函数极限通论市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第四章 函数极限通论郇中丹-年第一学期1第1页基本内容1 数值函数极限统一形式2 函数沿基极限性质3 函数沿基极限存在条件2第2页1.数值函数极限统一形式一元函数极限基本形式集合基函数沿基收敛函数沿基无穷极限3第3页一元函数极限基本形式微积分研究基本对象是 .基本工具是极限.而一元数值函数(m=n=1)是其中最简单和最基本情形.在微积分中,A普通是区间.一元函数极限分成下面六类:在一点极限、在一点左极限、在一点右极限、在处极限、在+处极限、在-处极限.x0相对于A空心邻域=xA|0|x-x|k|kN;2.A=I,x0I,B=b=xA|0|x-x0|0;3.A=I,x0I,B=b=xA|0 x-x00;4.A=R,B=b=(c,+)|c0.5第5页函数沿基收敛设:AR,B是A一个基,lR.沿B收敛到极限l,假如e0,bB,xb,|(x)-l|0,bB,xb,(x)c.记做(x)+(沿基B)或类似地能够给出极限为,或-定义.在下面讨论中,假如没有特殊申明,普通讨论所说极限都是有限极限.7第7页习题八(I)1.写出以下极限定义和对应基:2.验证以下极限8第8页习题八(II)3.证实:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+侧基,-侧基和基都含有以下性质:存在可数多个终端bn满足(1)若m0,使得xD,|(x)|c,就说在D上有界.类似地能够定义有上界和有下界.函数终极有界性:设:AR,B是A一个基.假如存在bB,使得xb,|(x)|c,就说关于基B终极有界.类似地能够定义终极有上界和终极有下界.无穷小量:若a(x)0(沿基B),就称a是沿基B无穷小函数或无穷小量.11第11页极限基本性质(I)1.惟一性:若函数沿基B极限存在,则极限是惟一.2.极限终极惟一性:设存在bB,使得xb,(x)=g(x).假如(x)l (沿基B),则g(x)l(沿基B).3.终极有界性:若(x)l(沿基B),则关于基B终极有界.12第12页极限基本性质(II)4.非零极限终极保号性:设(x)l(沿基B).若l0,则存在bB,使得xb,(x)l/2.若l0,则存在bB,使得xb,(x)0(沿基B),则(x)g(x)+(沿基B).2.计算以下极限:15第15页习题九(II)3.计算以下极限:4.设:(0,+)R且对于任何a0,在(0,a)上有界.证实:假如 ,则16第16页3函数沿基极限存在条件函数沿基存在极限Cauchy准则Heine收敛性和常见基Cauchy收敛性和Heine收敛性复合函数极限定理无穷小函数阶大O与小o记号17第17页函数沿基存在极限Cauchy准则Cauchy准则:函数沿基B有极限,当且仅当e0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|0,则bB,使得xb,|(x)-l|e/2.所以,x,yb,|(x)-(y)|(x)-l|+|l-(y)|0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|e.先结构结构出候选极限l,然后证实(x)l.3.结构闭区间套Dn和终端列b(n)使其满足:(1)xb(n),(x)Dn;(2)若n0,则存在n使得1/ne.则xb(n),(x)Dn;由lDn,|(x)-l|Dn|1/ne.5.递归结构所需闭区间套Dn和终端列b(n):取e=1,则b(1)B,使得x,yb,|(x)-(y)|1.取定yb(1),则xb(1),|(x)|1+|(y)|.记m(1)=inf(x)|xb(1);M(1)=sup(x)|xb(1).取D1=m(1),M(1).则M(1)-m(1)sup f(x)-inf f(y)=sup f(x)+sup-f(y)=sup(f(x)-f(y)sup|f(x)-f(y)|1.19第19页Cauchy准则证实(续II)假设完成闭区间套Dn和终端列b(n)前k个闭区间和前k个终端结构使得当n,m=1,.,k时,有(1)xb(n),(x)Dn;(2)若nm,b(m)b(n);(3)|Dn|1/n.对于n=k+1,取e=1/(k+1),则bB,使得x,yb,|(x)-(y)|n0,xnb,必有数列(xn)收敛,就说沿基B在Heine意义下收敛.常见基:集合A基B叫作常见,假如B有一个可数子集C=cn,使得bB,cC,cb.