概率论与数理统计复习课省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

概率论与数理统计复习课武汉理工大学统计学系 毛树华第1页例例1 1、填空题：、填空题：1 1、已知、已知,(1)(1)当当A A、B B互不相容时，互不相容时，(2)(2)当当A A、B B相互独立时，相互独立时，(3)(3)当当 时，时，2 2、已知、已知 则则二、常见例题精解二、常见例题精解 第2页3 3、一个零件加工由两道工序组成，第一道工、一个零件加工由两道工序组成，第一道工序废品率为序废品率为p p，第二道工序废品率为，第二道工序废品率为q q则该零则该零件加工成品率为件加工成品率为 _。4 4、甲甲、乙乙两两人人独独立立地地对对同同一一目目标标射射击击一一次次，其其命命中中率率分分别别为为0.50.5和和0.40.4，现现已已知知目目标标被被击击中，则它是乙射中概率是中，则它是乙射中概率是 。5 5、设设三三次次独独立立试试验验中中，事事件件A A出出现现概概率率相相等等，若若已已知知A A最最少少出出现现一一次次概概率率为为 ，则则在在一一次次试试验中事件验中事件A A出现概率为出现概率为 。第3页例例2 2、单项选择题、单项选择题 ：1 1、以以A A表表示示事事件件“甲甲种种产产品品畅畅销销，乙乙种产品滞销种产品滞销”，则其对立事件为（），则其对立事件为（）A A“甲种产品滞销，乙种产品畅销甲种产品滞销，乙种产品畅销”；B B“甲、乙两种产品均畅销甲、乙两种产品均畅销”；C C“甲种产品滞销甲种产品滞销”；D D“甲种产品滞销或乙种产品畅销甲种产品滞销或乙种产品畅销”。第4页 2 2、假假如如事事件件 、有有 ，则则下下述述结结论论正正确是（确是（）A A 与与 必同时发生必同时发生 B B 发生，必发生；发生，必发生；C C 不发生，必不发生不发生，必不发生D D不发生，必不发生不发生，必不发生 3 3、掷两枚均匀硬币，出现、掷两枚均匀硬币，出现“一正一反一正一反”概概率是（率是（）A A ；B B ；C C ；D D 。第5页 4 4、设、设 、为任意两个事件，且为任意两个事件，且 ，则以下选项必定成立是（，则以下选项必定成立是（）5 5、已已知知 ，假假如它们满足条件（如它们满足条件（）时，则能使等式）时，则能使等式 成立。成立。A A 是一个完备事件组；是一个完备事件组；B B 两两互斥；两两互斥；第6页 C C 相互独立；相互独立；D D 并集是全集。并集是全集。，且 ，例例3 3、设两两独立三个事件、设两两独立三个事件A A、B B、C C，满足，满足求求答案：答案：解：因为解：因为 三事件两两独立，所以三事件两两独立，所以第7页又因为又因为所以所以 例例4 4、用三个机床加工同一个零件，零件由、用三个机床加工同一个零件，零件由各机床加工概率分别为各机床加工概率分别为0.50.5、0.30.3、0.20.2，各机床，各机床加工零件为合格品概率分别为加工零件为合格品概率分别为0.940.94、0.900.90、0.950.95，求全部产品合格率。，求全部产品合格率。第8页 解：设解：设 分别表示零件由第一、分别表示零件由第一、第二、第三个车床加工，第二、第三个车床加工，表示产品为合格表示产品为合格品。则由题意得：品。则由题意得：从而从而:第9页 例例5 5、假定某工厂甲、乙、丙个车间生、假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一螺钉。产量依次占全厂产同一螺钉。产量依次占全厂45%45%，35%35%，20%20%，假如每个车间次品率依次为假如每个车间次品率依次为4%4%，%，5%5%。现在。现在从待出厂产品中检验出个次品，问它是由甲从待出厂产品中检验出个次品，问它是由甲车间生产概率是多少？车间生产概率是多少？解：设解：设 分别表示螺钉由甲、乙、分别表示螺钉由甲、乙、丙三个厂生产，丙三个厂生产，表示螺钉为次品。则由题意表示螺钉为次品。则由题意得：得：第10页从而从而:例例6 6、甲、乙两人各自向同一目标射击，、甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标概率为已知甲命中目标概率为 0.7 0.7，乙命中目标概率，乙命中目标概率为为0.8 0.8 求：求：第11页(1)(1)甲、乙两人同时命中目标概率；甲、乙两人同时命中目标概率；(2)(2)恰有一人命中目标概率；恰有一人命中目标概率；(3)(3)目标被命中概率。