模糊数学模糊集的基本运算省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二讲 含糊集基本运算第1页2.1 含糊集表示方法含糊集表示方法如如如如前前前前所所所所述述述述,含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合本本本本质质质质上上上上是是是是论论论论域域域域X X到到到到0,0,11函函函函数数数数,所所所所以以以以用用用用隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数来来来来表表表表示示示示含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合是是是是最最最最基基基基本本本本方法。除此以外方法。除此以外方法。除此以外方法。除此以外,还有以下表示方法：还有以下表示方法：还有以下表示方法：还有以下表示方法：1.1.序偶表示法序偶表示法序偶表示法序偶表示法A A=(=(x x,A A(x x)|)|x x X X.比比比比如如如如:用用用用集集集集合合合合X X=x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4 表表表表示示示示某某某某学学学学生生生生宿宿宿宿舍舍舍舍中中中中四四四四位位位位男男男男同同同同学学学学,“帅帅帅帅哥哥哥哥”是是是是一一一一个个个个含含含含糊糊糊糊概概概概念念念念。经经经经某某某某种种种种方方方方法法法法对对对对这这这这四四四四位位位位学学学学生生生生属属属属于于于于帅帅帅帅哥哥哥哥程程程程度度度度(“(“帅帅帅帅度度度度”)”)做做做做评评评评价价价价依依依依次次次次为为为为:0.55,0.55,0.78,0.78,0.91,0.91,0.56,0.56,则则则则以以以以此此此此评价组成含糊集合评价组成含糊集合评价组成含糊集合评价组成含糊集合A A记为记为记为记为:A A=(=(x x1 1,0.55),(,0.55),(x x2 2,0.78),(,0.78),(x x3 3,0.91),(,0.91),(x x4 4,0.56).,0.56).第2页2.1 含糊集表示方法含糊集表示方法2.2.向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法当当当当论论论论域域域域X X=x x1 1,x x2 2,x xn n 时时时时,X X上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集A A可可可可表表表表示为向量示为向量示为向量示为向量A A=(=(A A(x x1 1),),A A(x x2 2),),A A(x xn n).).前述含糊集前述含糊集前述含糊集前述含糊集“帅哥帅哥帅哥帅哥”A A可记为可记为可记为可记为:A A=(0.55,0.78,0.91,0.56).=(0.55,0.78,0.91,0.56).这这这这 种种种种 向向向向 量量量量 第第第第 个个个个 分分分分 量量量量 都都都都 在在在在 0 0与与与与 1 1之之之之 间间间间A A(x xi i)0,1,0,1,称之为含糊向量。称之为含糊向量。称之为含糊向量。称之为含糊向量。3.Zadeh3.Zadeh表示法表示法表示法表示法当当当当论论论论域域域域X X为为为为有有有有限限限限集集集集 x x1 1,x x2 2,x xn n 时时时时,X X上上上上一一一一个个个个含糊集合可表示为含糊集合可表示为含糊集合可表示为含糊集合可表示为A A=A A(x x1 1)/)/x x1 1+A A(x x2 2)/)/x x2 2+A A(x xn n)/)/x xn n.第3页2.1 含糊集表示方法含糊集表示方法前述含糊集前述含糊集前述含糊集前述含糊集“帅哥帅哥帅哥帅哥”A A可记为可记为可记为可记为:A A=0.55/=0.55/x x1 1+0.78/+0.78/x x2 2+0.91/+0.91/x x3 3+0.56/+0.56/x x4 4.注注注注意意意意,这这这这里里里里仅仅仅仅仅仅仅仅是是是是借借借借用用用用了了了了算算算算术术术术符符符符号号号号+和和和和/,/,并并并并不不不不表表表表示示示示分分分分式式式式求求求求和和和和运运运运算算算算,而而而而只只只只是是是是描描描描述述述述A A中中中中有有有有哪哪哪哪些些些些元元元元素素素素,以及各个元素隶属度值。以及各个元素隶属度值。以及各个元素隶属度值。以及各个元素隶属度值。还还还还可可可可使使使使用用用用形形形形式式式式上上上上 符符符符号号号号,从从从从而而而而可可可可用用用用这这这这种种种种方方方方法法法法表表表表示论域为有限集合或可列集合含糊集。