这里要求m,nN,mn,cmcn.例子:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+基,-基和基都是常见基.21第21页Cauchy收敛性和Heine收敛性(I)Cauchy收敛性确保Heine收敛性:假如(x)l(沿基B),则沿基B在Heine意义下收敛.证实:假设(x)l(沿基B).任取A中xn满足:bB,n0,nn0,xnb.对于数列(xn),任取e0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|n0,xnb.因而m,nn0,xm,xnb,所以|(xm)-(xn)|0,使得bB,x,yb满足|(x)-(y)|e.尤其nN,xn,yncn满足|(xn)-(yn)|e.2.定义数列zn:当n为偶数时,zn=xn/2;当n为奇数时,zn=y(n+1)/2.则(zn)是发散.这是因为n N,|(z2n+2)-(z2n+1)|=|(xn+1)-(yn+1)|e.23第23页Cauchy收敛性和Heine收敛性(III)3.数列zn满足bB,n0,nn0,znb.这是因为bB,cmb,这么km,ckcmb,因而n2m时,znb.4.所以沿常见基B在Heine意义下不收敛.矛盾.#24第24页复合函数极限性质(I)定理1.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A一个基.若g(x)l(沿基B),(y)(l)(yl),则(g(x)(l)(沿基B).证实:任取e0,由(y)(l)(yl),存在d0,使得yD,|y-l|d,必有|(y)(l)|e.在由g(x)l(沿基B),存在bB,使得xb,|g(x)-l|d.注意g(x)D,则xb,|(g(x)-(l)|e.所以(g(x)(l)(沿基B).#25第25页复合函数极限性质(II)定理2.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A一个基.若g(x)l(沿基B),且bB,g(b)D且xb,g(x)l,(y)l(yl),则(g(x)l(沿基B).定理3.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A一个基.若g(x)+(沿基B),(y)l(y+),则(g(x)l(沿基B).定理2和定理3证实留作习题。26第26页无穷小函数阶高阶无穷小:设a(x),b(x),g(x)是沿基B无穷小函数,而且在基某个终端上b(x)0.假如成立a(x)=b(x)g(x)就说a(x)是比b(x)高阶无穷小.等价无穷小:设a(x)和b(x)是沿基B无穷小函数,假如a(x)-b(x)是比a(x)或b(x)高阶无穷小,就说a(x)和b(x)是等价无穷小.记作ab.命题:设a(x)和b(x)是沿基B无穷小函数.当且仅当a(x)/b(x)1(沿基B),或b(x)/a(x)1(沿基B).27第27页大O与小o记号设函数和g是A上实值函数,B是A一个基,而且g在基B某个终端上不取零值.设h=/g.假如h终极有界(沿基B),就说是大Og(沿基B),记作=O(g)或g;假如g且g0,使得bB,xb,使得|h(x)|d,就说是W g,记作=W(g);尤其若(x)=O(xm)(x0),就说(x)是m阶无穷小(x0).28第28页大O与小o记号例子1.(x+1)/(x+2)=O(1)(x );2.(sin x)/x=o(1)(x );3.(sin x)/x=O(1/x)(x );4.(sin x)/x=W(1/x)(x );5.x1/2-x x1/2(x 0+);6.x1/2-x-x(x +).sn(x)A A若bR 29第29页习题十1.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A一个基.若g(x)l(沿基B),且bB,g(b)D且xb,g(x)l,(y)l(yl),则(g(x)l(沿基B).2.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A一个基.若g(x)+(沿基B),(y)l(y+),则(g(x)l(沿基B).3.计算以下函数在x+时,以下函数关于无穷小1/x阶数:30第30页sn(x)A A若bR 31第31页sn(x)A A若bR 32第32页