5月昆明市高考数学文模拟试卷含答案和解释.docx

2017年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（5月份） 　 一、选择题 1．设集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，则A∩B=（　　） A．{x|2≤x＜6} B．{x|0≤x＜6} C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5} 2． =（　　） A．�i B．i C．1 D．�1 3．一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（　　） A．25π B．50π C．100π D．200π 4．AQI（Air　Quality　Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（　　） A．3 B．4 C．12 D．21 5．已知非零向量 ，满足•=0，||=3，且与+的夹角为，则||=（　　） A．6 B．3 C．2 D．3 6．若tanθ=�2，则sin2θ+cos2θ=（　　） A． B．� C． D．� 7．已知F1、F2为双曲线C：�=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为（　　） A． B． C． +1 D． 8．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=�3，则BC边上的高等于（　　） A．1 B． C． D．2 9．定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（　　）
A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.72 10．我国南北朝时期的伟大科学家祖��在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖��原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2（x≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖��原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（　　） A． B．6π C．8π D．16π 11．已知函数f（x）=，若方程f（x）�ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，） B．[，） C．（，] D．（�∞，0]∪[，+∞） 12．设F为抛物线C：y2=8x，曲线y=（k＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（k＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则等于（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题 13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最大值为　　． 14．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），A、B是函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）=　　． 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为　　． 16．若关于x的不等式a≤x2�3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b�a=　　． 　 三、解答题 17．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1． （Ⅰ）证明数列{}是等差数列； （Ⅱ）求数列{}的前n项和． 18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求图中a的值； （Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数； （Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率．
19．如图，已知三棱锥P�ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点． （Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC； （Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P�ABC的体积．
20．已知动点M（x，y）满足： +=2，M的轨迹为曲线E． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ1， =λ2，求证：λ1+λ2为定值． 21．已知函数f（x）=（2x2+x）lnx�（2a+1）x2�（a+1）x+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b�a的最小值． 　 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x�2）2+y2=4，直线l的方程为x+y�12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程； （Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1． （Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1； （Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1． 　   2017年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（5月份） 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．设集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，则A∩B=（　　） A．{x|2≤x＜6} B．{x|0≤x＜6} C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5} 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】由A与B，求出两集合的交集即可． 【解答】解：∵集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}， ∴A∩B={2，3，4，5}， 故选：D 　 2． =（　　） A．�i B．i C．1 D．�1 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解： =， 故选：A． 　 3．一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（　　）
A．25π B．50π C．100π D．200π 【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积． 【分析】由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，可得球的半径为，即可求出这个球的表面积． 【解答】解：由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为 =5 ， ∴球的半径为 ， ∴这个球的表面积为 =50π， 故选：B． 　 4．AQI（Air　Quality　Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（　　） A．3 B．4 C．12 D．21 【考点】BA：茎叶图． 【分析】通过读茎叶图求出空气质量是优的概率，从而求出30天空气质量是优的天数即可． 【解答】解：由茎叶图10天中有4天空气质量是优， 即空气优的概率是p= = ， 故30天中有 ×30=12天是优， 故选：C． 　 5．已知非零向量 ， 满足 • =0，| |=3，且 与 + 的夹角为 ，则| |=（　　） A．6 B．3 C．2 D．3 【考点】9V：向量在几何中的应用；9S：数量积表示两个向量的夹角． 【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可． 【解答】解：非零向量 ， 满足 • =0，可知两个向量垂直，| |=3，且 与 + 的夹角为 ， 说明以向量 ， 为邻边， + 为对角线的平行四边形是正方形，所以则| |=3． 故选：D． 　 6．若tanθ=�2，则sin2θ+cos2θ=（　　） A． B．� C． D．� 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 【解答】解：sin2θ+cos2θ= = = =� ， 故选：D． 　 7．已知F1、F2为双曲线C： � =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为（　　） A． B． C． +1 D． 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的简单性质，通过三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可． 【解答】解：F1、F2为双曲线C： � =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点， 点P在C的渐近线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形， 可得： ，即：b=2a，可得c2�a2=4a2， 即e2=5，e＞1， 解得e= ， 则C的离心率为 ． 