不等式专题讲座省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第五章第五章 不等式不等式1 不等式（组）概念及性质2 不等式（组）同解性3 解不等式（）4*不等式证实（）5*几个主要不等式（）6 不等式应用（）1 1第1页1.1.学习目标与要求：学习目标与要求：熟练掌握不等式解法掌握证实不等式惯用方法与技巧，能利用不等熟练掌握不等式解法掌握证实不等式惯用方法与技巧，能利用不等熟练掌握不等式解法掌握证实不等式惯用方法与技巧，能利用不等熟练掌握不等式解法掌握证实不等式惯用方法与技巧，能利用不等式知识处理一些数学问题式知识处理一些数学问题式知识处理一些数学问题式知识处理一些数学问题2.2.学习重点：学习重点：不等式解法，证实不等式惯用方法，几个主要不等式，利用不等式不等式解法，证实不等式惯用方法，几个主要不等式，利用不等式不等式解法，证实不等式惯用方法，几个主要不等式，利用不等式不等式解法，证实不等式惯用方法，几个主要不等式，利用不等式知识处理一些数学问题等内容是教学重点不等式证实知识处理一些数学问题等内容是教学重点不等式证实知识处理一些数学问题等内容是教学重点不等式证实知识处理一些数学问题等内容是教学重点不等式证实技巧、不等式知识灵活应用是教学难点技巧、不等式知识灵活应用是教学难点技巧、不等式知识灵活应用是教学难点技巧、不等式知识灵活应用是教学难点 2 2第2页一、不等式概念一、不等式概念一、不等式概念一、不等式概念 5.1 不等式概念及其性质不等式概念及其性质二、不等式组概念二、不等式组概念二、不等式组概念二、不等式组概念 3 3第3页三、不等式分类三、不等式分类代数不等式代数不等式初等超越不等式初等超越不等式有理不等式有理不等式无理不等式无理不等式整式不等式整式不等式分式不等式分式不等式二次二次高次高次指数不等式指数不等式对数不等式对数不等式一次一次4 4第4页 5.1 不等式概念及其性质不等式概念及其性质四、不等式性质四、不等式性质四、不等式性质四、不等式性质 （1 1）若）若 则则 反之，若反之，若 则则 （对逆性）（对逆性）（2 2）若）若 ，则，则 （传递性）（传递性）5 5第5页（3）若 则 （加法单调性）（4）若 则 若 则 （乘法单调性）乘法单调性）（5）若 则 （相加法则）6 6第6页（6）若 则 （相乘法则）（7）若 （倒数法则）（倒数法则）（8）设 若 整数 则 （乘方法则）（9）设 若 整数 则 （开方法则）（10）|a|-|b|ab|a|+|b|7 7第7页 5.2 不等式（组）同解性不等式（组）同解性 同解不等式：同解不等式：假如两个不等式解集相等，那么这两个假如两个不等式解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。不等式就叫做同解不等式。不等式同解变形：不等式同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，假如这一个不等式变形为另一个不等式时，假如这两个不等式是同解不等式，那么这种变形就两个不等式是同解不等式，那么这种变形就叫做不等式同解变形。叫做不等式同解变形。如：如：2x+60与与x-3不等式同解定理（略）不等式同解定理（略）8 8第8页 5.3 解不等式（组）解不等式（组）1.一元二次不等式解法：一元二次不等式解法：9 9第9页一元二次不等式解集与一元二次方程以及二次函一元二次不等式解集与一元二次方程以及二次函数图象关系：数图象关系：有两异根有两异根x1x2有两重根有两重根x1=x2=无实根无实根xx2x1xx2R1010第10页 5.3 解不等式（组）解不等式（组）例例1 1：解关于：解关于x x不等式不等式2.一元高次不等式解法一元高次不等式解法“穿针引线法穿针引线法”1111第11页3.数形结合解不等式数形结合解不等式P245.P245.例例1010：5.3 解不等式（组）解不等式（组）1212第12页4.绝对值不等式解法绝对值不等式解法例例2.2.试解不等式试解不等式|x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5方法一：方法一：利用利用|x-1|=0-1|=0，|x+2|=0+2|=0零点，将数轴分为零点，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化三个区间，然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号不等式求解为不含绝对值符号不等式求解表达了分类讨论思表达了分类讨论思想想解：分三种情形求解解：分三种情形求解x-2x1.(x1.