综合可得【解答】解：作出x，y满足所对应的可行域（如图ABC），当x0时，可行域为四边形OBCD，目标函数可化为z=y2x即y=2x+z，平移直线y=2x可知当直线经过点D（0，2）时，直线截距最大，z取最大值2；当x0时，可行域为三角形AOD，目标函数可化为z=y+2x即y=2x+z，平移直线y=2x可知当直线经过点D（0，2）时，直线截距最大，z取最大值2综合可得z=y2|x|的最大值为2，故答案为：2【点评】本题考查简单线性规划，涉及分类讨论思想，数形结合是解决问题的关键，属中档题15【分析】根据题意，由奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行，分2步进行分析：、安排偶数日出行，、安排奇数日出行，分两类情况讨论，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，当月5日至9日中，分为5，6，7，8，9，有3天奇数日，2天偶数日，分2步分析：、安排偶数日出行，每天都有2辆车可供选择，共有22=4种选择方法，、安排奇数日出行，分两类情况讨论，第一类，先选1天安排甲的车，另外2天安排其它车，有322=12种，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23=8种，共计12+8=20种选择方法，根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有420=80，故答案为：80【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步和分类计数原理，关键是掌握如何分步讨论和分类分析16【分析】根据条件确定an+1an=n，利用叠加可求得an的通项公式【解答】解：a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（xa1）|=|sinx|，x0，a2，又对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a2=f1（x）=sinx，x0，a2=又f2（x）=|sin（xa2）|=|sin（x）|=|cos|，x，a3对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a3=3（5分） 又f3（x）=|sin（xa3）|=|sin（x3）|=|sin|，x3，a4对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a4=6（6分）由此可得an+1an=n，an=a1+（a2a1）+（anan1）=0+（n1）=故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题三、解答题17【分析】（1）已知等式利用面积、余弦定理化简，整理后求出A的度数即可；（2）记ABC周长为y，y=a+b+c=2sinB+2sin（B）+3=2sin（B+）+3根据B，可得ABC周长的取值范围【解答】解：（1）S=，由已知得：，化简得：=，tanA=，A（0，），A=（2）在ABC中，由正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC=2，记ABC周长为y，y=a+b+c=2sinB+2sin（B）+3化解得：y=2sinB+2（+3=2sin（B+）+3B，周长y）综上所述：ABC周长的取值范围（6，3+2）【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键18【分析】（）推导出ADPD，ADDC，从而AD平面PCD，由此能证明平面PCD平面ABCD（）过D作DGDC交PC于点G，推导出DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出当时，满足【解答】证明：（）AD=PD=2，ADPD，又ADDC，AD平面PCD，3分又AD平面ABCD，平面PCD平面ABCD 5分解：（）过D作DGDC交PC于点G，则由平面PCD平面ABCD知，DG平面ABCD，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，7分AD平面PCD，PDC=120，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），又E为PC的中点，E，设F（2，t，0），则，8分设平面DEF的法向量为n=（x1，y1，z1），则，取z1=2，求得平面DEF的一个法向量=（），9分设平面ADP的法向量为=（x2，y2，z2），则，取=（0，1） 10分，解得当时，满足12分【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足余弦值的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19【分析】（I）对n分类讨论，利用利润与周需求量的关系即可得出（II）利用频率估计概率，利用随机变量的分布列即可得出【解答】解：（I）当n20时，f（n）=50020+200（n20）=200n+6000，当n19时，f（n）=500n100（20n）=600n2000，（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，X的分布列为X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1EX=88000.1+94000.2+100000.3+102000.3+104000.1=9860【点评】本题考查了利润与需求量的关系、频率估计概率、随机变量的分布列及其期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20【分析】（1）利用已知条件，求出a，b，即可得到椭圆方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），AB的方程为y=k（x3），由，整理得（1+4k2）x224k2x+36k24=0利用判别式以及韦达定理，结合=t（x，y），求出N的坐标，代入椭圆方程，利用弦长公式，化简不等式，求出K的范围，然后求解t的范围【解答】解：（1），a2=4b2又4a=8，a=2，b2=1，椭圆C的方程是（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），AB的方程为y=k（x3），由，整理得（1+4k2）x224k2x+36k24=0由=242k416（9k21）（1+4k2）0，得，=t（x，y），则，=由点N在椭圆上，得，化简得36k2=t2（1+4k2）又由，即，将x1+x2，x1x2代入得，化简，得（8k21）（16k2+13）0，则8k210，由，得，联立，解得3t24或，即【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，范围问题的解决方法，考查函数与方程的思想，转化思想的应用，考查计算能力，难度比较大21【分析】（）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得k=f（1）=1+a=2，解可得a的值，即可得答案；（）根据题意，求出函数g（x）的导数，利用导数与函数单调性的关系分析可得g（x）0在（0，+）上有解，设（x）=x2（b1）x+1，分析可得，解可得b的取值范围；（）根据题意，由函数的导数与极值的关系，分析可得x1，x2（x1x2）是x2（b1）x+1=0的两个根，由函数的解析式计算g（x1）g（x2）的表达式，结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解：（）根据题意，f（x）=x+alnx，则，又由切线与直线x+2y=0垂直，则有k=f（1）=1+a=2，即a=1，（）根据题意，g（x）=f（x）+bx，则，由题知g（x）0在（0，+）上有解，x0设（x）=x2（b1）x+1，而（0）=10，所以要使g（x）0在（0，+）上有解，则只需，即，所以b的取值范围为（3，+）（），令 g（x）=0，得x2（b1）x+1=0，x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，则x1，x2（x1x2）是x2（b1）x+1=0的两个根，x1+x2=b1，x1x2=1，=，令，则，0x1x2，又，所以，所以，整理有4t217t+40，解得，而，所以h（t）在单调递减，则有h（t）h（）=2ln2；故g（x1）g（x2）的最小值是【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性、极值以及曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义22【分析】（）由l经过定点P（1，1），倾斜角为，能求出直线l的参数方程；由sin2+cos2=1，且，能求出圆锥曲线C的标准方程（）把直线l的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程，得，由此能求出|PA|PB|的值【解答】解：（）l经过定点P（1，1），倾斜角为，直线l的参数方程为（t为参数）2分sin2+cos2=1，且，圆锥曲线C的标准方程为4分（）把直线l的参数方程（t为参数）代入圆锥曲线C的标准方程x2+y2=1，得，6分设是方程的两个实根，则t1t2=1，故|PA|PB|的值为18分【点评】本题考查直线的参数方程、曲线的标准方程的求法，考查两线段长的积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23【分析】（）f（x）=|2x1|2x+3|=即可分段解不等式即可（）由|2x1|2x+3|4，my4，即a4mym2y，令my=t，a（t2）2+4，即可得a的最小值【解答】解：（）f（x）=|2x1|2x+3|=f（x）x的解集为，+）（）|2x1|2x+3|4，当m3时，my4，即a4mym2y，令my=t，a（t2）2+4，当且仅当t=2，即my=2，y=logm2时，a4，当m=1时，依题意知a3，综上所述，a的最小值为3【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理，属于中档题