2014杭州二中高考数学热身考试卷有答案理科.docx

2014杭州二中高考数学热身考试卷（有答案理科） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 考试时间120分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合 ，集合 ，若 , 则 等于（ ） A． B． C． D． 2. 已知函数 ，若 是 的导数，则 （ ） A． B． C． D． 3. 在 的展开式中，只有第 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 （ ） A. B. C. D.
4. 设函数 条件 ：“ ”；条件 ：“ 为奇函数”，则 是 的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设 ¬是等差数列 的前 项和， , 则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设 为 的外心，且 ，则 的内角 =（ ） A. B. C. D. 7．如图，已知球 是棱长为1 的正方体 的内切球，则平面 截球 的截面面积为（ ） A． B． C． D． 8. 过 的直径的三等分点 作与直径垂直的直线分别与圆周交 ，如果以 为焦点的双曲线恰好过 ，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 9. 已知正方形 的边长为6，空间有一点 （不在平面 内）满足 ，则三棱锥 的体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 10．设函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足：① 在 上是单调函数；② 在 上的值域是 ，则称区间 是函数 的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ） A．函数 （ ）存在“和谐区间” B．函数 （ ）不存在“和谐区间” C．函数 ）存在“和谐区间” D．函数 （ ， ）不存在“和谐区间”
第Ⅱ卷(共100分) 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11. 如果复数 的实部和虚部相等，则 等于 ▲ . 12. 各项均为实数的等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 等于 ▲ . 13．如上图所示算法程序框图中，令 ，则输出结果为 ▲ . 14．在△ 中， 所对边分别为 、 、 ．若 ，则 ▲ . 15. 已知点 的坐标满足 ，设 ，则 （ 为坐标原点）的最大值为 ▲ . 16. 正方体 的12条棱的中点和8个顶点共20个点中，任意两点连成一条直线，其中与直线 垂直的直线共有 ▲ 条. 17．将 的图像向右平移2个单位后得曲线 ，将函数 的图像向下平移2个单位后得曲线 ， 与 关于 轴对称．若 的最小值为 且 ，则实数 的取值范围为 ▲ . 三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分14分）已知函数 的最大值为2. （Ⅰ）求函数 在 上的单调递减区间； （Ⅱ） 中, ,角 所对的边分别是 ，且 ，求 的面积．

19．（本小题满分14分）袋中有1个白球和4个黑球，且球的大小、形状都相同.每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过 次 . （Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数 的数学期望与方差； （Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数 的分布列与数学期望.

20. （本小题满分14分）如图，四面体 中， 是 的中点， 和 均为等边三角形， 。 （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）求 点到平面 的距离. 21. （本小题满分15分）给定椭圆 ： ，称圆心在原点 ，半径为 的圆是椭圆 的“准圆”. 若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为 . （Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线 ，使得 与椭圆C都只有一个交点，且 分别交其“准圆”于点M, N， （1）当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求 的方程. （2）求证： 为定值.

22.（本小题满分15分）已知函数 （其中 为常数， ）， 将函数 的最大值记为 ，由 构成的数列 的前 项和记为 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若对任意的 ，总存在 使 ，求 的取值范围； （Ⅲ）比较 与 的大小，并加以证明.

