自动控制系统数学模型省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 2.2 非线性系统微分方程模型线性化 2.3 传递函数2.4 系统动态结构图2.5 自动控制系统传递函数2.6 信号流图第1页2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 微分方程微分方程 是控制系统最基本数学模型，要研究系统运动，必须列写系统微分方程。一个控制系统由若干含有不一样功效元件组成，首先要依据各个元件物理规律，列写各个元件微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总输入和输出微分方程。第2页例例2.1 R-L-C 2.1 R-L-C 串联电路串联电路2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 第3页例例2.2 2.2 弹簧弹簧阻尼器系统阻尼器系统2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 第4页电磁力矩：安培定律电枢反电势：楞次定律电枢回路：克希霍夫力矩平衡：牛顿定律例例2.3 2.3 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 第5页电机时间常数电机传递系数消去中间变量 i,Mm,Eb 可得：2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 第6页建立动态微分方程步骤建立动态微分方程步骤（1）依据元件工作原理和在系统中作用，确定元件输入量和输出量（必要时还考虑扰动量），并依据需要引进一些中间变量。（2）依据各元件在工作过程中所遵照物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要原因，并考虑相邻元件彼此影响，列出微分方程。惯用定律有：电路系统基尔霍夫定律、力学系统牛顿定律和热力学定律等等。（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包含扰动量）关系微分方程，即元件数学模型。数学模型。2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 第7页微分方程标准形式微分方程标准形式 (1)将与输入量相关各项写在方程右边；与输出量相关各项写在方程左边。(2)方程两边导数项均按降阶排列。其普通形式为其普通形式为2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 第8页第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型 n 2.1 建立动态微分方程普通方法 n 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 n 2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统传递函数n 2.6 信号流图第9页2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 1 几个常见非线性几个常见非线性 第10页2 2 线性化方法线性化方法（1 1）忽略弱非线性步骤）忽略弱非线性步骤（假如元件非线性原因较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统影响很小，就能够忽略）（2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法基于一个假设，就是在控制系统整个调整过程中，各个元件输入量和输出量只是在平衡点附近作微小改变。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 第11页 设设 A(x0,y0)A(x0,y0)平衡点，平衡点，函数在平衡点处连续可微，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数展开成台劳级数忽略二次以上各项，上式能够写成忽略二次以上各项，上式能够写成 其中其中这就是非线性元件线性化数学模型这就是非线性元件线性化数学模型第12页取一次近似，且令 有 例例 已知某装置输入输出特征已知某装置输入输出特征求小扰动线性化方程。求小扰动线性化方程。解解 在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 第13页 解解 在 处泰勒展开，取一次近似 代入原方程可得 例例 某容器液位高度某容器液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满足方程满足方程式式中中 S S 为为液液位位容容器器横横截截面面积积。若若 h h 与与 Q Q 在在其其工工作作点点附附近近做做微量改变，试导出微量改变，试导出 h h 关于关于 Q Q 线性化方程。线性化方程。2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 第14页在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 第15页 假如一非线性元件输入输出关系如图所表示 此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为（3 3）平均斜率法）平均斜率法2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 第16页 注意：注意：上述几个方法只适合用于一些非线性程度较低系统，对于一些严重非线性，如 不能作线性化处理，普通用相平面法及描述函数法进行分析。2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 第17页n 2.1 建立动态微分方程普通方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型线性化 n 2.3 2.3 传递函数传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统传递函数n 2.6 信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型第18页1 拉普拉斯变换 2 传递函数3 经典步骤传递函数2.3 2.3 传递函数传递函数第19页1 1 复数相关概念复数相关概念（1 1）复数、复函数）复数、复函数 复数复数复函数复函数 例例1 1 （2 2）模、相角）模、相角 （3 3）复数共轭）复数共轭（4 4）解析若）解析若F(s)F(s)在在 s s 点各阶点各阶 导数都存在，则导数都存在，则F(s)F(s)在在 s s 点解析。