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2018年安徽省芜湖市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

一、第Ⅰ卷（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x||x|≤2}，则A∩B=（　　）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，1] D．[1，2）
2． 设复数，则下列命题中错误的是（　　）
A．
B．
C．z的虚部为i
D．z在复平面上对应的点在第一象限
3． 若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（　　）
A．3 B．6 C．7 D．8
4． 若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（　　）
A． B． C． D．
5． 芜湖高铁站芜湖至A地上午发车时间分别为7：00，8：00，8：30，小明需在当天乘车到A地参加一高校自主招生，他在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）
A． B． C． D．
6． 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=2（单位：升），则输入k的值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
7． 已知f（x）是定义在R上偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x），且f（4）=5，则f（2018）的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8． 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　）

A． B． C． D．
9． 已知函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）．将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数f（x），下列命题正确的是（　　）
A．函数f（x）在区间（﹣）上有最小值
B．函数f（x）的一条对称轴为x=
C．函数f（x）在区间（）上单调递增
D．函数f（x）的一个对称点为（）
10． 设x1，x2，x3均为实数，且e=log2（x1+1），e=log3x2，e=log2x3，则（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3
11． 已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）．圆C：（x﹣c）2+y2=1上所有点都在椭圆E的内部，过椭圆上任一点M作圆C的两条切线，A，B为切点，若∠AMB=θ，θ∈[]，则椭圆C的离心率为（　　）
A．2﹣ B．3﹣2 C． D．
12． 已知函数f（x）=2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1，其中a∈R，e为自然对数的底数．若函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（　　）
A．（2，2e﹣1） B．（2，2e2）
C．（2e2﹣2e﹣1，2e2） D．（2e﹣1，2e2﹣2e﹣1）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13． 已知向量，的夹角为60°，||=2，=（cosα，sinα）（α∈R），则||=　 　．
14． 已知（1+2x）n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（1+）（1+2x）n展开式中常数项为　 　．
15． 在三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=DB=DC=1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为　 　．
16． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则+（）2最小值是　 　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12.00分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn．若3S3=2S2+S4，且a5=32．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠AA1B1=45°，AC=BC，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，E为CC1中点．
（1）求证：BB1⊥AC；
（2）若AA1=2，AB=，直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45°，求平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

19．（12.00分）某市疾控中心流感监测结果显示，自2017年11月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是12月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；
方案乙：先任取3个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测；
（1）求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
（2）η表示依方案甲所需化验次数，ξ表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．
20．（12.00分）设抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．已知点M在抛物线E上，点N在l上，△MNF是边长为4的等边三角形．
（1）求p的值；
（2）若直线AB是过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过Q作AB的垂线与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
21．（12.00分）已知函数f（x）=+x．曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为，（e为自然对数的底数）
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）＞e+2．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．
（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞6；
（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且，求证：a+2b+3c≥9．

2018年安徽省芜湖市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析

一、第Ⅰ卷（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x||x|≤2}，则A∩B=（　　）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，1] D．[1，2）
【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A={x|x≤﹣1，或x≥3}，B={x|﹣2≤x≤2}；
∴A∩B=[﹣2，﹣1]．
故选：A．
【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算．

2． 设复数，则下列命题中错误的是（　　）
A．
B．
C．z的虚部为i
D．z在复平面上对应的点在第一象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：∵=，
∴|z|=，，z的虚部为1，z在复平面上对应的点的坐标为（1，1），在第一象限．
∴命题错误的是C．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3． 若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（　　）
A．3 B．6 C．7 D．8
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（1，3），
代入目标函数z=x+2y得z=1+2×3=7
故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行可以求目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．

4． 若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（　　）
A． B． C． D．
【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．
【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，
所以离心率为，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查方程思想，比较基础．

5． 芜湖高铁站芜湖至A地上午发车时间分别为7：00，8：00，8：30，小明需在当天乘车到A地参加一高校自主招生，他在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，利用几何概型的概率计算公式求解即可．
【解答】解：设小明到达时间为x，
当x在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
所以所求的概率P==．
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．

6． 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=2（单位：升），则输入k的值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=4时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为2，即可解得k的值．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
n=1，S=k
满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=，
满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=，
满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=，
此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，
由题意可得：=2，解得：k=8．
故选：C．
【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．

