四节平面方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第四节第四节 平面方程平面方程一、平面点法式方程一、平面点法式方程二、平面普通式方程二、平面普通式方程三、平面截距式方程三、平面截距式方程四、两平面间关系四、两平面间关系第1页一、平面点法式方程 若向量n垂直于已知平面，则称向量n为平面 法线向量.若已知平面过点M0(x0,y0,z0)，且向量n=(A,B,C)为法线向量.可用向量运算建立平面方程.nM0M=0.设点M(x,y,z)为平面 上任意一点，则M0M=(xx0,yy0,zz0)必定位于平面上.因为向量n垂直于平面，所以n必垂直于平面上任一向量，从而有nM0M，则第2页由两向量数量积坐标表示法可得方程(1)即为过点M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)为法线向量平面方程.称为点法式方程.第3页例1 求过点(1,2,1)，且以n=(2,1,1)为法线向量平面方程.解 由平面点法式方程可知，过点(1,2,1)，且以n=(2,1,1)为法线向量平面方程为2(x1)+(y2)(z+1)=0.第4页二、平面普通式方程 若将平面点法式方程变形并记 则可化为方程Ax+By+Cz+D=0，(2)这表明过点M0且垂直于一已知向量平面总能够表示为x，y，z一次方程.反过来，对于任给三元一次方程(2)，总有解x0，y0，z0，即有Ax0+By0+Cz0+D=0.(3)第5页式(2)减去式(3)，可得即表明任何一个三元一次方程总表示平面.所以称式(2)为平面普通式方程.第6页例2 研究平面Ax+By+Cz=0几何特征.解 注意到原方程等价于 A(x0)+B(y0)+C(z0)=0,这表示所给平面为过原点O(0,0,0)，且以n=(A,B,C)为法线向量平面.即Ax+By+Cz=0表示过原点平面.第7页例3 研究Ax+By+D=0所表示平面几何特征.解 所给平面法线向量n=(A,B,0).而z轴方向向量为(0,0,1).由两向量数量积坐标表示法可得 (A,B,0)(0,0,1)=A0+B0+01=0,可知n与z轴垂直.所以平面Ax+By+D=0平行于z轴.尤其当C=D=0时，平面Ax+By=0过z轴.同理可知Ax+Cz+D=0和By+Cz+D=0分别表示平行于y轴和x轴平面.第8页例4 研究平面Cz+D=0几何特征.解 易知所给平面法线向量n=(0,0,C)与z轴方向平行.同理Ax+D=0表示平行于Oyz坐标面；By+D=0表示平行于Oxz坐标面平面.所以可知Cz+D=0表示平行于Oxy坐标平面平面.第9页例5 求过x轴，且过点(1,1,1)平面方程.解 设过x轴平面方程为By+Cz=0.因为平面过点(1,1,1)，所以有BC=0，即B=C.将其代入所设方程并化简可得y+z=0为所求平面方程.第10页例6 已知空间中点M1(2,0,1)，M2(1,1,1)，M3(3,2,1)，求过这三点平面方程.解法1 设n为所求平面法线向量.因为M1，M2，M3在 所求平面上，所以M1M2=(12,10,1(1)=(3,1,2),M1M3=(32,20,1(1)=(5,2,2),M1M2，M1M3在所求平面上.即有nM1M2，且nM1M3.第11页由平面点法式方程，可得2(x2)4(y0)+(z(1)=0,即 2(x2)4y+(z+1)=0 为所求平面方程.第12页解法2 能够利用平面普通式方程，设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0.因为平面过点M1，M2，M3.所以这三点坐标必定满足平面方程，即有代入所设平面方程并化简可得2x4y+z3=0.第13页三、平面截距式方程 设平面过点M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)三点，下面研究平面方程(其中a，b，c皆不等于0).设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0.因为M1(a,0,0)在平面上，所以 Aa+D=0,第14页将A，B，C代入所设平面方程并化简可得即为所求方程.称为平面截距式方程.称a，b，c为平面在x轴，y轴，z轴上截距.第15页例7 若已知某平面在x，y，z轴上截距分别为1,2,1，求这个平面方程.解 由平面截距式方程，可知所求平面方程为即 2x+y2z2=0.第16页截距式方程给出了平面与三个坐标轴交点，所以，为了画出平面图形，将平面普通式方程化为截距式方程，然后利用平面与三个坐标轴交点确定该平面图形.第17页例8 试画出平面3x+2y+6z12=0图形.解 先将所给平面普通式方程化为截距式方程：可知该平面与x轴、y轴、z轴交点分别为(4,0,0)，(0,6,0)，(0,0,2).所求平面即以此三点为顶点三角形所在平面.第18页四、两平面间关系 两平面法线向量之间夹角为这两个平面间夹角.设两平面1，2方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.它们法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1)，n2=(A2,B2,C2)，第19页设这两个法线向量间夹为 ，则由两向量夹角余弦公式可知这也是两平面夹角余弦公式.第20页 由两平面夹角公式可知，平面1和2垂直充分必要条件为A1A2+B1B2+C1C2=0，两平面平行充分必要条件为第21页例9 设平面1，2方程分别为 2xy+z7=0,x+y+2z11=0，求1，2夹角.解 1，2法线向量分别为n1=(2,1,1)，n2=(1,1,2).由两平面夹角公式有故所给两平面夹角第22页