目标被命中概率。解解:设设 分别表示甲乙命中目标分别表示甲乙命中目标。则。则第12页例例7 7、设、设 ,，证实：证实：。证证:第13页例例8 8、将将二二信信息息分分别别编编码码为为0 0和和1 1传传送送出出去去，接接收收站站接接收收时时，0 0被被误误收收作作1 1概概率率为为0.020.02，而而1 1被被误误收收作作0 0概概率率为为0.010.01，信信息息0 0和和1 1传传送送频频繁繁程程度度为为2:2:1，若若接接收收站站收收到到信信息息是是0 0，问问原原发发信信息息是是0 0概概率是多少？率是多少？解解:设设 表示发送编码为表示发送编码为0;表示接收编码表示接收编码为为0;由题意知由题意知第14页从而从而:第15页第二章第二章 习题课习题课第16页一、内容概要一、内容概要 1、随机变量定义、随机变量定义 设设 是随机试验，它样本空间是随机试验，它样本空间 ，假，假如对于每一个如对于每一个 ，有一个实数，有一个实数 与与之对应，这么就得到一个定义在之对应，这么就得到一个定义在 上单实上单实值函数值函数 ，称之为，称之为随机变量随机变量。2、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量及其分布列第17页假如随机变量假如随机变量 只取有限个或可数个值只取有限个或可数个值而且取各个值对应概率为而且取各个值对应概率为 即即则称则称 为为离散型随机变量离散型随机变量，上式称为，上式称为 概率概率分布分布，又称，又称分布密度分布密度或或分布列分布列。离散型随机变量分布列含有以下性质：离散型随机变量分布列含有以下性质：第18页（2）（1）3、分布函数及其性质、分布函数及其性质 设设 是一个随机变量，是一个随机变量，是任意实数，函是任意实数，函数数称为称为 分布函数分布函数。第19页4、连续型随机变量及其概率密度、连续型随机变量及其概率密度即即 是右连续。是右连续。分布函数含有以下性质：分布函数含有以下性质：第20页则称则称 为连续型随机变量，为连续型随机变量，为为 概率密度概率密度函数函数，简称，简称概率密度概率密度。设设 是随机变量是随机变量 分布函数，假如存分布函数，假如存在一非负函数在一非负函数 ，使对任意实数，使对任意实数 有有概率密度函数含有以下性质：概率密度函数含有以下性质：第21页（3）对任意实数）对任意实数 有有（4）若）若 在点在点 处连续，则处连续，则5、惯用概率分布、惯用概率分布（1）0-1分布分布第22页（2）二项分布）二项分布（3）泊松分布）泊松分布第23页（4）几何分布）几何分布（5）均匀分布）均匀分布（6）正态分布）正态分布第24页 当当 时，称为标准正态分时，称为标准正态分布布,记为记为 。其密度函数和分布函数惯。其密度函数和分布函数惯用用 和和 表示：表示：第25页（7）指数分布）指数分布6、二维随机变量及联合分布、二维随机变量及联合分布第26页 设设 是两个随机变量，假如对任意是两个随机变量，假如对任意一组实数一组实数 ，使得，使得是一个随机事件，则称为是一个随机事件，则称为二维随机变量二维随机变量。为二维随机变量为二维随机变量 联合分布函数。联合分布函数。对应地，称对应地，称第27页为为 分别关于分别关于 和和 边缘分布函数边缘分布函数。称称第28页7、二维离散随机变量概率分布、二维离散随机变量概率分布为为 联合分布列联合分布列或或分布列分布列。设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 可能取值为可能取值为 ，对应概率为，对应概率为，则称，则称第29页称称分别为关于分别为关于 和和 边缘分布列边缘分布列。8、二维连续随机变量概率密度、二维连续随机变量概率密度第30页 设二维随机变量设二维随机变量 分布函数分布函数 ，假，假如存在一非负可积二元函数如存在一非负可积二元函数 ，使对任意，使对任意实数实数 有有则称则称 是是二维连续型随机变量二维连续型随机变量，对应二元，对应二元函数函数 称为称为 联合密度联合密度。它含有以下。