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对比高考真题 提炼物理情景-----带电粒子在磁场中运动轨迹的动态分析
本部分内容历年来都是高考中的热点，尤其是近两年高考中降低了“电磁感应”的分值，使得压轴题中出现本部分综合题的可能性更大，这一点在近两年的高考中也能窥见一斑。
【近两年高考“粒子在磁场中的运动”问题考察情况统计】

年份
试卷所属
试题涉及主要情景
考察知识点（能力）

2
0
0
9
全国卷Ⅱ.25
山东卷.25
福建卷.22
天津卷.11
重庆卷.25

粒子的V大小、方向一定
在匀强电场、磁场中的运动

粒子在电场、磁场、或复合场中的基本运动形式

全国卷Ⅰ
粒子与挡板周期性碰撞，在磁场里的周期运动
分析推理能力
寻找几何关系，利用数学归纳、写轨迹方程等数学工具解决物理问题的能力
空间想象能力
海南卷.16
浙江卷25
粒子运动的逆过程：V的大小一定、方向不同的各个粒子在有界磁场里的运动

2
0
1
0

海南卷. 15
粒子的V大小、方向一定
正对圆心进入圆形区域磁场，背离圆心出磁场
粒子在有界磁场中运动的基本几何关系
广东卷.36
轨迹动态变化
各个粒子V大小不定、方向一定
两种常见模型的组合
知识迁移、创新应用能力
全国卷Ⅱ.26

各个粒子质量不同

分析推理能力
寻找几何关系，利用数学工具解决物理问题的能力
空间想象能力
新课标卷.25
全国卷Ⅰ.26

各个粒子v大小一定、方向不同
从近两年高考看，涉及本考点的命题常以构思新颖、高难度的压轴题形式通过变换过程情景、翻新陈题面貌突出动态变换的手法来着重考察分析、推理能力、知识迁移和创新应用能力。带电粒子在磁场中的运动对考生的空间想象能力、物理过程和运动规律的综合分析能力及用数学方法解决物理问题的能力要求较高。
本文旨在通过对近几年高考中涉及此类问题的压轴题进行分类，体会解决此类问题的思维过程，重点是对带电粒子自身特征的某一参数变化（如质量、速度大小或者方向）所引起的运动轨迹动态变化的分析。

【相关知识储备】
1.关于洛伦兹力
洛仑兹力
洛仑兹力的大小:F=qvB 方向：与速度垂直
特点:洛仑兹力不做功
带电粒子在匀强磁场中的运动——匀速圆周运动

T=

T=

应用：速度选择器、质谱仪、回旋加速器

2.分析“粒子在磁场中的运动”问题的一般程序
定圆心、画轨迹、找几何关系，其中关键是找几何关系，它是高考物理中考察应用数学解决物理问题的很好载体，本部分的难题难点之一就难在几何关系的寻找上。复习中仍然要强调粒子在有界磁场中运动过程的几何关系，它是做这类问题的基础，这里本文就不再赘述。

【典型物理情景】（重点是对带电粒子自身特征的某一参数变化，如质量、速度大小或者方向，所引起的运动轨迹动态变化）

一．各个粒子V大小不定、方向一定

1.（2010广东卷）如图16（a）所示，左为某同学设想的粒子速度选择装置，由水平转轴及两个薄盘N1、N2构成，两盘面平行且与转轴垂直，相距为L，盘上各开一狭缝，两狭缝夹角可调（如图16（b））；右为水平放置的长为d的感光板，板的正上方有一匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度为B.一小束速度不同、带正电的粒子沿水平方向射入N1，能通过N2的粒子经O点垂直进入磁场。 O到感光板的距离为，粒子电荷量为q,质量为m，不计重力。（1）略
（2）若两狭缝夹角为 ，盘匀速转动，转动方向如图16（b）.要使穿过N1、N2的粒子均打到感光板P1P2连线上。试分析盘转动角速度的取值范围（设通过N1的所有粒子在盘转一圈的时间内都能到达N2）。
解析：（1）略
（2）在粒子匀速过程有：L=vt ① 粒子出来进入磁场的条件： ② ③ 设粒子刚好过P1点、P2点时轨迹半径分别为：R1、R2则：
④ ⑤ ⑥
总结：若带电粒子从O点射入时速度大小变化而方向一定时，画出各粒子在磁场中的运动轨迹，这一系列半径变化的动态圆圆心都在入射速度的垂线上。这样画出一系列动态圆，就容易看到粒子在磁场里运动的临界情况。

2.（2011模拟）如图所示，在xoy坐标系中，，0≤y≤a的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.大量质量为m、电量为+q的粒子（重力不计），在xoy平面内由O点沿与x轴成30°，以不同的速率射入，求：
（1）略
P
（2）在磁场中运动时间最长的粒子的速率及运动时间

解析：从O点进入的粒子V方向一定、
大小变化，在描绘粒子的运动轨迹时，
注意到所有粒子轨迹的圆心都在OP连线上，
这样画出一系列动态圆，就容易看到
在磁场中运动时间最长的粒子对应的轨迹。