点解析。模模相角相角 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第20页（2 2）指数函数）指数函数1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第21页2 2 拉氏变换定义拉氏变换定义（1 1）阶跃函数）阶跃函数像像原像原像3 3 常见函数拉氏变换常见函数拉氏变换1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第22页（3 3）正弦函数）正弦函数1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第23页（1 1）线性性质）线性性质4 4 拉氏变换几个主要定理拉氏变换几个主要定理（2 2）微分定理）微分定理0 0初条件下有：初条件下有：1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第24页例例2 2 求求解解.例例3 3 求求解解.1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第25页（3 3）积分定理）积分定理零初始条件下有：零初始条件下有：深入有：深入有：例例4 4 求求 L Lt=?t=?解解.1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第26页例例5 5 求求解解.1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第27页（4 4）实位移定理）实位移定理例例6 6解解.1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第28页（5 5）复位移定理）复位移定理例例7 7例例8 8例例9 91 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第29页（6 6）初值定理）初值定理例例10101 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第30页（7 7）终值定理）终值定理例例1111例例12121 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第31页5 5 用拉氏变换方法解微分方程用拉氏变换方法解微分方程L L变换变换系统微分方程系统微分方程L L-1-1变换变换1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第32页1)1)拉氏变换定义拉氏变换定义（2 2）单位阶跃）单位阶跃2)2)常见函数常见函数L变换变换（5 5）指数函数）指数函数（1 1）单位脉冲）单位脉冲（3 3）单位斜坡）单位斜坡（4 4）单位加速度）单位加速度（6 6）正弦函数）正弦函数（7 7）余弦函数）余弦函数1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6 6 拉氏变换小结拉氏变换小结第33页（2 2）微分定理）微分定理3)3)L变换主要定理变换主要定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质）线性性质（3 3）积分定理）积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第34页4)4)拉氏反变换拉氏反变换（1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）试凑法试凑法系数比较法系数比较法留数法留数法例例1 1 已知已知，求求解解.1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第35页5)5)用用L变换方法解线性常微分方程变换方法解线性常微分方程0 0 初条件初条件nm:特征根（极点）特征根（极点）:相对于相对于 模态模态1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第36页用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式普通有普通有其中：其中：设设I.当当 无重根时无重根时1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第37页例例2 2 已知已知，求求解解.例例3 3 已知已知，求求解解.1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第38页例例4 4 已知已知，求求解一解一.解二：解二：1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第39页II.当当 有重根时有重根时(设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根)1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第40页1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第41页例例5 5 已知已知，求求解解.1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第42页1 拉普拉斯变换 2 2 传递函数传递函数3 经典步骤传递函数2.3 2.3 传递函数传递函数第43页 2 2 传递函数传递函数 1)1)定定义义:在在零零初初始始条条件件下下，线线性性定定常常系系统统输输出出量量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。拉氏变换与输入量拉氏变换之比。