比如示论域为有限集合或可列集合含糊集。比如示论域为有限集合或可列集合含糊集。比如示论域为有限集合或可列集合含糊集。比如第4页2.1 含糊集表示方法含糊集表示方法另另另另外外外外,ZadehZadeh还还还还可可可可使使使使用用用用积积积积分分分分符符符符号号号号 表表表表示示示示含含含含糊糊糊糊集集集集,这这这这种种种种表表表表示示示示法法法法适适适适合合合合于于于于任任任任何何何何种种种种类类类类论论论论域域域域,尤尤尤尤其其其其是是是是无无无无限限限限论论论论域域域域中中中中含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合描描描描述述述述。与与与与 符符符符号号号号相相相相同同同同,这这这这里里里里 仅仅仅仅仅仅仅仅是是是是一一一一个个个个符符符符号号号号表表表表示示示示,并并并并不不不不意意意意味味味味着着着着积积积积分分分分运运运运算算算算。对对对对于任意论域于任意论域于任意论域于任意论域X X中含糊集合中含糊集合中含糊集合中含糊集合A A可记为可记为可记为可记为:第5页2.1 含糊集表示方法含糊集表示方法含糊集含糊集含糊集含糊集“年轻年轻年轻年轻”A A可表示为可表示为可表示为可表示为第6页2.1 含糊集表示方法含糊集表示方法注注注注意意意意：当当当当论论论论域域域域明明明明确确确确情情情情况况况况下下下下,在在在在序序序序偶偶偶偶和和和和ZadehZadeh表表表表示示示示法法法法中中中中,隶隶隶隶属属属属度度度度为为为为0 0项项项项能能能能够够够够不不不不写写写写出出出出。而而而而在在在在向向向向量量量量表表表表示法中示法中示法中示法中,应该写出全部分量。应该写出全部分量。应该写出全部分量。应该写出全部分量。比比比比如如如如,论论论论域域域域X X为为为为1 1到到到到1010全全全全部部部部正正正正整整整整数数数数,含含含含糊糊糊糊集集集集“几几几几个个个个”A A可表示为：可表示为：可表示为：可表示为：第7页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)1.1.几点说明几点说明几点说明几点说明如如如如前前前前所所所所述述述述,经经经经典典典典集集集集合合合合可可可可用用用用特特特特征征征征函函函函数数数数完完完完全全全全刻刻刻刻画画画画,因因因因而而而而经经经经典典典典集集集集合合合合可可可可看看看看成成成成含含含含糊糊糊糊集集集集特特特特例例例例(即即即即隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数只只只只取取取取0,10,1两个值含糊集两个值含糊集两个值含糊集两个值含糊集)。设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,X X上上上上全全全全体体体体含含含含糊糊糊糊集集集集记记记记作作作作F F(X X).).于于于于是是是是,P P(X X)F F(X X),),这这这这里里里里P P(X X)为为为为X X幂幂幂幂集集集集(即即即即X X全全全全体体体体子子子子集组成集合集组成集合集组成集合集组成集合).).尤尤尤尤其其其其地地地地,空空空空集集集集隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数恒恒恒恒为为为为0,0,集集集集X X隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数恒恒恒恒为为为为1,1,即即即即、X X都是都是都是都是X X上含糊集。上含糊集。上含糊集。上含糊集。第8页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)2.2.含糊集包含关系含糊集包含关系含糊集包含关系含糊集包含关系首先考查经典集合包含关系特征。首先考查经典集合包含关系特征。首先考查经典集合包含关系特征。首先考查经典集合包含关系特征。设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,A A,B B为为为为X X上上上上两两两两个个个个经经经经典典典典集集集集合合合合。A A B B当且仅当属于当且仅当属于当且仅当属于当且仅当属于A A元素都属于元素都属于元素都属于元素都属于B B.易易易易 证证证证 A A B B当当当当 且且且且 仅仅仅仅 当当当当 对对对对 任任任任 意意意意 x x X X有有有有 A A(x x)B B(x x).).X X1 1X X1 1第9页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,A A,B B为为为为X X上上上上两两两两个个个个含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合。