二．各个粒子V大小一定、方向不同
1.有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积S.
解析：【作图法】：
从O点进入的粒子V大小一定、
方向变化，在描绘粒子的运动轨迹时， 注意到
所有粒子轨迹的圆心都在以坐标原点为圆心的圆上，
轨迹圆心竖直向上距离为R处，就是粒子出磁场的位
置，所以将一系列动态圆圆心的轨迹竖直向上平移距离为R即可得到磁场区域
（x，y）
的下边界。
【解析法】：
设离开磁场点的坐 标为，
利用几何关系可以找到这些点
满足的轨迹方程：，
得到磁场的下边界。

拓展：若以相同的速率v0向第一、二象限平面内的不同方向发射电子，仍欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积S。

2.（09年浙江卷）25.如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0<y<2R的区间内。已知重力加速度大小为g。
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求点场强度和磁感应强度的大小和方向。
（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。 （3）略
解析：如右上图所示，从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于P点正下方到P点距离为R的Q点，故这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图示的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点，即这束带电微粒的轨迹都过坐标原点。

方法提炼：带电粒子垂直射入匀强磁场时,运动轨迹是圆。当粒子从同一点射入,速度大小不变、方向改变时,轨迹构成了一系列动态圆(如图1)。这一系列动态圆有如下规律:
①半径相同(圆的大小一样);②系列圆相当于绕入射点旋转;③系列动态圆的圆心均在以入射点为圆心、轨道半径为粒子圆周运动半径的圆上(如图1虚线)。当磁场是有界区域时,这一系列动态圆与区域边界构成相切、相交等关系,形成了临界问题、极值问题,高考往往用这些问题来考查学生的分析与综合能力。突破此类问题的方法是:作出符合题意的系列动态圆(磁场区域内用实线、区域外用虚线),使题目隐含的临界问题、极值问题外显出来,从而化解难点。

3. 2010·全国卷Ⅰ·26如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m;
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
解析：（1）略
（2）（3）在求第二、三问时,据题意“所有粒子的初速度大小相同,方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内”,用动态图分析法:先以O圆心,轨道半径为半径把系列动态圆的圆心轨迹画出(如图3虚线),然后以圆心轨迹上各点为圆心,画出速度方向与y轴正方向夹角逐渐增大的系列动态图,磁场区域内用实线、区域外用虚线,如图3。从图可清楚地看出:①→②实线长度减少,运动时间减少;②→③实线长度增大,运动时间增大;③→④→⑤实线长度减少,运动时间减少。其中③与右边界相切,是临界轨迹,如果与边界相切而粒子回到磁场中,则运动时间最长;如果与边界相切而粒子离开磁场,则运动时间短。
　　根据对称性,O1圆与磁场右边界的交点P、P2关于x轴对称。而根据动态图,只要动态圆在磁场中的弧线长度大于零角度射出的粒子在磁场中的轨迹长度l0,t0时刻此粒子就仍在磁场中。
　　而P2点恰好是O2圆与磁场边界的交点。P1与P2之间的动态圆在磁场中的轨迹小于l0。同时考虑以120°角射出的粒子,由几何图形知以此角度射出的粒子在磁场中运动轨迹正好是l0,因此从60°~120°角之间射出的粒子在t0时刻仍在磁场中。
第三问中,只需考虑所有动态圆在磁场区域中谁的轨道最长即可。临界圆O2在磁场区域轨迹最长,而这一最长轨迹对应的圆心角为240°,运动时间为2t0.

4. 2010·新课标·25如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～范围内.己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角正弦。
解析：依题意“带电粒子速度大小相同,速度方向均在xOy平面内,与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内”,用动态圆分析法:先以O圆心、以介于到a的某值为半径把系列动态圆的圆心轨迹画出,然后以圆心轨迹上各点为圆心,画出速度方向与y轴正方向夹角逐渐增大的系列动态圆,磁场区域内用实线,区域外用虚线,如图5。从图中各轨迹实线对应的弦长可清楚地看出:①→②实线长度增加,运动时间增大;②→③→④实线长度减少,运动时间减少。其中②是临界轨迹,与上边界相切且回到磁场中,粒子运动时间最长。依题意该粒子运动时间为T,因此OO1⊥O1P2。因为P1为切点,所以P1O1与x轴垂直。设OO1与x轴夹角为θ,则∠P1O1P2=θ,由图5的几何关系可得: 再加上，解得：.
5.（2011模拟）从坐标原点处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为-q的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到v0之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿+x方向经过b区域，都沿-y的方向通过点N（3，0）。
通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小区域。
【作图法】

分析：【解析法】在a区域，设任一速度为v的粒子偏转90°后从（x，y）离开磁场，由几何关系有：，，得，上式与R无关，说明磁场右边界是一条直线， 左边界是速度为v0的粒子的轨迹：，此后粒子均沿+x方向穿过b区域，进入c区域，由对称性知，其磁场区域如图.
评注：此题确定磁场区域时用到了“解析法”、“作图法”和“对称法”确定磁场边界。
三. 带电粒子质量不同
1. 2010·全国卷Ⅱ·26图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V;两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域，不计重力.
（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。
（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为，求离子乙的质量。
若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？
解析：粒子质量不同对应运动轨迹半径不同，但是圆心都在入射V的垂线上，画出着一系动态圆就可以看出粒子从磁场边界上出去的范围，FE边上有粒子到达的部分是M、N之间，EG边上有粒子到达的部分是H、I之间，M、N、H、I的具体位置可有几何关系求出。