微分方程普通形式：第44页 2 2 传递函数传递函数微分方程普通形式微分方程普通形式：拉氏变换拉氏变换：传递函数：传递函数：第45页 2)2)传递函数性质传递函数性质 (1)G(s)是复函数；(2)G(s)只与系统本身结构参数相关；(3)G(s)与系统微分方程直接关联；(4)G(s)=L k(t)；(5)G(s)与 s 平面上零极点图相对应。第2章 自动控制系统数学模型 2 2 传递函数传递函数第46页 （1）标准上不反应非零初始条件时系统响应全部信息；（2）适合于描述单输入/单输出系统；（3）只能用于表示线性定常系统。传递函数不足传递函数不足 2 2 传递函数传递函数第47页 例例8 8 已知某系统在已知某系统在0 0初条件下阶跃响应为：初条件下阶跃响应为：试求试求：（：（1 1）系统传递函数；系统传递函数；（2 2）系统增益；系统增益；（3 3）系统特征根及对应模态；系统特征根及对应模态；（4 4）画出对应零极点图；画出对应零极点图；（5 5）求系统单位脉冲响应；求系统单位脉冲响应；（6 6）求系统微分方程；求系统微分方程；（7 7）当当 c(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)c(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统响应。时，求系统响应。解解.（1 1）2 2 传递函数传递函数第48页(2)(2)(4)(4)如图所表示如图所表示(3)(3)(5)(5)2 2 传递函数传递函数第49页(6)(6)2 2 传递函数传递函数第50页（7 7）2 2 传递函数传递函数第51页其中初条件引发自由响应部分其中初条件引发自由响应部分 2 2 传递函数传递函数第52页n 2.1 2.1 建立动态微分方程普通方法建立动态微分方程普通方法 n 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型线性化非线性系统微分方程模型线性化 n2.3 2.3 传递函数传递函数n2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图n2.5 2.5 自动控制系统传递函数自动控制系统传递函数n2.6 2.6 信号流图信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型 第53页1 1 结构图概念和组成结构图概念和组成1)概念 将方框图中各时间域中变量用其拉氏变换代替，各方框中元件名称换成各元件传递函数，这时方框图就变成了结构图。2)组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内函数为输入与输出传递函数，一条传递线上信号处处相同。2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第54页 (2)比较点：综合点，相加点 加号常省略 负号必须标出 (3)引出点：一条传递线上信号处处相等，引出点信号与原信号相等。G(s)X(s)Y(s)2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第55页 2 2 结构图绘制结构图绘制 例：绘制双T网络结构图2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第56页画图时G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第57页将上页方程改写以下相乘形式：2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第58页绘图绘图：ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中代数方程，画出了结构图。2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第59页 若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)从右到左列方程：2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第60页 这个结构与前一个不一样，所以选择不一样中间变量，结构图也不一样，不过整个系统输入输出关系是不会变。绘图绘图 2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第61页3 3 结构图等效变换结构图等效变换（1 1）串联）串联G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第62页 (2)(2)并联并联G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第63页(3)(3)反馈反馈这是个单回路闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用这是个单回路闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证实。消去中间法来证实。G(s)G(s)H(s)H(s)E(s)E(s)R(s)R(s)2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第64页 以后我们均采取(s)表示闭环传递函数，负反馈时，(s)分母为1回路传递函数，分子是前向通路传递函数。正反馈时，(s)分母为1回路传递函数，分子为前向通路传递函数。单位负反馈时2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第65页4 4 结构图等效变换方法结构图等效变换方法1)三种经典结构可直接用公式2)相邻综合点可交换位置3)相邻引出点可交换位置注意注意:1)不是经典结构不可直接用公式2)引出点综合点相邻，不可交换位置2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第66页引出点移动引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H12.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第67页G2H1G1G3综合点移动综合点移动向同类移动向同类移动G1G2G3H1G12.