称称称称A A包包包包含含含含于于于于B B(记记记记作作作作A A B B),),假假假假如如如如对对对对任任任任意意意意x x X X有有有有A A(x x)B B(x x).).这时也称这时也称这时也称这时也称A A为为为为B B子集。子集。子集。子集。X X1 1A(x)A(x)B(x)B(x)第10页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)例例例例,论域论域论域论域X X=x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4 时时时时,X X上含糊集上含糊集上含糊集上含糊集A A为为为为:A A=(0.55,0.78,0.91,0.56).=(0.55,0.78,0.91,0.56).X X上含糊集上含糊集上含糊集上含糊集B B为为为为:B B=(0.35,0.52,0.65,0.37).=(0.35,0.52,0.65,0.37).则依据定义有则依据定义有则依据定义有则依据定义有B B A A.帅哥帅哥帅哥帅哥超男超男超男超男论论论论域域域域X X上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集A A与与与与B B称称称称为为为为是是是是相相相相等等等等,假假假假如如如如A A B B 且且且且B B A A,即对任意即对任意即对任意即对任意x x X X有有有有A A(x x)=)=B B(x x).).第11页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)3.3.含糊集并含糊集并含糊集并含糊集并首先考查经典集合并。首先考查经典集合并。首先考查经典集合并。首先考查经典集合并。设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,A A,B B为为为为X X上上上上两两两两个个个个经经经经典典典典集集集集合合合合。A AB B=x x X|xX|x A A或或或或x x B B.易易易易证证证证 A A B B(x x)=max)=max A A(x x),),B B(x x)=)=A A(x x)B B(x x).).X X1 1X X1 1第12页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)设设设设X X为为为为非非非非空空空空论论论论域域域域,A A,B B为为为为X X上上上上两两两两个个个个含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合。A A与与与与B B并并并并(记记记记作作作作A AB B)是是是是X X上上上上一一一一个个个个含含含含糊糊糊糊集集集集,其其其其隶隶隶隶属属属属函函函函数为数为数为数为(A(AB B)()(x x)=max)=maxA A(x x),),B B(x x)=)=A A(x x)B B(x x),),x x X X.(AB)(x)第13页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)4.4.含糊集交含糊集交含糊集交含糊集交非非非非空空空空论论论论域域域域X X上上上上两两两两个个个个含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合A A与与与与B B交交交交(记记记记作作作作A AB B)是是是是X X上一个含糊集上一个含糊集上一个含糊集上一个含糊集,其隶属函数为其隶属函数为其隶属函数为其隶属函数为(A(AB B)()(x x)=min)=minA A(x x),),B B(x x)=)=A A(x x)B B(x x),),x x X X.(AB)(x)第14页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)5.5.含糊集补含糊集补含糊集补含糊集补非非非非空空空空论论论论域域域域X X上上上上一一一一个个个个含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合A A补补补补(记记记记作作作作A A 或或或或A AC C)是是是是X X上一个含糊集上一个含糊集上一个含糊集上一个含糊集,其隶属函数为其隶属函数为其隶属函数为其隶属函数为A A (x x)=1)=1 A A(x x),),x x X X.