故选：A． 　 8．在△ABC中，已知AB= ，AC= ，tan∠BAC=�3，则BC边上的高等于（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】HS：余弦定理的应用；HT：三角形中的几何计算． 【分析】求出∠BAC的余弦函数值，然后求解BC的距离，通过求解三角形求解即可． 【解答】解：在△ABC中，已知AB= ，AC= ，tan∠BAC=�3， 可得cos∠BAC=� =� ，sin∠BAC= ． 由余弦定理可得：BC= = =3， 设BC边上的高为h， 三角形面积为： = BC•h， h= =1． 故选：A． 　 9．定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（　　） A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.72 【考点】EF：程序框图． 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的e，n的值，当n=5时满足条件退出循环，输出e的值即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 ɛ=0.01，e=1，n=1 执行循环体，e=2，n=2 不满足条件 ＜ɛ，执行循环体，e=2+0.5=2.5，n=3 不满足条件 ＜ɛ，执行循环体，e=2.5+ ，n=4 不满足条件 ＜ɛ，执行循环体，e=2.5+ + ，n=5 由于 ≈0.008＜ɛ=0.01，满足条件 ＜ɛ，退出循环，输出e的值为2.5+ + =2.71． 故选：C． 　 10．我国南北朝时期的伟大科学家祖��在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖��原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2（x≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖��原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（　　） A． B．6π C．8π D．16π 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】由题意，4x=π•22，求出x=π，再求出长方体的一半的体积即可． 【解答】解：由题意，4x=π•22，∴x=π， ∴旋转体D的体积是 =8π， 故选C． 　 11．已知函数f（x）= ，若方程f（x）�ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（　　） A．（0， ） B．[ ， ） C．（ ， ] D．（�∞，0]∪[ ，+∞） 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围． 【解答】解：∵方程f（x）�ax=0恰有两个不同实数根， ∴y=f（x）与y=ax有2个交点， 又∵a表示直线y=ax的斜率， ∴x＞1时，y′= ， 设切点为（x0，y0），k= ， ∴切线方程为y�y0= （x�x0）， 而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k= ， ∴直线l1的斜率为 ， 又∵直线l2与y= x+1平行， ∴直线l2的斜率为 ， ∴实数a的取值范围是[ ， ） 故选：B． 　 12．设F为抛物线C：y2=8x，曲线y= （k＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y= （k＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则 等于（　　） A． B． C． D． 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线的定义求出焦点坐标和准线方程，设A（x0，y0），根据题意可求出A（1，2 ），继而求出答案． 【解答】解：F为抛物线C：y2=8x的焦点，则F（2，0），其准线方程为x=�2， 设A（x0，y0） ∵y= ， ∴k=x0y0=2x0 ∴y′=� ， ∴直线AF的斜率为� =� ∵kAF= =， ∴� = ， 解得x0=1， ∴A（1，2 ）， ∴AC=1+2=3，FD=4， ∴ = = ， ∴ = ， ∴AB=3， ∴ = ， 故选：B． 　 二、填空题 13．已知实数x，y满足 ，则z=x+y的最大值为　3　． 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， A（0，3）， 化目标函数z=x+y为y=�x+z， 由图可知，当直线y=�x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3． 故答案为：3． 　 14．已知函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω＞0），A、B是函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2 ，则f（1）=　 　． 【考点】HW：三角函数的最值． 【分析】由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2 求出ω，可得函数的解析式，即可求出f（1）． 【解答】解：由题意可得 =2 ，∴ω= ， ∴函数f（x）=sin（ x+ ）， ∴f（1）= ， 故答案为： ． 　 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为　（�∞，10]　． 【考点】8I：数列与函数的综合． 【分析】先根据an=4n得到数列{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式得到Sn=2n+2n2，原不等式转化为λ≤2（n+ ）+2，根据基本不等式即可求出答案． 【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n， 当n=1时，a1=4， ∵an�an�1=4n�4（n�1）=4， ∴数列{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列， ∴Sn= =2n+2n2， ∵不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立， ∴2n+2n2+8≥λn对任意的n∈N*都成立， 即λ≤2（n+ ）+2， ∵n+ ≥2 =4，当且仅当n=2时取等号， ∴λ≤2×4+2=10， 故实数λ的取值范围为（�∞，10]， 故答案为：（�∞，10]． 　 16．若关于x的不等式a≤ x2�3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b�a=　4　． 【考点】74：一元二次不等式的解法． 【分析】画出函数f（x）= x2�3x+4的图象，可知f（x）min=1；分类讨论：a＞1时，不等式a≤ x2�3x+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意； 有a≤1＜b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值． 【解答】解：画出函数f（x）= x2�3x+4= （x�2）2+1的图象， 可得f（x）min=f（2）=1， 由图象可知：若a＞1，则不等式a≤ x2�3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a≤1，此时a≤x2�3x+4恒成立； 又∵不等式a≤ x2�3x+4≤b的解集为[a，b]， ∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得 ， 由 b2�3b+4=b，化为3b2�16b+16=0，解得b= 或b=4； 当b= 时，由 a2�3a+4� =0，解得a= 或a= ，不符合题意，舍去； ∴b=4，此时a=0； ∴b�a=4． 故答案为：4． 　 三、解答题 17．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1． （Ⅰ）证明数列{ }是等差数列； （Ⅱ）求数列{ }的前n项和． 【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和． 【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式可得数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列， （Ⅱ）由（Ⅰ）可得数列{ }是首项为2，公比为2的等比数列，再根据求和公式计算即可． 【解答】解：（1）∵a1=2，an+1=2an+2n+1， ∴ � = � = +1� =1， ∵ =1， ∴数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列， （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 =n， ∴ =2n， ∴数列{ }是首项为2，公比为2的等比数列， 故数列{ }的前n项和Sn= =2n+1�2 　 18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求图中a的值； （Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数； （Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率． 