7． 已知f（x）是定义在R上偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x），且f（4）=5，则f（2018）的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用抽象函数的关系式，结合函数奇偶性的性质，利用赋值法进行求解即可．
【解答】解：对任意x∈R都有f（x+6）=f（x），
则f（x）是以6为周期的周期函数，
∴f（2018）=f（336×6+2）=f（2）=f（6﹣4）=f（﹣4）=f（4）=5，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，考查了函数的奇偶性和周期性，属于基础题

8． 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，
正方体的体积为1，
四棱锥的体积为：×1×1×=，
故组合体的体积V=1﹣=，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

9． 已知函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）．将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数f（x），下列命题正确的是（　　）
A．函数f（x）在区间（﹣）上有最小值
B．函数f（x）的一条对称轴为x=
C．函数f（x）在区间（）上单调递增
D．函数f（x）的一个对称点为（）
【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．
【解答】解：将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），
此时函数为偶函数，
则+φ=+kπ，k∈Z，
即φ=﹣+kπ，k∈Z，
∵﹣π＜φ＜0，
∴当k=0时，φ=﹣，
则f（x）=sin（2x﹣），
当﹣＜x＜时，﹣＜2x＜，﹣＜2x﹣＜，
则此时函数f（x）在区间（）上单调递增，且f（x）在区间（﹣）上没有最小值，
故C正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数性质的判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．

10． 设x1，x2，x3均为实数，且e=log2（x1+1），e=log3x2，e=log2x3，则（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3
【分析】作出函数图象，根据图象交点位置得出大小关系．
【解答】解：分别作出y=e﹣x，y=log2（x+1），y=log3x，y=log2x的函数图象如图所示：

由图象可知：x1＜x3＜x2．
故选：B．

【点评】本题考查了方程解与函数图象交点的关系，属于中档题．

11． 已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）．圆C：（x﹣c）2+y2=1上所有点都在椭圆E的内部，过椭圆上任一点M作圆C的两条切线，A，B为切点，若∠AMB=θ，θ∈[]，则椭圆C的离心率为（　　）
A．2﹣ B．3﹣2 C． D．
【分析】求得圆的圆心和半径，讨论M分别位于椭圆的左右顶点时，∠AMB取得最小值和最大值，解直角三角形可得a，c的方程，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：圆C：（x﹣c）2+y2=1的圆心为右焦点F（c，0），半径为1，
当M位于椭圆的右顶点（a，0）时，MF取得最小值a﹣c，
此时切线MA取得最小值，即有∠AMB=，
sin=，可得a﹣c=，①
当M位于椭圆的左顶点（﹣a，0）时，MF取得最大值a+c，
此时切线MA取得最大值，即有∠AMB=，
sin=，可得a+c=2，②
由①②解得a=1+，c=1﹣，
则e===3﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

12． 已知函数f（x）=2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1，其中a∈R，e为自然对数的底数．若函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（　　）
A．（2，2e﹣1） B．（2，2e2）
C．（2e2﹣2e﹣1，2e2） D．（2e﹣1，2e2﹣2e﹣1）
【分析】先求导，再分类讨论，当a≤0不满足题意，当a＞0，利用导数求出函数的最小值，再构造函数，求出最小值小于0恒成立，即可得到函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点，可得，解得即可．
【解答】解：∵函数f（x）=2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1，
∴f′（x）=4e2x﹣2a，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增，
∴函数f（x）在区间（0，1）至多有一个零点，不满足题意，
∴a＞0，
令f′（x）=0，解得x=ln，
∴当f′（x）＞0时，即x＞ln，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＜ln，函数单调递减，
∴f（x）min=2a﹣alna+aln2﹣2e﹣1，
设g（a）=2a﹣alna+aln2﹣2e﹣1，a＞0
∴g′（a）=1+ln2﹣lna，
令g′（a）=0，解得a=2e，
∴∴g′（a）＞0时，即0＜a＜2e，函数单调递增，
当g′（a）＜0时，即a＞2e，函数单调递减，
∴g（a）max=4e﹣2eln2e+2eln2﹣2e﹣1=4e﹣2eln2﹣2e+2eln2﹣2e﹣1=﹣1＜0，
∵函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点，
∴，
即，
解得2e﹣1＜a＜2e2﹣2e﹣1
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点，导数和函数的最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13． 已知向量，的夹角为60°，||=2，=（cosα，sinα）（α∈R），则||=　2　．
【分析】可求出，并且，这样进行数量积的运算即可求出的值，从而得出的值．
【解答】解：，，；
∴=4+4+4=12；
∴．
故答案为：．
【点评】考查根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量数量积的运算及计算公式．