第15页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)注注注注：两两两两个个个个含含含含糊糊糊糊集集集集并并并并、交交交交运运运运算算算算能能能能够够够够推推推推广广广广到到到到普普普普通通通通情情情情形形形形,即即即即对对对对任任任任意意意意指指指指标标标标集集集集I I,若若若若A Ai i是是是是X X上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集,i i I I.则含糊集则含糊集则含糊集则含糊集(任意任意任意任意)并、并、并、并、(任意任意任意任意)交定义为交定义为交定义为交定义为:第16页2.2 含糊集上运算含糊集上运算(定义定义)例例例例 设设设设论论论论域域域域X X=x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4 为为为为一一一一个个个个4 4人人人人集集集集合合合合,X X上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合A A表表表表示示示示“高高高高个个个个子子子子”:”:A A=(x x1 1,0.6),0.6),(x x2 2,0.5),0.5),(x x3 3,1)1),(x x4 4,0.4)0.4).含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合B B表表表表示示示示“胖胖胖胖子子子子”:”:B B=(x x1 1,0.5),0.5),(x x2 2,0.6),0.6),(x x3 3,0.3)0.3),(x x4 4,0.4).0.4).则含糊集合则含糊集合则含糊集合则含糊集合“高或胖高或胖高或胖高或胖”为为为为:A AB B=(=(x x1 1,0.6,0.60.5),(0.5),(x x2 2,0.5,0.50.6),(0.6),(x x3 3,1,10.3),0.3),(x x4 4,0.40.40.4)=(0.4)=(x x1 1,0.6),0.6),(x x2 2,0.6),0.6),(x x3 3,1),(,1),(x x4 4,0.4).,0.4).含糊集合含糊集合含糊集合含糊集合“又高又胖又高又胖又高又胖又高又胖”为为为为:A AB B=(=(x x1 1,0.5),(,0.5),(x x2 2,0.5),(,0.5),(x x3 3,0.3),(,0.3),(x x4 4,0.4).,0.4).含糊集合含糊集合含糊集合含糊集合“个子不高个子不高个子不高个子不高”为为为为:A A =(=(x x1 1,0.4),(,0.4),(x x2 2,0.5),(,0.5),(x x3 3,0),(,0),(x x4 4,0.6).,0.6).第17页2.3 含糊集运算性质含糊集运算性质1.1.经典集合运算性质经典集合运算性质经典集合运算性质经典集合运算性质经典集合关于并、交、补运算含有以下性质经典集合关于并、交、补运算含有以下性质经典集合关于并、交、补运算含有以下性质经典集合关于并、交、补运算含有以下性质:定定定定理理理理2.3.12.3.1 设设设设X X为为为为论论论论域域域域,A A,B B,C C为为为为X X上上上上经经经经典典典典集集集集合合合合,则则则则 (1)(1)幂等律幂等律幂等律幂等律:A AA A=A A,A AA A=A A;(2)(2)交换律交换律交换律交换律:A AB B=B BA A,A AB B=B BA A;(3)(3)结合律结合律结合律结合律:(:(A AB B)C C=A A(B BC C),),(A AB B)C C=A A(B BC C););(4)(4)吸收律吸收律吸收律吸收律:A A(A AB B)=)=A A,A A(A AB B)=)=A A;(5)(5)分配律分配律分配律分配律:A A(B BC C)=()=(A AB B)(A AC C),),A A(B BC C)=()=(A AB B)(A AC C););第18页2.3 含糊集运算性质含糊集运算性质(6)(6)对合律对合律对合律对合律(复原律复原律复原律复原律):():(A A )=A A;(7)(7)两极律两极律两极律两极律(同一律同一律同一律同一律):):A AX X=A A,A AX=XX=X,A A=,A A=A=A;(8)De Morgan(8)De Morgan对偶律对偶律对偶律对偶律:(:(A AB B)=A A B B ,(A AB B)=A A B B ;(9)(9)排中律排中律排中律排中律(互补律互补律互补律互补律):):A AA A =X=X,A AA A =.