两角和与差的三角函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、第1页一、两角和与差三角函数一、两角和与差三角函数二、二倍角公式二、二倍角公式(升幂公式升幂公式)(降次公式降次公式)sin()=sin cos cos sin cos()=cos cos sin sin-+tan()=tan tan 1 tan tan -+asin+bcos=a2+b2 sin(+)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 sin2=2sin cos tan2=2tan 1-tan2 sin2=1-cos2 2 cos2=1+cos2 2 第2页三、半角公式三、半角公式四、万能公式四、万能公式五、其它公式五、其它公式sin3=3sin-4sin3;cos
2、3=4cos3-3cos;sin(60-)sin sin(60+)=sin3;14cos(60-)cos cos(60+)=cos3.14sin =1-cos 2 2 cos =1+cos 2 2 tan =1-cos 1+cos 2 =sin 1+cos=1-cos sin sin=2tan 2 1+tan2 2 tan=2tan 2 1-tan2 2 cos=1-tan2 2 1+tan2 2 第3页公式选择公式选择1.从函数名称考虑从函数名称考虑 切割化弦切割化弦(有时也可考虑有时也可考虑“弦化切弦化切”),异名化同名异名化同名(使函使函数名称尽可能统一数名称尽可能统一);2.从角特点考
3、虑从角特点考虑 异角化同角异角化同角,抓住角之间规律抓住角之间规律(如互余、互补、和倍关系如互余、互补、和倍关系等等等等);3.从变换需要考虑从变换需要考虑 达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目;4.尽可能避开讨论尽可能避开讨论 第4页惯用技巧与方法惯用技巧与方法1.变换常数项变换常数项 将常数变换成三角函数将常数变换成三角函数;2.变角变角 对命题中一些角进行分拆,从而使命题中角尽可能统一对命题中一些角进行分拆,从而使命题中角尽可能统一;3.升幂或降次升幂或降次 利用倍、半角公式进行升幂或降次变换利用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函从而改变三角函数式结构数式结构;4.利用代数变
4、换中惯用方法利用代数变换中惯用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.第5页三角函数式化简目标三角函数式化简目标1.项数尽可能少项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少角尽可能小和少;4.次数尽可能低次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号尽可能不带根号;7.能求出值求出值能求出值求出值.第6页经典例题经典例题 1.求求 sin220+cos250+sin20cos50 值值.思维精析思维精析 从幂入手从幂入手,用降幂公式用降幂公式.解法解法1 原式原式=+(sin70-sin3
5、0)1+cos100 21-cos40 212=-sin70sin30+sin70 1234=.34思维精析思维精析 从形入手从形入手,配成完全平方配成完全平方.=.3412解法解法2 原式原式=(sin20+cos50)2+cos250 3412=sin(50-30)+cos502+cos250 34=(sin50cos30)2+cos250 34思维精析思维精析 从角入手从角入手,化异角为同角化异角为同角.=.34解法解法3 原式原式=sin2(50-30)+cos250+sin(50-30)cos50=(sin50cos30-cos50sin30)2+cos250 +(sin50cos3
6、0-cos50sin30)cos50=(sin250+cos250)34第7页思维精析思维精析 从式入手从式入手,结构对偶式结构对偶式.解法解法4 设设 x=sin220+cos250+sin20cos50,=.34思维精析思维精析 从三角形入手从三角形入手,结构图形结构图形,利用正余弦定理利用正余弦定理.解法解法5 设设 ABC 外接圆半径为外接圆半径为 1,A=20,B=40,y=cos220+sin250+cos20sin50.则则 x+y=2+sin70 ,x-y=-cos40+cos100-sin30 .x=(2+sin70-cos40+cos100-sin30)12=(+sin70
7、-2sin70sin30)1232则则 C=120.由正余弦定理知由正余弦定理知:原式原式=sin220+sin240+sin20sin40 =sin220+sin240-2sin20sin40cos120 =sin2120=.34得得:2+sin220+cos250+sin20cos50 值为值为 .341.求求 sin220+cos250+sin20cos50 值值.第8页 2.已知已知 ,cos(-)=,sin(+)=-,求求 sin2 值值.2 43 131235解解:,2 43 0-,+0,cos(+)0,第9页3.已知已知sin+cos=2sin,sin cos=sin2,求证求证
8、:2cos2=cos2.4.已知已知 sin=msin(2+),其中其中 m 0,2+k(k Z),求证求证:tan(+)=tan.1-m 1+m 证证:sin+cos=2sin,(sin+cos)2=4sin2.1+2sin cos=2(1-cos2).sin cos=sin2,1+2sin2=2(1-cos2).1+1-cos2=2(1-cos2).2cos2=cos2.证证:sin=msin(2+),m=.sin sin(2+)=tan(+).tan=tan 1-m 1+m sin(2+)+sin sin(2+)-sin =tan 2sin(+)cos 2cos(+)sin tan(+)
9、=tan.1-m 1+m 第10页另证另证:sin=msin(2+),sin(+)-=msin(+)+.sin(+)cos-cos(+)sin 整理得整理得(1-m)sin(+)cos=(1+m)cos(+)sin.=msin(+)cos+cos(+)sin.tan(+)=tan.1-m 1+m 4.已知已知 sin=msin(2+),其中其中 m 0,2+k(k Z),求证求证:tan(+)=tan.1-m 1+m 第11页 5.已知已知 tan,cot 是关于是关于 x 方程方程 x2-kx+k2-3=0 两实根两实根,且且 3 0.3 0,tan 0,(0,),0 ,.2 2 -0,-.
10、2 -2-0.2-=-.43 由由 tan(2-)=1 知知 注注 亦可由亦可由 tan 1 得得 0 .4 02 .2 -2-0.第13页7.计算计算 -+64sin220.sin220 3cos220 1sin220cos220 3cos220-sin220解解:原式原式=+64sin220sin220cos220(3cos20+sin20)(3cos20-sin20)=+64sin220 sin240 16sin80sin40=+64sin220=32cos40+64sin220=32(1-2sin220)+64sin220=32.第14页 8.已知已知 sin2=(-(-)-),函数函
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