它含有以下性质：性质：第31页（3 3）在）在 连续点连续点，有有（4 4）对平面上任意区域）对平面上任意区域第32页（5）和和 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为9、二维均匀分布和正态分布、二维均匀分布和正态分布 设设 是是平平面面上上有有界界区区域域，其其面面积积为为 。若若二维随机变量二维随机变量 含有概率密度含有概率密度第33页则称则称 在在 上服从上服从二维均匀分布二维均匀分布。若二维随机变量若二维随机变量 含有概率密度：含有概率密度：第34页其中其中均为常数均为常数,且且则称则称 服从参数为服从参数为二维正态分布二维正态分布。10、随机变量独立性、随机变量独立性 设设 是两个随机变量，若对任意实数是两个随机变量，若对任意实数 有有第35页则称则称 与与 是是相互独立相互独立。随机变量随机变量 和和 相互独立充分必要条件是：相互独立充分必要条件是：连续型随机变量连续型随机变量 与与 相互独立充分必要相互独立充分必要条件是：条件是：第36页 离散离散型随机变量型随机变量 与与 相互独立充分必相互独立充分必要条件是：要条件是：11、随机变量函数分布、随机变量函数分布则则 也是一离散型随机变量，且其分布也是一离散型随机变量，且其分布列为：列为：若若 是一维是一维离散型随机变量，其离散型随机变量，其分布列为分布列为第37页 若已知若已知 ，是严格单是严格单调函数，其反函数调函数，其反函数 有连续导数。则有连续导数。则 也是连续型随机变量，也是连续型随机变量，其概率密度其概率密度为：为：（注：（注：使反函数无意义使反函数无意义 ，定义概率密度为定义概率密度为0）第38页 假如假如 联合概率密度为联合概率密度为 ，则随机变量则随机变量 概率密度为概率密度为尤其地，当尤其地，当 与与 相互独立时，相互独立时，上式称为上式称为 和和 卷积公式卷积公式。第39页二、常见例题精解二、常见例题精解 例例1 1、填空题、填空题 1 1、设设随随机机变变量量X X与与Y Y相相互互独独立立，且且它它们们分布列均为：分布列均为：，则，则 =。2 2、设设X XN N（），其其中中 =2=2，未未知知，若若 已已 知知 P P（2X42X4）=0.3=0.3，则则P P（X X011）=。5 5、已知随机变量、已知随机变量 X X 分布函数为：分布函数为：则则 A=A=，B B=,=，X X密度函数密度函数 。第41页 例例2 2、设随机变量、设随机变量 X X 概率密度函数为：概率密度函数为：试求：（试求：（1 1）系数）系数 ；（2）求 （3）分布函数 答案：答案：1 1、；2 2、0.20.2；3 3、；4 4、1-3e1-3e-2-2；5 5、；解：（解：（1 1），），所以所以 第42页当当 时，时，,（3）当当 时，时，当当 时，时，。所以所以 第43页 解：解：例例4 4、设随机变量、设随机变量X X服从区间（服从区间（2 2，5 5）上）上 例例3 3、某某种种电电池池寿寿命命服服从从正正态态分分布布N N（），其其中中 ，求求 ，使使寿寿命命在在 与与之间概率大于之间概率大于0.90.9。第44页均均匀匀分分布布，现现在在对对X X进进行行三三次次独独立立观观察察，试试求求最少有两次观察值大于最少有两次观察值大于3 3概率。概率。解解:设设 表示观察值大于表示观察值大于3 3次数次数 ,则则 例例5 5、已已知知X X 和和Y Y为为同同一一分分布布随随机机变变量量，并并知道知道 且有且有 ，试求，试求（X X，Y Y）联合分布列；并求）联合分布列；并求 第45页 解：因为解：因为 第46页依据联合分布与边缘分布列关系，有：依据联合分布与边缘分布列关系，有：所以所以(X X，Y Y)联合分布列以下表联合分布列以下表 ：第47页（1 1）求关于）求关于 和和 边缘概率密度边缘概率密度 ；（2 2）判断）判断 与与 是否相互独立；是否相互独立；满足满足 点为点为 它们它们对应概率全为对应概率全为0 0，所以，所以 例例6 6、已知、已知 联合概率密度为：联合概率密度为：（3 3）求）求 ；。第48页，解：（解：（1 1）对于）对于 所以所以 （2 2）显然）显然 ，所以，所以 与与不独立。不独立。（3 3）对于对于 ，所以所以 第49页第50页例2(1)求求F(x,y);1D1O xy(2)求求(X,Y)落在区域落在区域D内概率内概率,区域区域D如图如图所表示所表示.