注注注注：满满满满足足足足上上上上述述述述前前前前四四四四条条条条规规规规律律律律代代代代数数数数系系系系统统统统称称称称为为为为格格格格(可可可可诱诱诱诱导导导导出出出出一一一一个个个个序序序序A A B BA A B B=A AA AB B=B B),),满满满满足足足足以以以以上上上上9 9条条条条性性性性质质质质代代代代数数数数系系系系统统统统称称称称为为为为布布布布尔尔尔尔代代代代数数数数(Boolean(Boolean algebra,algebra,即即即即“有有有有补补补补有有有有界界界界分分分分配配配配格格格格”.”.其其其其中中中中,对对对对合合合合律律律律、De MorganDe Morgan对偶律可由其它条件导出对偶律可由其它条件导出对偶律可由其它条件导出对偶律可由其它条件导出).).第19页2.3 含糊集运算性质含糊集运算性质2.2.含糊集合运算性质含糊集合运算性质含糊集合运算性质含糊集合运算性质含糊集合关于并、交、补运算含有以下性质含糊集合关于并、交、补运算含有以下性质含糊集合关于并、交、补运算含有以下性质含糊集合关于并、交、补运算含有以下性质:定定定定理理理理2.3.22.3.2 设设设设X X为为为为论论论论域域域域,A A,B B,C C为为为为X X上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合,则则则则 (1)(1)幂等律幂等律幂等律幂等律:A AA A=A A,A AA A=A A;(2)(2)交换律交换律交换律交换律:A AB B=B BA A,A AB B=B BA A;(3)(3)结合律结合律结合律结合律:(:(A AB B)C C=A A(B BC C),),(A AB B)C C=A A(B BC C););(4)(4)吸收律吸收律吸收律吸收律:A A(A AB B)=)=A A,A A(A AB B)=)=A A;(5)(5)分配律分配律分配律分配律:A A(B BC C)=()=(A AB B)(A AC C),),A A(B BC C)=()=(A AB B)(A AC C););第20页2.3 含糊集运算性质含糊集运算性质(6)(6)对合律对合律对合律对合律(复原律复原律复原律复原律):():(A A )=A A;(7)(7)两极律两极律两极律两极律(同一律同一律同一律同一律):):A AX X=A A,A AX=XX=X,A A=,A A=A=A;(8)De Morgan(8)De Morgan对偶律对偶律对偶律对偶律:(:(A AB B)=A A B B ,(A AB B)=A A B B .注注注注：含含含含糊糊糊糊集集集集中中中中互互互互补补补补律律律律不不不不成成成成立立立立(参参参参见见见见下下下下面面面面反反反反例例例例).).满满满满足足足足以以以以上上上上8 8条条条条性性性性质质质质代代代代数数数数系系系系统统统统称称称称为为为为De De MarganMargan代代代代数数数数,也称为软代数也称为软代数也称为软代数也称为软代数(soft algebra).(soft algebra).反反反反例例例例 设设设设论论论论域域域域X X=a a,b b 上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集A A=(=(a a,0.6),0.6),(b b,0.3).0.3).则则则则A A =(=(a a,0.4),(,0.4),(b b,0.7).,0.7).从从从从而而而而A AA A =(=(a a,0.6),0.6),(b b,0.7)0.7)X X,A AA A =(=(a a,0.4),0.4),(b b,0.3),0.3).第21页2.3 含糊集运算性质含糊集运算性质证实证实证实证实De MorganDe Morgan对偶律对偶律对偶律对偶律:对任意对任意对任意对任意x x X X,因为因为因为因为(A AB B)()(x x)=1)=1 (A AB B)()(x x)=1=1 (A A(x x)B B(x x)=(1=(1 A A(x x)(1(1 B B(x x)=A A (x x)B B (x x)=(=(A A B B )()(x x).).所以所以所以所以(A AB B)=A A B B .同理可证同理可证同理可证同理可证(A AB B)=A A B B .第22页2.4 L型含糊集型含糊集本本本本节节节节把把把把含含含含糊糊糊糊集集集集合合合合隶隶隶隶属属属属度度度度取取取取值值值值范范范范围围围围推推推推广广广广到到到到普普普普通通通通格格格格上上上上,并研究这类广义含糊集合及其性质。并研究这类广义含糊集合及其性质。并研究这类广义含糊集合及其性质。并研究这类广义含糊集合及其性质。1.1.