14． 已知（1+2x）n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（1+）（1+2x）n展开式中常数项为　61　．
【分析】由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为0或2求得r值，则答案可求．
【解答】解：∵（1+2x）n展开式中只有第4项的二项式系数最大，
∴n=6．
∵（1+2x）6展开式的通项为=，
∵（1+）（1+2x）n展开式中常数项是由（1+2x）6的展开式中常数项与x2项所组成的，
∴令r=0，不合题意，应舍去；
令r=2，则（1+）（1+2x）n展开式中常数项为1+=61．
故答案为：61．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．

15． 在三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=DB=DC=1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为　　．
【分析】如图，要使三棱锥体积最大，当且仅当面DBC⊥平面ABC时，△ABC面积最大（以AC为斜边的直角△）．
此时△ABC的外心为O2，△DBC的外心为O1，设球心为O，可得外接球的半径为R，R=，即可求得则外接球的表面积．
【解答】解：如图，要使三棱锥体积最大，当且仅当面DBC⊥平面ABC时，
△ABC面积最大（以AC为斜边的直角△）．
此时△ABC的外心为O2，△DBC的外心为O1，设球心为O，
可得OO2=O1E=，O2C=．
设外接球的半径为R，R=
则外接球的表面积为S=4πR2=4=：

故答案为：．
【点评】本题考查了三棱锥的外接球球的体积运算．属于中档题．

16． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=2B，则+（）2最小值是　3　．
【分析】根据正弦定理和两角和差得正弦公式求出=2cosB，=，求出B的范围，再根据基本不等式即可求出．
【解答】解：∵A=2B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴a=2bcosB，
∴=2cosB，
∵A=2B，
∴π﹣C﹣B=2B，
∴π﹣C=3B，
∴sinC=sin（π﹣C）=sin3B=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos2B+cos2BsinB，
∴c=2bcos2B+bcos2B=2bcos2B+2bcos2B﹣b=4bcos2B﹣b，
即=
∴+（）2=+4cos2B
∵0＜A+B＜π，
∴0＜3B＜π，
∴0＜B＜，
∴＜cosB＜1，
∴0＜4cos2B﹣1＜3，
∴+（）2=+4cos2B﹣1+1≥2+1=3，当且仅当B=时取等号，
则+（）2最小值是3，
故答案为：3
【点评】本题考查了正弦定理，余弦函数的图象和性质，三角函数的化简和计算，基本不等式，属于中档题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12.00分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn．若3S3=2S2+S4，且a5=32．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，由3S3=2S2+S4，
可得：2S3﹣2S2=S4﹣S3．
即：q=2．
又a5=32，
解得：a1=2，
故：．
（2）=，
所以：Tn=，
=，
=．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．

18．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠AA1B1=45°，AC=BC，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，E为CC1中点．
（1）求证：BB1⊥AC；
（2）若AA1=2，AB=，直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45°，求平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

【分析】（1）过点C作CO⊥BB1交BB1于O，由面面垂直的性质可得CO⊥平面AA1BB1，故CO⊥BB1，在由三角形全等可得∠B1A1A=∠OBA=45°，则AO⊥BB1，由此可证BB1⊥平面AOC，得到BB1⊥AC；
（2）以O为坐标原点，分别以OA、OB、OC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标O﹣xyz，分别求出面A1B1E与平面ABC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：过点C作CO⊥BB1交BB1于O，
∵平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，平面BB1C1C∩平面AA1B1B=BB1，
∴CO⊥平面AA1BB1，故CO⊥BB1，
又∵AC=BC，OC=OC，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，
故OA=OB，
∵∠B1A1A=∠OBA=45°，∴AO⊥BB1，
又∵BB1⊥CO，∴BB1⊥平面AOC，
故BB1⊥AC；
（2）以O为坐标原点，分别以OA、OB、OC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标O﹣xyz，
A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），
A1（1，﹣2，0），B1（0，﹣1，0），E（0，﹣1，1），
，，，．
设面A1B1E的法向量为，
则，令x1=1，得；
设面ABC的法向量为，
则，令x2=1，得．
∴cos＜＞=．
∴平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．