第51页解解(1)第52页(2)1D10 xy第53页第54页第55页第56页第57页第58页第59页第60页备用题第61页第62页第63页备用题第64页第65页第三章第三章 习题课习题课第66页一、内容概要一、内容概要 1、数学期望、数学期望（1 1）设离散型随机变量）设离散型随机变量 分布列为分布列为假如假如 收敛，则称级数收敛，则称级数 和为随机变量和为随机变量X数学期望数学期望，记为，记为第67页即即 （2 2）设）设 X 为连续型随机变量，概率密度为连续型随机变量，概率密度为为 ，假如积分，假如积分 绝对收敛，则称绝对收敛，则称积分积分 值为连续型随机变量值为连续型随机变量 X 数学期望数学期望，记为，记为 ，即，即第68页(3)设设 是随机变量是随机变量 函数：函数：若若 是离散型随机变量，其分布列为是离散型随机变量，其分布列为假如级数假如级数 收敛，则收敛，则若若 是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为第69页假如假如 收敛，则有收敛，则有（4）二维随机变量函数数学期望）二维随机变量函数数学期望 假如假如 是二维随机变量，是二维随机变量，是关于是关于X 和和Y 二元函数，二元函数，当当 是二维离散型随机变量，其联是二维离散型随机变量，其联合分布列为合分布列为第70页则则 当当 是二维连续型随机变量，其是二维连续型随机变量，其联合概率密度为联合概率密度为 ，则，则 第71页（5 5）数学期望性质）数学期望性质 假如假如 X、Y 是两个随机变量，是两个随机变量，C 为任意常为任意常数，且数，且 都存在，则数学期望有都存在，则数学期望有以下四条常见性质。以下四条常见性质。假如假如 X 与与 Y 相互独立，则相互独立，则第72页2、方差、方差 （1 1）对随机变量）对随机变量 X ，假如，假如 存存在在 ，则称，则称 值为随机变量值为随机变量X 方差方差 ，即，即（2）方差性质）方差性质第73页3、协方差和相关系数、协方差和相关系数 设（设（X，Y）是二维随机变量）是二维随机变量,假如假如 存在存在,则称之为则称之为 X 与与 Y 协方差协方差,记为记为第74页即即而而称之为称之为 X 与与Y 相关系数相关系数。协方差和相关系数含有以下几条性质：协方差和相关系数含有以下几条性质：第75页充分必要条件是存在充分必要条件是存在常数常数a，b 使使当当 X、Y 相互独立时，相互独立时，第76页4、常见分布数学期望和方差、常见分布数学期望和方差泊松分布几何分布二项分布0-1分布名 称2/)1(pp-第77页名 称均匀分布正态分布指数分布第78页例例1 1、填空题、填空题 1 1、已知、已知 。2 2、相互独立，相互独立，则则 ；3 3、若、若X X 服从区间服从区间 上均匀分布，则上均匀分布，则 。二、常见例题精解二、常见例题精解 第79页4 4、若、若 ，则，则 。5 5、某人进行投篮训练，命中率为、某人进行投篮训练，命中率为p p，一旦投中就，一旦投中就可结束训练可结束训练,则需要投篮次数方差是则需要投篮次数方差是 。答案：答案：1 1、37;237;2、11;311;3、0;40;4、2.5;52.5;5、。例例2 2、设随机变量、设随机变量 服从参数为服从参数为1 1指数分布，指数分布，求数学期望求数学期望 。解：解：故故 第80页 例例3 3、飞飞机机在在第第一一次次飞飞行行后后必必须须进进行行检检修修概概率率是是0.40.4，在在以以后后两两次次飞飞行行中中，每每一一次次飞飞行行后后其其被被检检修修概概率率各各增增加加0.10.1，求求三三次次飞飞行行后后修修理次数数学期望。理次数数学期望。解：解：表示第表示第 次飞行后须进行检修次数，次飞行后须进行检修次数，则则 ，其分布列为：，其分布列为：第81页所以所以 例例4 4、设设随随机机变变量量 与与 独独立立，且且均均服服从从正态分布正态分布 ，求，求 、及及 解：因为解：因为 ，所以，所以 又又 所以所以 第82页例例5 5、若二维随机变量（、若二维随机变量（X X,Y Y）概率密度为）概率密度为 求求（1），；（2）（3）问问 是否相互独立。是否相互独立。第83页解：（解：（1 1）（2 2）由（）由（1 1）同理可知：）同理可知：第84页（3 3）因为）因为 ，所以，所以 不相不相互独立。互独立。