偏序集与格偏序集与格偏序集与格偏序集与格定定定定义义义义2.4.1 2.4.1 称称称称(P P,)为为为为偏偏偏偏序序序序集集集集,若若若若P P上上上上二二二二元元元元关关关关系系系系 满足以下三个条件满足以下三个条件满足以下三个条件满足以下三个条件:(1)(1)自反性自反性自反性自反性:a a P P,a a a a;(2)(2)反对称性反对称性反对称性反对称性:a a b b且且且且b b a a a a=b b;(3)(3)传递性传递性传递性传递性:a a b b且且且且b b c c a a c c.对对对对于于于于偏偏偏偏序序序序集集集集(P P,),),假假假假如如如如对对对对于于于于任任任任意意意意a a,b b P P总总总总有有有有a a b b或或或或b b a a成立成立成立成立,则称则称则称则称P P为线性序集或全序集。为线性序集或全序集。为线性序集或全序集。为线性序集或全序集。第23页2.4 L型含糊集型含糊集设设设设(P P,)为为为为偏偏偏偏序序序序集集集集,若若若若存存存存在在在在a a P P使使使使得得得得对对对对任任任任意意意意b b P P都都都都有有有有a a b b,则则则则称称称称a a为为为为P P最最最最小小小小元元元元。若若若若存存存存在在在在a a P P使得对任意使得对任意使得对任意使得对任意b b P P都有都有都有都有b b a a,则称则称则称则称a a为为为为P P最大元最大元最大元最大元。易易易易知知知知,假假假假如如如如偏偏偏偏序序序序集集集集有有有有最最最最小小小小元元元元或或或或最最最最大大大大元元元元,则则则则最最最最小小小小元元元元或或或或最最最最大大大大元元元元是是是是惟惟惟惟一一一一。为为为为此此此此,记记记记0 0为为为为最最最最小小小小元元元元素素素素,1 1为为为为最最最最大元素。大元素。大元素。大元素。设设设设(P P,)为为为为偏偏偏偏序序序序集集集集,X X P P,若若若若存存存存在在在在a a P P使使使使得得得得对对对对任任任任意意意意x x X X都都都都有有有有x x a a,则则则则称称称称a a为为为为X X上上上上界界界界。假假假假如如如如X X上上上上界界界界集集集集合合合合有有有有最最最最小小小小元元元元素素素素,则则则则称称称称它它它它为为为为X X最最最最小小小小上上上上界界界界或或或或上上上上确确确确界界界界,记记记记为为为为supsupX X或或或或X X.对对对对偶偶偶偶地地地地,能能能能够够够够定定定定义义义义下下下下界界界界、最最最最大大大大下界或下界或下界或下界或下确界下确界下确界下确界(记为记为记为记为infinfX X或或或或X X)。第24页2.4 L型含糊集型含糊集定定定定义义义义2.4.2 2.4.2 偏偏偏偏序序序序集集集集 (L L,)称称称称为为为为格格格格,假假假假如如如如 a a,b b P P,上确界上确界上确界上确界a ab b与下确界与下确界与下确界与下确界a ab b都存在。都存在。都存在。都存在。任意子集都有上、下确界格称为任意子集都有上、下确界格称为任意子集都有上、下确界格称为任意子集都有上、下确界格称为完备格完备格完备格完备格。上上上上、下下下下确确确确界界界界运运运运算算算算满满满满足足足足分分分分配配配配律律律律格格格格称称称称为为为为分分分分配配配配格格格格,这这这这里分配律指有限分配律。里分配律指有限分配律。里分配律指有限分配律。里分配律指有限分配律。定定定定理理理理2.4.32.4.3 设设设设(L L,)为为为为格格格格,则则则则上上上上、下下下下确确确确界界界界运运运运算算算算满满满满足足足足:(1)(1)幂等律幂等律幂等律幂等律:a aa a=a a,a aa a=a a;(2)(2)交换律交换律交换律交换律:a ab b=b ba a,a ab b=b ba a;(3)(3)结合律结合律结合律结合律:(:(a ab b)c c=a a(b bc c),),(a ab b)c c=a a(b bc c););(4)(4)吸收律吸收律吸收律吸收律:a a(a ab b)=)=a a,a a(a ab b)=)=a a.第25页2.4 L型含糊集型含糊集定定定定理理理理2.4.42.4.4 设设设设代代代代数数数数系系系系统统统统(L L,)中中中中二二二二元元元元运运运运算算算算,满足满足满足满足:幂等律幂等律幂等律幂等律:a aa a=a a,a aa a=a a;交换律交换律交换律交换律:a ab b=b ba a,a ab b=b ba a;结合律结合律结合律结合律:(:(a ab b)c c=a a(b bc c),),(a ab b)c c=a a(b bc c););吸收律吸收律吸收律吸收律:a a(a ab b)=)=a a,a a(a ab b)=)=a a.