(略略)1313第13页4.绝对值不等式解法绝对值不等式解法例例2.2.试解不等式试解不等式|x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5方法二：利用绝对值几何意义，表达了数形方法二：利用绝对值几何意义，表达了数形结合思想结合思想解解:|:|x-1|+|-1|+|x+2|=5+2|=5解为解为x=-3=-3或或x=2=2所以原所以原不等式不等式解为解为-2-21 12 2-3-30 0 5.3 解不等式（组）解不等式（组）1414第14页链接高考：链接高考：1（广东）不等式实数解为 【解析】5.3 解不等式（组）解不等式（组）A A1515第15页课堂练习课堂练习1616第16页还有没有其它方法还有没有其它方法?1717第17页5.4 不等式证实不等式证实1.1.比较法比较法2.2.分析法分析法3.3.综正当综正当4.4.换元法换元法5.5.反证法反证法6.6.放缩法放缩法7.7.数学归纳法数学归纳法8.8.结构法结构法1818第18页1 1、比较法、比较法比较法是证实不等式最基本方法也是最惯用方法。比较法是证实不等式最基本方法也是最惯用方法。两种形式两种形式作差法：作差法：作商法：作商法：几点说明几点说明比较法证实不等式思绪比较法证实不等式思绪:作差作差(商商),),变形变形,判断；判断；作作差法证题时差法证题时,通常是进行因式分解通常是进行因式分解,利用各因式符号进行判利用各因式符号进行判断断,或进行配方或进行配方,利用非负数性质进行判断；利用非负数性质进行判断；作作商法证题时商法证题时,通常要考虑式子正负通常要考虑式子正负,尤其是作为除式式子值必尤其是作为除式式子值必须确定符号须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等式时惯用比商法。证幂指数、根式或乘积不等式时惯用比商法。5.4 不等式证实不等式证实1919第19页5.4 不等式证实不等式证实2 2、分析法、分析法 从求证不等式出发，层层推出使这个不等式成立充分条件，直到得到一个显著成立不等式或一个比较轻易证实不等式为止，这种证实方法叫做分析法。分析法证题思绪是分析法证题思绪是执果索因执果索因。3 3、综正当、综正当 利用已知条件或一些已证实过不等式作为基础，再利用不等式性质推导出所要证不等式，这种证实方法称为综正当。综正当证题思绪是综正当证题思绪是由因导果由因导果，也就是从已知不等式出发，也就是从已知不等式出发，不停地用必要条件代替前面不等式，直接推导出所要证不不停地用必要条件代替前面不等式，直接推导出所要证不等式。等式。2020第20页5.4 不等式证实不等式证实证法一：证法一：比比较较法法2121第21页5.4 不等式证实不等式证实证法二：证法二：综综合合法法2222第22页5.4 不等式证实不等式证实2323第23页5.4 不等式证实不等式证实4.4.换元法换元法：结构较为复杂、量与量之间关系不很显著命题，：结构较为复杂、量与量之间关系不很显著命题，经过恰当引入新变量，代换原题中部分式子，简化原有结构，经过恰当引入新变量，代换原题中部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究形式。用换元法时一定要注意新元取值使其转化为便于研究形式。用换元法时一定要注意新元取值范围范围换元必须等价换元必须等价。常见换元形式常见换元形式（1 1）三角换元三角换元 对于条件不等式证实问题，当变量符合三角函数取值范围对于条件不等式证实问题，当变量符合三角函数取值范围时，可考虑用三角代换，将代数问题转化为三角问题时，可考虑用三角代换，将代数问题转化为三角问题（2 2）增量代换）增量代换 对称（或循环对称）不等式惯用增量进行代换对称（或循环对称）不等式惯用增量进行代换,代换代换目标是降低变量个数目标是降低变量个数,使问题化繁为简使问题化繁为简,化难为易。化难为易。2424第24页5.4 不等式证实不等式证实5 5、反证法、反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论否从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论否定是错误，从而必定原结论是正确证实方法。反证法是利定是错误，从而必定原结论是正确证实方法。反证法是利用互为逆否命题含有等价性来进行证实用互为逆否命题含有等价性来进行证实6.6.放缩法：放缩法：欲证不等式欲证不等式ABAB，可经过适当放大或缩小，借助一个，可经过适当放大或缩小，借助一个(或或多个多个)中间量中间量C C作比较，使得作比较，使得ACAC与与CBCB同时成立，由不等同时成立，由不等式传递性知式传递性知ABAB显然成立，这种方法叫做放缩法。