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第68页G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1第69页 n 2.1 建立动态微分方程普通方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型线性化 n 2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 2.5 自动控制系统传递函数自动控制系统传递函数n 2.6 信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型第70页2.5 2.5 自动控制系统传递函数自动控制系统传递函数1 系统开环传递函数 2 闭环系统传递函数3 闭环系统偏差传递函数 第71页 1 系统开环传递函数 控制系统经典结构:前向通道传递函数 、与反馈通道传递函数 乘积称为系统开环传递函数开环传递函数，相当于 第72页 2 闭环系统传递函数 1)1)给定输入作用下闭环传递函数给定输入作用下闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出系统输出 对输入对输入 闭环传递函数闭环传递函数为 易知 第73页 2 闭环系统传递函数 2)2)扰动输入作用下扰动输入作用下闭环传递函数闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出系统输出 对对扰动作用扰动作用 闭环传递函数闭环传递函数为 系统在扰动作用下输出为 第74页 2 闭环系统传递函数 3)3)给定输入和扰动输入同时作用下系统总输出给定输入和扰动输入同时作用下系统总输出 依据线性系统叠加原理，系统在多个输入作用下，其总输出等于各种输入单独作用所引发输出分量代数和，系统总输出为第75页 3 闭环系统偏差传递函数闭环系统偏差传递函数 偏差偏差是指给定输入信号 与主反馈信号 之间差值，用 表示，即 其拉氏变换为 研究各种输入作用下所引发偏差改变规律时，惯用偏差传递函数来表示。第76页 3 闭环系统偏差传递函数闭环系统偏差传递函数 1)1)给定输入作用下偏差传递函数给定输入作用下偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对给定作用下闭环传递函数，简称闭环系统偏差传递函数，用 表示，由得 第77页 3 闭环系统偏差传递函数闭环系统偏差传递函数 2)2)扰动输入作用下偏差传递函数扰动输入作用下偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对扰动作用下闭环传递函数，简称扰动偏差传递函数，用 表示，由有 第78页 3 闭环系统偏差传递函数闭环系统偏差传递函数 3)3)给定输入和扰动输入同时作用下总偏差给定输入和扰动输入同时作用下总偏差 依据线性系统叠加原理，可求出系统在给定输入和扰动输入同时作用下总偏差为 不难发觉，闭环传递函数都含有相同分母，即这正是闭环控制系统本质特征。通常把这个分母多项式称为闭环系统特征多项式闭环系统特征多项式，而将称为闭环系统特征方程。闭环特征方程根称为闭环系统特征根或闭环系统极点。第79页 n 2.1 建立动态微分方程普通方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型线性化 n 2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统传递函数n 2.6 2.6 信号流图信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型第80页 2.6 2.6 信号流图信号流图1 1 术语介绍术语介绍 1)节点 结构图中全部引出点，比较点称节点。2)前向通路 从输入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数乘积，叫前向通路增益。3)回路 起点和终点在同一节点，且与其它节点相交不多于一次闭合通路叫单独回路，回路中全部传递函数乘积叫回路增益。第81页4)不接触回路 相互间没有公共节点回路称为不接触回路。2 2 梅逊公式梅逊公式 任一结构图中，某个输入对某个输出传递函数为 2.6 2.6 信号流图信号流图第82页式中：n 为前向通路条数 Pk为第k条前向通路增益 为系统特征式=1-（全部单独回路增益之和）+（全部每两个互不接触回路增益乘积之和）-（全部三个互不接触回路增益乘积之和）+k为第k条前向通路特征式余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下图再算一次。2.6 2.6 信号流图信号流图第83页梅逊公式梅逊公式 例例R-CR-CR(s)C(s)L1=G1 H1L2=G3 H3L3=G1G2G3H3H1L4=G4G3L5=G1G2G3L1L2=(G1H1)(G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G31=1 G4(s)H1(s)H3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G32=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?第84页例例 2.1 2.1 求求C(s)/R(s)C(s)/R(s)2.6 2.6 信号流图信号流图第85页例例 2.2 2.2 求传递函数求传递函数 C(s)/R(s)C(s)/R(s)控制系统结构图 2.6 2.6 信号流图信号流图第86页例 2.2 求C(s)/R(s)2.6 2.6 信号流图信号流图第87页例例 2.3 2.3 求求C(s)/R(s)C(s)/R(s)2.6 2.6 信号流图信号流图第88页例例 2.4 2.4 求传递函数求传递函数 C(s)/R(s)C(s)/R(s)控制系统结构图 2.6 2.6 信号流图信号流图第89页例例 4 4 求求C(s)/R(s)C(s)/R(s)2.6 2.6 信号流图信号流图第90页 2.6 2.6 信号流图信号流图第91页例例 2.5 2.5 求传递函数求传递函数 C(s)/R(s)C(s)/R(s)2.6 2.6 信号流图信号流图第92页例例 5 5 求求C(s)/R(s)C(s)/R(s)2.6 2.6 信号流图信号流图第93页例2.6 求 C(s)/R(s),C(s)/N(s)2.6 2.6 信号流图信号流图第94页 2.6 2.6 信号流图信号流图第95页 The End The End第96页