则则则则:(1:(1)a ab b=a a a ab b=b b;(2)(2)在在在在L L中中中中定定定定义义义义二二二二元元元元关关关关系系系系 以以以以下下下下a a b b a ab b=a a.那那那那么么么么 (L L,)是是是是格格格格,且且且且,恰恰恰恰好好好好是是是是这这这这个个个个格格格格(L L,)上、下确界运算。上、下确界运算。上、下确界运算。上、下确界运算。第26页2.4 L型含糊集型含糊集2.Boole2.Boole代数与代数与代数与代数与De MorganDe Morgan代数代数代数代数定定定定义义义义2.4.52.4.5 设设设设L L是是是是有有有有界界界界分分分分配配配配格格格格,0,0,1 1分分分分别别别别是是是是其其其其最最最最大大大大元元元元和和和和最最最最小小小小元元元元。对对对对任任任任意意意意a a L L,若若若若存存存存在在在在a a L L使使使使得得得得a aa a =1,=1,a aa a =0,=0,则称则称则称则称L L为布尔代数。为布尔代数。为布尔代数。为布尔代数。定定定定义义义义2.4.62.4.6 设设设设P P是是是是偏偏偏偏序序序序集集集集,h h:P PP P是是是是映映映映射射射射。假假假假如如如如当当当当a a b b时时时时恒恒恒恒有有有有h h(a a)h h(b b),),则则则则称称称称h h为为为为保保保保序序序序映映映映射射射射。假假假假如如如如当当当当a a b b时时时时恒恒恒恒有有有有h h(b b)h h(a a),),则则则则称称称称h h为为为为逆逆逆逆序序序序映映映映射射射射。假假假假如如如如逆逆逆逆序序序序映映映映射射射射h h满满满满足足足足对对对对合合合合律律律律h h(h h(a a)=)=a a,则则则则h h称称称称为为为为逆序对合对应或逆合映射逆序对合对应或逆合映射逆序对合对应或逆合映射逆序对合对应或逆合映射,也称也称也称也称h h为为为为伪补伪补伪补伪补。第27页2.4 L型含糊集型含糊集定定定定义义义义2.4.72.4.7 设设设设L L是是是是有有有有界界界界分分分分配配配配格格格格,h h:L LL L是是是是L L上上上上一一一一元元元元运算且满足运算且满足运算且满足运算且满足(1)(1)h h(h h(a a)=)=a a,(2)(2)h h(a ab b)=)=h h(a a)h h(b b),),h h(a ab b)=)=h h(a a)h h(b b).).则称则称则称则称L L为为为为De MorganDe Morgan代数。代数。代数。代数。易知易知易知易知De MorganDe Morgan代数中代数中代数中代数中h h是逆合映射。是逆合映射。是逆合映射。是逆合映射。设设设设X X为为为为非非非非空空空空集集集集合合合合,则则则则幂幂幂幂集集集集格格格格(P P(X X),),c c)为为为为布布布布尔尔尔尔代代代代数数数数,而而而而X X上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集全全全全体体体体组组组组成成成成格格格格(F F(X X),),c c)为为为为De MorganDe Morgan代数。代数。代数。代数。任一布尔代数都是任一布尔代数都是任一布尔代数都是任一布尔代数都是De MorganDe Morgan代数代数代数代数,反之不真。反之不真。反之不真。反之不真。第28页2.4 L型含糊集型含糊集3.3.L L型含糊集及其运算型含糊集及其运算型含糊集及其运算型含糊集及其运算定定定定义义义义2.4.82.4.8 设设设设X X为为为为论论论论域域域域(经经经经典典典典集集集集合合合合),),L L是是是是一一一一个个个个有有有有逆逆逆逆合合合合映映映映射射射射(伪伪伪伪补补补补)h h格格格格。则则则则映映映映射射射射A A:X XL L称称称称为为为为集集集集合合合合X X上上上上L L型含糊集合。型含糊集合。型含糊集合。型含糊集合。记记记记F FL L(X X)=)=A A|A A:X XL L为为为为L L型含糊集合型含糊集合型含糊集合型含糊集合.设设设设A A,B B F FL L(X X),),若若若若 x x X X有有有有A A(x x)B B(x x),),则则则则称称称称A A含含含含于于于于B B,记为记为记为记为A A B.B.易知易知易知易知(F FL L(X X),),)为偏序集。为偏序集。为偏序集。为偏序集。可分别定义并、交、补以下可分别定义并、交、补以下可分别定义并、交、补以下可分别定义并、交、补以下:(A AB B)()(x x)=)=A A(x x)B B(x x),),(A AB B)()(x x)=)=A A(x x)B B(x x)。A Ac c(x x)=)=h h(A A(x x).).