第85页第四章第四章 习题课习题课第86页一、内容概要一、内容概要 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量 X 有数学期望有数学期望 和和 方差方差 则对于任意给定正数则对于任意给定正数 总成立不总成立不等式等式 第87页2、依概率收敛、依概率收敛 设设 为一个随机变量序列，为一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数是一个常数，若对于任意正数 都有都有则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛依概率收敛于于 a。().1lim=G=-0,00,)2(21);(21222xxexnnxxnnc第110页 分布含有以下性质：分布含有以下性质：（1）设设 ，且它，且它们相互独立，则们相互独立，则 （2）设设 则有则有 第111页5、分布分布所服从分布是自由度为所服从分布是自由度为n t 分布，记作分布，记作:则称统计量则称统计量设设且且X与与Y相互独立，相互独立，第112页6、分布及其性质分布及其性质所服从分布为自由度是（所服从分布为自由度是（m,n)F 分布，分布，则称则称设设且且X与与Y相互独立相互独立,则则 假如假如第113页7 7、正态总体样本均值与样本方差分布、正态总体样本均值与样本方差分布（1）（2）与与 相互独立相互独立;（3）与与方差，则方差，则若若是来自正态总体是来自正态总体 一个样本，一个样本，分别为样本均值与样本分别为样本均值与样本第114页（4）)2(11)()(1221-+-=mntmnSYXTmm样本，且它们相互独立，则样本，且它们相互独立，则 设设和和来自正态总体来自正态总体和和是分别是分别两个两个第115页其中其中第116页二、常见例题精解二、常见例题精解例例1 1填空题填空题 1 1设统计量设统计量 ，则，则 ；2 2设设 ，为样本，为样本，是样是样 本均值。则本均值。则 服从分布为服从分布为 ；3 3设设 则则 =；第117页4 4 ，为样本。若要求为样本。若要求 则则 =；5 5总体总体 与与 相互独立，且相互独立，且 与与 是两总是两总 体中抽取独立样本。体中抽取独立样本。与与 是两样本方差是两样本方差则则 。答案答案 1.1.；2.2.；3.3.；4.4.；5.5.第118页 例例2 2设设总总体体 ,是是简简单单 随随 机机 样样 本本,为为 样样 本本 均均 值值,(1),(1)若若 ,计计 算算 ;(2);(2)若若要要求求 ,最最少少 取取多大？多大？解：（解：（1 1）因为）因为 所以所以 （2 2）为使）为使 第119页所以所以 最少取最少取 1537 1537。例例3 3设设 ，是简单随机样本是简单随机样本,试决定常数试决定常数 ,使使 服从服从 分布。分布。解：因为解：因为 第120页所以所以 故故 。例例4 4 ，抽取样本容量，抽取样本容量 简单随机简单随机样本，样本，计算计算:解：因为解：因为 ，所以，所以，第121页当当 时，有时，有 解：因为解：因为 所以所以 例例5 5设设 ，为样本为样本,为样本方差，即为样本方差，即 已知已知求求 第122页例例6 6 ，且相互独立，且相互独立，从从 、两总体中分别抽取两总体中分别抽取 ，和，和 简简单随机样本，样本方差分别为单随机样本，样本方差分别为 与与 计算计算 解：因为，解：因为，所以所以 第123页第124页第六章第六章 习题课习题课第125页一、内容概要一、内容概要1、预计量与预计值、预计量与预计值 设总体设总体 分布函数分布函数 形式为已知，形式为已知，是待估参数是待估参数,是是 一个样本一个样本,是对应一个样本值是对应一个样本值,点预计问题就是要结构点预计问题就是要结构一个适当统计量一个适当统计量 用其观察值用其观察值 来预计未知参数。来预计未知参数。称为称为预计量预计量，称为称为预计值预计值。第126页2、矩预计法、矩预计法 用样本各阶原点矩作为总体各阶原点矩用样本各阶原点矩作为总体各阶原点矩预计而求得求知参数预计量称为矩预计量。预计而求得求知参数预计量称为矩预计量。3、极大似然预计、极大似然预计 设总体设总体 含有概率密度函数含有概率密度函数 或或分布列函数分布列函数 ，是是 维维参数向量，样本参数向量，样本 联合密度函联合密度函数数第127页称为称为似然函数似然函数。