19．（12.00分）某市疾控中心流感监测结果显示，自2017年11月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是12月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；
方案乙：先任取3个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测；
（1）求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
（2）η表示依方案甲所需化验次数，ξ表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．
【分析】（1）设Ai（i=1，2，3，4，5）分别表示依方案甲需化验为第i次，Bj（j=2，3）表示依方案乙需化验为第j次，P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（A4）=，P（A5）=，P（B2）==，P（B3）=1﹣P（B2）=，A表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数．P（A）=P（A2B2+A3B3）=P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3），由此能求出结果．
（2）η的可能取值为1，2，3，4，5．ξ的可能取值为2，3．P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（A4）=，P（A5）=，求出Eη=，P（ξ=2）=P（B2）=，P（ξ=3）=P（B3）=，求出Eξ=，从而方案乙更佳．
【解答】解：（1）设Ai（i=1，2，3，4，5）分别表示依方案甲需化验为第i次，
Bj（j=2，3）表示依方案乙需化验为第j次，
P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（A4）=，P（A5）=，
P（B2）==，
P（B3）=1﹣P（B2）=，
A表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数．
P（A）=P（A2B2+A3B3）=P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）==．
（2）η的可能取值为1，2，3，4，5．ξ的可能取值为2，3．
P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（A4）=，P（A5）=，
Eη=1×=（次），………（8分）
P（ξ=2）=P（B2）=，
P（ξ=3）=P（B3）=，
∴Eξ=2×=（次）
∴故方案乙更佳．………（12分）
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

20．（12.00分）设抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．已知点M在抛物线E上，点N在l上，△MNF是边长为4的等边三角形．
（1）求p的值；
（2）若直线AB是过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过Q作AB的垂线与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
【分析】（1）根据△MNF为等边三角形即可得出MN⊥l，利用等边三角形的性质求出p；
（2）设直线AB的方程为x=my+2，联立方程组，根据弦长公式求出|AB|，|CD|，从而得出四边形的面积S关于m的函数，利用基本不等式得出面积最小值．
【解答】解：（1）由题意知|MF|=|MN|，则MN⊥l．设准线l与x轴交于点H，则MN∥HF，
又△MNF是边长为4的等边三角形，∠MNF=60°，∴∠NFH=60°，
∴FH=2，即p=2．
（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，
∴|AB|=|y1﹣y2|==4，
同理得|CD|=4，
∴四边形ABCD的面积为S=|AB||CD|=8，
∵m2+≥2，当且仅当m2=1即m=±1时取等号，
∴S≥8=48．当且仅当m=±1时取等号，
∴四边形ACBD面积的最小值为48．

【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，弦长公式的应用，根与系数的关系，属于中档题．

21．（12.00分）已知函数f（x）=+x．曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为，（e为自然对数的底数）
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）＞e+2．
【分析】（1）令f′（2）=即可求出a；
（2）设g（x）=，h（x）=﹣x+e+2，分别求出g（x）与h（x）的最值即可得出g（x）＞h（x），从而结论得证．
【解答】解：（1）f′（x）=﹣+1，
∴f′（2）=﹣+1=，解得a=8．
（2）f（x）=﹣+x，x＞0，设函数g（x）=，则g′（x）=，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=e．
设函数h（x）=﹣x+e+2，则h′（x）=，
令φ（x）=8﹣16ln﹣x3，则φ（x）在（0，+∞）上是减函数，
又φ（2）=0，则当x∈（0，2）时，φ（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，φ（x）＜0，
∴h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
∴h（x）≤h（2）=e．
∴g（x）＞h（x），即≥﹣x+e+2，即﹣+x＞e+2．
∴f（x）＞e+2．
【点评】本题考查了导数的几何意义，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．
（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值．
【分析】（1）曲线C1消参能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．
（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得+2+1﹣2a=0，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，由此能求出a．
【解答】解：（1）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），
消参得曲线C1的普通方程为x+y﹣a﹣1=0，
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．
两边同乘ρ得ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，即y2=2x．………（5分）
（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得+2+1﹣2a=0，
设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，
∴，解得a=．………（10分）
【点评】本题考查曲线的普通方程和直角坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞6；
（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b，c都是正实数，且，求证：a+2b+3c≥9．
【分析】（1）讨论x的范围，去绝对值符号解出不等式；
（2）利用绝对值三角不等式求出m，再利用基本不等式得出结论．
【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|＞6，
∴或或，
解得x＜0或x＞6．
综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（﹣∞，0）∪（6，+∞）．
（2）由f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|≥|x﹣1﹣（x﹣5）|=4（当且仅当（x﹣1）（x﹣5）≤0即1≤x≤5时取等号）．
∴f（x）的最小值为4，即m=4，∴=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=3+（+）+（+）+（+）≥9．
当且仅当=，=，=即a=2b=3c即a=3，b=，c=1时取等号．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式与基本不等式，属于中档题．