2014年杭州二中高三数学热身考理科数学答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. C 2. D. 3. A 4. B 5. D 6. B 7. A 8. B. 根据题意 9. D 10. 根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间 即可，对函数 （ ），“和谐区间” ，函数 是增函数，若存在“和谐区间” ，则 ，因此 方程 至少有两个不等实根，考虑函数 ，由 ，得 ，可得 在 时取得最小值，而 ，即 的最小值为正， 无实根，题设要求的 不存在，因此函数 （ ）不存在“和谐区间”， 函数 ）的“和谐区间”为 ，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选D，事实上， 在其定义域内是单调增函数，“和谐区间” 为 ，故D中的命题是错误的．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11. 12. 150 13． （c也可以） 14. 三角形中问题在解决时要注意边角的互化，本题求角，可能把边化为角比较方便，同时把正切化为正弦余弦，由正弦定理可得 ， ，所以有 ，即 ，在三角形中 ，于是有 ， ， ． 15. 2 16．平面 与B1D垂直，这样的与B1D垂直的平面(与平面 平行)有四个，此时与B1D垂直的直线有4 条，中点E、F、G、H、M、N所构成的平面与B1D垂直，此时与B1D垂直的直线有 条， 与B1D垂直的直线有4 + =27 17. 首先应求出 的表达式，曲线 对应的函数式为 ， 曲线 与 关于 轴对称，因此 的函数解析式为 ， 向上平移2个单位，就是函数 的图象，则 . ，其最小值大于 ，说明函数 的最小值大于 .下面观察函数 ，若 ，则当 时， ， 无最小值，同理当 时， 时 ， ， 无最小值，因此 ， ，当且仅当 时等号成立，即 最小值为 ，从而 ，解得 . 三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（1）由题意， 的最大值为 ，所以 ．而 ，于是 ， ． 为递减函数，则 满足 ， 即 ． 所以 在 上的单调递减区间为 ． （2）设△ABC的外接圆半径为 ，由题意，得 ． 化简 ，得 ． 由正弦定理，得 ， ． ① 由余弦定理，得 ，即 ． ② 将①式代入②，得 ．解得 ，或 （舍去）． 19．（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时， 的可能取值为1，2，3，4，5， 易知 （Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球 次结束， 的可能取值是 ，所求概率分布列为 1 2 3 … k－1 k P …
……2分 所以， 上述两式相减，整理得 20．解法一：（I）证明：连结 ， 为等边三角形， 为 的中点， 和 为等边三角形， 为 的中点， ， . 在 中， ， ，即 , ， 面 （Ⅱ）过 作 于 连结 ， 平面 ， 在平面 上的射影为 为二面角 的平角。 在 中， 二面角 的余弦值为 （Ⅲ）解：设点 到平面 的距离为 , ， 在 中， ， 而 点 到平面 的距离为 解法二：（I）同解法一. （Ⅱ）解：以 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则 平面 ， 平面 的法向量 设平面 的法向量 由 设 与 夹角为 ，则 , ∴二面角 的余弦值为 。 （Ⅲ）设平面 的法向量为 又 设 与 夹角为 ， 则 设 到平面 的距离为 ， 到平面 的距离为 21. （Ⅰ） ， 椭圆方程为 ， 准圆方程为 . （Ⅱ）（1）因为准圆 与 轴正半轴的交点为 ， 设过点 且与椭圆有一个公共点的直线为 ，所以由 消去 ， . 因为椭圆与 只有一个公共点，所以 ，解得 .所以 方程为 . （2）①当 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率， 因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 ，当 方程为 时，此时 与准圆交于点 此时经过点 （或 ）且与椭圆只有一个公共点的直线是 （或 ）， 即 为 （或 ），显然直线 垂直；同理可证 方程为 时，直线 垂直. ②当 都有斜率时，设点 ，其中 .设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ，则 消去 ，得 . 由 化简整理得： 因为 ，所以有 .设 的斜率分别为 ，因为 与椭圆只有一个公共点，所以 满足上述方程 ，所以 ，即 垂直. 综合①②知：因为 经过点 ，又分别交其准圆于点 ，且 垂直，所以线段 为准圆 的直径，所以 =4. 22. （Ⅰ） ， 令 ，则 . 在 上递增，在 上递减. 当 时， 即 ，则 （Ⅱ） 递增， 递增， 递减. ，即 令 ，则 ， 在 上递增，在 上递减. 当 时， ；当 时， ；又 ， 由已知得， , （Ⅲ） 令 在 上递减. 即 ,又

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