【考点】B3：分层抽样方法；CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】（Ⅰ）求出高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率，即可求图中a的值； （Ⅱ）确定2≤m＜2.5，由0.50（m�2）=0.5�0.47，得m的值，即可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数； （Ⅲ）确定基本事件的个数，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率分别为0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02， 由1�（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，∴a=0.30； （Ⅱ）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时， 因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4组频率和为0.47＜0.5， 所以2≤m＜2.5， 由0.50（m�2）=0.5�0.47，得m=2.06； （Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中的人分别有15人、20人，采用分层抽样抽取7人，分别为3人、4人，再从7人中随机抽取2人，有 =21种，抽取的两人恰好都在一组，有 =9种，故所求概率为 ． 　 19．如图，已知三棱锥P�ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点． （Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC； （Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P�ABC的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）由PA=PB，D为AB中点，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC； （Ⅱ）设PM交EF于N，连接DM，DN，由线面垂直的性质得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，进一步求得PD．即三棱锥P�ABC的高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P�ABC的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，PD⊂平面PAB， ∴PD⊥平面ABC； （Ⅱ）解：设PM交EF于N，连接DM，DN， ∵PM⊥平面EFD，DN⊂平面DEF， ∴PM⊥DN， 又E，F分别是PB，PC的中点， ∴N为EF的中点，也是PM的中点， ∴DN垂直平分PM，故PD=DM， 又DM为△ABC的中位线，则DM= =1，∴PD=1． ∵BC⊥AC，则 ． ∴三棱锥P�ABC的体积 　 20．已知动点M（x，y）满足： + =2 ，M的轨迹为曲线E． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若 =λ1 ， =λ2 ，求证：λ1+λ2为定值． 【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；J3：轨迹方程． 【分析】（Ⅰ）由已知，可得动点N的轨迹是以C（�1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，根据定义可得，a、c，可得曲线E的方程； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），由 =λ1 ， ，点P在曲线E上可得 …①，同理可得： …② 由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2�2y02=0的两个根，λ1+λ2为定值�4． 【解答】解：（Ⅰ）由 + =2 ，可得点M（x，y）到定点A（�1，0），B（1，0）的距离等于之和等于2 ． 且AB ，所以动点N的轨迹是以C（�1，0），A（1，0）为焦点的椭圆， 且长轴长为2 ，焦距2c=2，所以，c=1，b=1， 曲线E的方程为： ； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0）， 由 =λ1 ，（x1，y1�y0）=λ1（1�x1，�y1），∴ ， ∵过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，∴ ， ∴ …① 同理可得： …② 由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2�2y02=0的两个根， ∴λ1+λ2为定值�4． 　 21．已知函数f（x）=（2x2+x）lnx�（2a+1）x2�（a+1）x+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b�a的最小值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=（4x+1）（lnx�1）=0，得x=e．x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．即可得函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx�a），（x＞0）．可得函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea）即f（x）≥0恒成立，b≥e2a+ea．即b�a≥e2a+ea�a，构造函数g（t）=t2+t�lnt，（t＞0），g′（t）= ．可得g（t）min=g（ ）= ．即可得b�a的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx�3x2�2x+b（x＞0）． f′（x）=（4x+1）（lnx�1），令f′（x）=0，得x=e． x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0． 函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）； （Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx�a），（x＞0）． 令f′（x）=0，得x=ea． x∈（0，e a）时，f′（x）＜0，∈（ea ，+∞）时，f′（x）＞0． 函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea） ∴f（x）min=f（ea）=�e2a�ea+b， ∵f（x）≥0恒成立，∴f（ea）=�e2a�ea+b≥0，则b≥e2a+ea． ∴b�a≥e2a+ea�a 令ea=t，（t＞0），∴e2a+ea�a=t2+t�lnt， 设g（t）=t2+t�lnt，（t＞0），g′（t）= ． 当t∈（0， ）时，g′（t）＜0，当t 时，g′（t）＞0． ∴g（t）在（0， ）上递减，在（ ，+∞）递增． ∴g（t）min=g（ ）= ． f（x）≥0恒成立，b�a的最小值为 ． 　 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x�2）2+y2=4，直线l的方程为x+ y�12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程； （Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0， ））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求 的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；H9：余弦函数的定义域和值域． 【分析】（Ⅰ）利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法，分别写出曲线C与直线l的极坐标方程； （Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|= ，利用三角函数知识，可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为（x�2）2+y2=4，即x2+y2=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ； 直线l的方程为x+ y�12=0，极坐标方程为ρcosθ+ ρsinθ�12=0； （Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|= ， ∴ = = + sin（2θ+ ）， ∵θ∈（0， ），∴2θ+ ∈（ ， π）， ∴sin（2θ+ ）∈（� 1]， ∴ 的最大值为 ，此时 ． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1． （Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1； （Ⅱ）若abc≠0，证明 + + ≥1． 【考点】R6：不等式的证明． 【分析】利用柯西不等式，即可证明结论． 【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2， ∵a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1， ∴1≥（am+bn+cp）2， ∴|am+bn+cp|≤1； （Ⅱ）由柯西不等式，可得 + + =（ + + ）（a2+b2+c2）≥（m2+n2+p2）2=1， ∴ + + ≥1． 　   2017年5月22日

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