第29页2.4 L型含糊集型含糊集轻轻轻轻易易易易验验验验证证证证：假假假假如如如如L L是是是是分分分分配配配配格格格格(完完完完备备备备格格格格),),则则则则F FL L(X X)也也也也是是是是分分分分配配配配格格格格(完完完完备备备备格格格格)。假假假假如如如如L L是是是是De De MorganMorgan代代代代数数数数,则则则则F FL L(X X)也也也也De MorganDe Morgan代数。代数。代数。代数。例例例例 设设设设L L=a a,b b|a a b b,a a,b b 0,1.0,1.a a,b b,c c,d d L L,要要要要求求求求 a a,b b c c,d d a a c c,b b d d.则则则则L L是是是是完完完完备格备格备格备格,且以下定义映射且以下定义映射且以下定义映射且以下定义映射h h:L LL L,h h(a a,b b)=1)=1 b b,1,1 a a 是是是是L L上上上上伪伪伪伪补补补补。于于于于是是是是,A A:X XL L是是是是L L型型型型含含含含糊糊糊糊集集集集,这这这这种种种种含糊集在区间分析中是十分有用。含糊集在区间分析中是十分有用。含糊集在区间分析中是十分有用。含糊集在区间分析中是十分有用。第30页第31页2.5 描述含糊概念其它方法描述含糊概念其它方法1.1.高型含糊集高型含糊集高型含糊集高型含糊集前前前前述述述述含含含含糊糊糊糊集集集集,是是是是论论论论域域域域X X到到到到0,0,11映映映映射射射射,对对对对任任任任意意意意x x X X 其其其其隶隶隶隶属属属属度度度度A A(x x)是是是是一一一一个个个个确确确确定定定定值值值值。这这这这是是是是普普普普通通通通含含含含糊糊糊糊集集集集概概概概念念念念。然然然然而而而而,大大大大量量量量含含含含糊糊糊糊现现现现象象象象仅仅仅仅用用用用普普普普通通通通含含含含糊集去描述是不够。糊集去描述是不够。糊集去描述是不够。糊集去描述是不够。实实实实际际际际问问问问题题题题中中中中,极极极极难难难难用用用用一一一一个个个个确确确确切切切切数数数数值值值值来来来来表表表表示示示示一一一一个个个个对对对对象象象象隶隶隶隶属属属属于于于于一一一一个个个个含含含含糊糊糊糊概概概概念念念念程程程程度度度度,经经经经常常常常仍仍仍仍用用用用一一一一个个个个含糊概念来预计这个隶属度。含糊概念来预计这个隶属度。含糊概念来预计这个隶属度。含糊概念来预计这个隶属度。比比比比如如如如,我我我我们们们们惯惯惯惯用用用用这这这这么么么么含含含含糊糊糊糊术术术术语语语语来来来来评评评评价价价价一一一一个个个个人人人人年年年年轻轻轻轻程程程程度度度度:相相相相当当当当年年年年轻轻轻轻、比比比比较较较较年年年年轻轻轻轻、中中中中等等等等年年年年轻轻轻轻、有有有有点年轻、不算年轻等。点年轻、不算年轻等。点年轻、不算年轻等。点年轻、不算年轻等。第32页2.5 描述含糊概念其它方法描述含糊概念其它方法注注注注意意意意,相相相相当当当当年年年年轻轻轻轻、比比比比较较较较年年年年轻轻轻轻、中中中中等等等等年年年年轻轻轻轻、有有有有点点点点年年年年轻轻轻轻、不不不不算算算算年年年年轻轻轻轻等等等等,它它它它们们们们实实实实际际际际上上上上又又又又是是是是0,0,11上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集!比比比比如如如如,对对对对于于于于相相相相当当当当年年年年轻轻轻轻、中中中中等等等等年年年年轻轻轻轻能能能能够够够够用用用用以以以以下下下下普普普普通通通通含含含含糊糊糊糊集集集集来来来来表表表表示示示示(能能能能够够够够说说说说“九九九九成成成成”年年年年轻轻轻轻属属属属于于于于“相相相相当当当当年年年年轻轻轻轻”程程程程度度度度是是是是0.8,0.8,“四四四四成成成成”年年年年轻轻轻轻属属属属于于于于“中中中中等等等等年轻年轻年轻年轻”程度是程度是程度是程度是0.6):0.6):第33页2.5 描述含糊概念其它方法描述含糊概念其它方法为为为为了了了了表表表表示示示示隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数可可可可取取取取0,0,11上上上上含含含含糊糊糊糊集集集集情情情情况况况况,ZadehZadeh在在在在19751975年年年年以以以以下下下下论论论论文文文文中中中中引引引引入入入入二二二二型型型型、高高高高型型型型含含含含糊糊糊糊集概念：集概念：集概念：集概念：L.L.A.A.Zadeh,Zadeh,The The concept concept of of a a linguistic linguistic variable variable and and its its