或者或者 假定在假定在 给定条件下，存给定条件下，存在在 维统计量维统计量 第128页使得似然函数使得似然函数在在取得极大值，则称取得极大值，则称 是是 极大似然预计量极大似然预计量。假如似然函数关于假如似然函数关于 可微，则使似然函可微，则使似然函数到达最大数到达最大 一定满足以下正则方程组：一定满足以下正则方程组：第129页4 4、预计量衡量标准、预计量衡量标准（1）无偏性）无偏性是是一个预计量，假如一个预计量，假如成立，则称成立，则称是是一个一个无偏预计量无偏预计量。设设（2）有效性）有效性 设设 都是未知参数都是未知参数无偏预计无偏预计若若,则称预计量则称预计量较较有效有效。第130页若若无偏预计无偏预计满足满足则称则称为为有效预计有效预计或或最小方差无偏预计最小方差无偏预计。（3）一致性）一致性设设为未知参数为未知参数预计量，若对任意正数预计量，若对任意正数有有则称则称为为一致预计一致预计。1)(lim=-e eq qq qnnP第131页5 5、置信区间、置信区间且且若对于给定若对于给定有有则称随机区间则称随机区间 是参数是参数 置信区置信区间间或或区间预计区间预计，分别称为分别称为设总体设总体X分布中含有未知参数分布中含有未知参数 由样本由样本结构两统计量：结构两统计量：及及,1)(21a aq qq qq q-=P第132页 置信下限置信下限和和置信上限置信上限，称为称为置信水平置信水平或或置信度置信度或或置信概率置信概率。第133页二、常见例题精解二、常见例题精解例例1 1填空题填空题 1 1、设是来自正态总体容量、设是来自正态总体容量 为为3 3样本，样本，其中其中 则则 皆为皆为 预计，其中预计，其中_在在 预计中最有效。预计中最有效。_ 2 2、设、设 总体服从总体服从00 上均匀分布，其中上均匀分布，其中 第134页 为未知参数，为未知参数，为来自总体为来自总体X X样样本，则本，则 矩预计量是矩预计量是 ，极大似然预计极大似然预计是是 。3 3、设总体、设总体 概率密度是概率密度是 (是未知参数是未知参数)为来自总体为来自总体X X 样本，则极大似然函数样本，则极大似然函数_,极大极大 似然预计量是似然预计量是 _。4、设总体、设总体X服从服从 ，已知。已知。第135页为来自总体为来自总体X样本，则样本，则 置信度为置信度为 置信区置信区间是间是 。5、设总体、设总体X服从分布服从分布 ，其中，其中 为未知参为未知参数，为固定整数，则数，为固定整数，则 极大似然预计量是极大似然预计量是 。答案：答案：1.无偏预计，无偏预计，2.，3.，；4.5.第136页 解：由总体解：由总体X概率密度函数知，似然函概率密度函数知，似然函 数为：数为：例例2设总体设总体X分布列为：分布列为：，是来自总体是来自总体X容量为容量为样本，求样本，求 极大似然预计量。极大似然预计量。取对数取对数 令令 第137页 解得极大似然预计值为：解得极大似然预计值为：所以所以 极大似然预计量为：极大似然预计量为：。例例3设总体设总体X分布列为：分布列为：0 1 2 3其中其中 是未知参数，利用总体是未知参数，利用总体X以以下样本值：下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求，求 第138页 矩预计值和极大似然预计值。矩预计值和极大似然预计值。解：（解：（1）利用）利用 得：得：所以所以 矩预计值为：矩预计值为：。（2）由已知似然函数为：）由已知似然函数为：取对数取对数 令令，解之得：，解之得：解得极大似然预计值为：解得极大似然预计值为：第139页例例4设设总总体体X服服从从1，2，N 上上均均匀匀分分布，即布，即其中其中N是未知是未知 参数（参数（N为正整数），试求为正整数），试求N矩预计量。矩预计量。解解：利利用用 得得：，解之得：解之得：，所以，所以N矩预计量为：矩预计量为：例例5设设 是来自总体是来自总体X一个简单随一个简单随机样本，机样本，X密度函数密度函数 第140页求未知参数求未知参数 矩预计量与极大似然预计量。矩预计量与极大似然预计量。解：解：由替换原由替换原 则则 ，得：，得：所以，所以，为为 又似然函数为：又似然函数为：第141页两边对两边对 求导得似然方程求导得似然方程，即即，所以，所以，极大似然预计量为极大似然预计量为第142页