逻辑常项的使用规则的生成与证成_周志荣.pdf
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1、逻辑学研究2023 年第 1 期,118文章编号:1674-3202(2023)-01-0001-18逻辑常项的使用规则的生成与证成周志荣摘要:在证明论语义学中,一个逻辑常项的 I-规则通常作为该常项的意义定义是自我证成的,而其 E-规则就是通过其与 I-规则的协调性来证成的。这种思想遭受到tonk-问题挑战,而解决这个问题实质上就是解决逻辑常项的使用规则的协调性问题。E-规则的普遍形式所包含的 GE-协调性没有对 I-规则如何“协调地导致”相应的 GE-规则做出清楚的描述,也无法用于解答普通 E-规则的证成问题。基于 GE-规则的生成机制的 GM-协调性能够弥补这两点不足,但是它仍然无法排除
2、具有弱 E-规则的不协调的常项。由 GE-和 Ge-规则的生成机制所共同保证的 Ge-协调性则可以克服以上这三点不足,从而能够为逻辑常项的使用规则的协调性问题以及证成问题提供更好的解答。关键词:证明论语义学;逻辑常项;协调性;tonk-问题;规则的证成中图分类号:B81文献标识码:A在证明论语义学中,逻辑常项的意义是通过它的两个核心的使用规则来刻画的,那就是引入规则和消去规则(以下简称为“I-规则”和“E-规则”)。通常,其中一者在对逻辑常项的语义解释中会被赋予优先性,而具有优先性的规则被看作是意义定义性的,它们是自我证成的,而另外一个规则被看作是意义应用性的,需要借助语义优先的规则来证成。证
3、明论语义学提供的常见的语义解释原则有两种:I-优先原则和 E-优先原则(在哲学上,它们分别对应于证实主义和实用主义的意义观念)。不过,逻辑常项的使用规则的证成面临着一个严峻的挑战,那就是tonk-问题。普莱尔(A.N.Prior)于 1960 年提出了著名的 tonk 算子,它的两个使用规则分别是:tonk (tonkI)和 tonk (tonkE)。(12)1无论按照 I-优先原则还是 E-优先原则,tonk 似乎都应该被当作一个有意义的逻辑常项。但问题是,在一个一致的演绎系统中添加 tonk 的使用规则会导致扩张系收稿日期:2022-08-24;修订日期:2022-10-31作者信息:周志
4、荣中南财经政法大学哲学院基金项目:国家社科基金重大项目“逻辑词汇的历史演进与哲学问题研究”(20&ZD046);国家社科基金项目“证明论语义学的核心问题研究”(16CZX052)。1通常,规则是采取树形方式来表达的,由横线隔开,处于横线上方的公式是规则应用(推导)的前提,处于横线下方的公式是规则应用(推导)的后果。为节约空间,在非必要的情形下我们采取横式的描述方式,用“”代替树形中的横线,将前提和结论分开。对于假设性前提,我们用“”表示由假设 到 的一种推导,是基于 2逻辑学研究第 16 卷 第 1 期 2023 年统的平凡化,即在该扩张系统中,对任意公式 和 都有:。关于 tonk-问题,主
5、要有两种应对方案:一是通过修改推导关系或逻辑后承关系的性质来阻止tonk 产生坏的后果,比如禁止传递性的推导关系,或修改保真性的逻辑后承关系(2,16);二是对逻辑常项的使用规则提出协调性的要求,以便阻止那些具有不协调的使用规则的算子(19,22)。本文同样将 tonk-问题归结为(逻辑)常项的使用规则的协调性问题。贝尔纳普(N.Belnap)的保守性要求(1)、普拉维茨(D.Prawitz)的“倒置原则”(10)、达米特(M.Dummett)的“局部峰的削平”思想(3)都是对协调性问题做出的回应。这些对协调性的理解都遵循了 I-优先原则,忽略了 E-规则对协调性的贡献,因此这些标准无法阻止另
6、外一些不协调情形。近来较受关注的GE-协调性标准诉诸于 E-规则的普遍形式(即 GE-规则形式)来表达 I-和 E-规则之间的协调性。(4,15)2这种做法欠缺对于普通 I-和 E-规则与 GE-规则之间关系的考虑,因而同样无法排除一些明显的不协调情形。本文的核心工作在于描述由逻辑常项的 I-规则生成其 GE-规则以及其 E-规则的机制,以及直接由其 E-规则生成普遍的 E-规则的机制,并论证这两种生成机制包含了两种协调性的要求,它们(尤其是后者)可以弥补上述协调性标准的不足,从而为逻辑常项的使用规则的协调性问题以及证成问题提供一个更好的解答。1tonk-问题与不协调性的两种类型一个逻辑常项的
7、意义是借助它的 I-规则或 E-规则来定义的,但这并不意味着拥有这两种规则的常项或算子都具有融贯的意义。普莱尔 1960 年提出的 tonk 就是一个经典的例子,借助 tonk 的两个使用规则和结构性推导规则的应用3,我们可以得到:。由于 和 是任意公式,这意味着将 tonk 添加到一个一致的演绎系统 S 中会造成非保守的扩张,其扩张系统 Stonk 中的推导关系被平凡化。由 tonk 导致的问题包含了两个层面:第一、我们希望一个逻辑常项至少应该具有融贯的意义。如果一个常项的使用规则导致了不一致的后果,那么这个常项的意义就不是融贯的,这不仅说明包含该常项的语言功能异常,而且这样的常项也不应该被