显然成立，这种方法叫做放缩法。7.7.数学归纳法数学归纳法8.8.结构法结构法结构函数（利用单调性）、图形等结构函数（利用单调性）、图形等2525第25页5.4 不等式证实不等式证实证实（增量代换）：证实（增量代换）：令令a-b=m,b-c=n，则，则a-c=m+n.m、n均为正数均为正数.原不等式化为原不等式化为此不等式更简练、轻易证。此不等式更简练、轻易证。2626第26页5.4 不等式证实不等式证实证法一（综正当）：证法一（综正当）：a2+b22ab,2ab,-a2-b2-2ab.-2ab.从而从而0 00.0.例例3、设设-1-1a1,-11,-1b1,1,求证求证:此证实方法分析其此证实方法分析其实是从这里开始实是从这里开始2727第27页5.4 不等式证实不等式证实证法二（三角代换）：设证法二（三角代换）：设a=sin,b=,b=sin,则则例例3、设设-1-1a1,-11,-1b1,1,求证求证:简单些能够限制简单些能够限制、在在-/2，/22828第28页5.4 不等式证实不等式证实2929第29页5.4 不等式证实不等式证实3030第30页5.5 几个主要不等式几个主要不等式一、柯西不等式 222112222122221)()(bnnnbabababbbaaaLLL+。“=”“=”成立成立时时使得使得或存在一个数或存在一个数当且仅当且仅当当则则是实数是实数设设,),2,1(,),2,1(0,321321nikbaknibbbbbaaaaiiinnLLLL=3131第31页分析：分析：一、柯西不等式 3232第32页二、琴生（Jensen）不等式(书本P262）5.5 几个主要不等式几个主要不等式下凸下凸上凸上凸上凸上凸x1x2(x1,f(x1)(x2,f(x2).3333第33页5.5 几个主要不等式几个主要不等式三、平均不等式 设设a ai iR R+（i=1 i=1，2 2，n n），令），令3434第34页定理：3535第35页5.5 几个主要不等式几个主要不等式四、伯努利（Bernoulli）不等式(书本P264）3636第36页五、排序原理（排序不等式）五、排序原理（排序不等式）设 是 任意一排列，则 （反序和）逆序和逆序和 （乱序和）（同序和）次序和次序和 排序原理还有多组情形，即排序原理还有多组情形，即“多组排序原理多组排序原理”5.5 几个主要不等式几个主要不等式3737第37页例1：已知 ，求证：5.5 几个主要不等式几个主要不等式平平均均不不等等式式3838第38页例例2 2：在：在 中，求证中，求证（书本（书本P266P266例例2 2（1 1）5.5 几个主要不等式几个主要不等式琴琴森森不不等等式式3939第39页5.5 几个主要不等式几个主要不等式分析：分析：排排序序原原理理4040第40页5.5 几个主要不等式几个主要不等式平平均均不不等等式式柯柯西西不不等等式式4141第41页课堂练习课堂练习：书本书本P279：17-21题题 4242第42页5.6 不等式应用不等式应用一、利用二次函数性质求最值(书本P269）二、利用二次函数值域求最值(P270)三、利用主要不等式求最值 （均值不等式、柯西不等式、琴森不等式）（均值不等式、柯西不等式、琴森不等式）4343第43页5.6 不等式应用不等式应用均均值值不不等等式式当且仅当当且仅当 时取时取“=”号号即当即当 时时,函数最小值为函数最小值为解解:4444第44页一正一正,二定二定,三相等三相等必须有自变量值能使函数取到必须有自变量值能使函数取到=号号.各项必须为各项必须为正正;含变数各项和或积必须为含变数各项和或积必须为定值定值;小结：利用均值不等式求函数最值应注意小结：利用均值不等式求函数最值应注意:4545第45页阅读下题各种解法，指出有错误地方阅读下题各种解法，指出有错误地方例例6：4646第46页正确解法一正确解法一“1”代换法代换法三角代换法三角代换法正确解法二正确解法二阅读下题各种解法，指出有错误地方阅读下题各种解法，指出有错误地方例例6：4747第47页5.6 不等式应用不等式应用柯柯西西不不等等式式这道题你必定会做，它解这道题你必定会做，它解法能否用于例法能否用于例7 7？4848第48页5.6 不等式应用不等式应用柯柯西西不不等等式式3.3.求函数最大值求函数最大值练习：练习：4 4已知已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3,.求x2+y2+z2值。4949第49页本章作业本章作业:P278-280 7、（3）8、（2）22、25、5050第50页第五章第五章第五章第五章结束结束结束结束5151第51页