8、看作是逻辑的常项。因此,导致平凡化后果的规则是不可接受的,像这个假设推导出来的后果,其中“”对应于树形表达中的“.”。(注意,这与施罗德海斯特(P.Schroeder-Heister)将“”当作二阶规则不同,在他给出的树式规则中,“”既可以表示由假设 到 的推导构成的前提,也可以整个地被处理为一个假设性前提中的假设,比如()。)(18)2“GE-协调性”是“普遍的消去的协调性(general-elimination harmony)”(有时候也写作“普遍化的消去的协调性(generalised-elimination harmony)”)的简称。这种说法是由弗朗西斯(N.Francez)和迪克
9、霍夫(R.Dyckhoff)于 1997 年先提出来的,可惜他们的这篇论文直到 2012 年才公开发表,里德(S.Read)于 2010 发表的论文则直接在其标题中使用了“GE-协调性”,但他在文中也承认他借用了弗朗西斯和迪克霍夫的说法。(15,第 562 页)3这里涉及的结构性推导规则就是传递性规则(Trans):如果 ,则 。周志荣逻辑常项的使用规则的生成与证成3tonk 这样的常项必须作为异常算子被排除掉。第二、作为逻辑的常项而言,保守性扩张是一个必要的要求,否则就会与逻辑的单纯性原则(principle of innocence)相冲突。按照逻辑的单纯性原则,将一个逻辑常项及其规则添加
10、到一个语言或理论中不应该对原有语言的意义和原有理论所断定的内容造成任何影响。(3,第220 页;21,第 619 页;7,第 207 页)4为了阻止 tonk 这样的异常算子,贝尔纳普提出了保守性的要求。(1)按照该要求,令 S 为一个背景理论,为这个理论上的推导关系,令 S+=S 是对 S 的扩张。该扩张是保守的,当且仅当,对任意 LS公式集 和公式,如果 S+则 S。然而,不难看出,这种保守性要求依赖被扩张理论的演绎背景即推导关系或逻辑后承关系的性质,因此至少有三种情形对该要求构成例外:(1.1)背景理论本身就是平凡的,对它的任何扩张仍然是平凡的,因而是保守的。在这种情形下,tonk 则满
11、足保守性的要求。(1.2)相对于较弱的演绎系统,添加一个在我们看来正常的逻辑常项反而会导致非保守性的扩张。析取就是一个非常典型的反例:量子析取()的推理规则使得析取分配律(即()()())在量子逻辑系统中失效。(3,第 66、77 页)5这是因为:虽然量子析取与经典析取()具有相同的 I-规则,但前者的 E-规则却较后者弱,因为前者的应用是有限制条件的而后者没有,即前者禁止使用并行前提(collateral premises)进行推导。如果我们将经典析取添加到,这个演绎系统中,在扩张系统,中,析取分配律则可以被推导出来,而它在原来的,系统中却是不可推导的。这表明,是对,的非保守性扩张。(1.3
12、)如果背景理论禁止传递性推导,添加 tonk 到这个理论中就不会导致平凡化的后果。这也指明了解决 tonk-问题的一种常见做法。库克(R.Cook)从模型论语义学的角度,借助一种四值语义学改造了经典的逻辑后承关系,提出 tonk-后承关系,这种后承关系就是非传递的,从而保证|=tonk 和 tonk|=,但是|=。(2)雷普利(D.Ripley)则从证明论语义学的角度论证说矢列演算系统中的切割(Cut)规则的应用是造成平凡化后果的主要原因,并且他认为这条规则缺乏充分的正当性。(16)如果在一个基于矢列演算的演绎系统 S 中禁止使用切割规则(这就相当于在自然演绎的系统中禁止了传递性的推导),那么
13、添加 tonk-规则就不会导致平凡4当然,并非所有学者都认为单纯性原则是一个合理的要求。(17,第 238 页)不过,将意义的融贯性和逻辑单纯性原则看作是要求逻辑常项的 I-和 E-规则必须具有协调性的理由,这是研究逻辑常项的使用规则的证成问题或协调性问题的基本出发点。这两点也是我们考察一个协调性标准是否合理的依据。本文所要提出的协调性标准的合理性同样可以依据这两点来评估,实际上它也通过弥补了其他协调性标准在这两点上的不足而得到自我辩护。5量子逻辑与经典逻辑的实质区别就在于前者放弃了析取分配律。普特南在 1968 年通过例证表明析取经典的分配律并不是普遍有效的,而且他指出,该规律也是在量子逻辑
14、中唯一放弃的经典规律。(13,第 226 页)达米特也将量子析取看作是对经典逻辑和实在论的挑战,尽管量子逻辑仍然接受排中律。(3,第 333 页)4逻辑学研究第 16 卷 第 1 期 2023 年化的后果。无论通过何种方式禁止传递性的推导关系,都可以解决 tonk 导致的平凡化问题。但这种方法并不具有普遍有效性。万兴(H.Wansing,23)构造出更多的类似于 tonk 的异常算子6,这些算子的使用规则分别会导致包含特定推导关系的系统平凡化。比如,下面这些推导关系:(G)最普遍的推导关系:|=并且();(F)前进式的推导关系:|(),=并且();(B)后退式的推导关系:|(),=并且();(
15、Q)准有序性的推导关系:|(),(并且 ),=并且();由于后文要用新的方法分析这些常项,这里有必要将这些常项的使用规则和导致的问题陈述如下(其中“”表示 是被相应规则的应用所解除的假设):7(1.4)tonk(tonkI)tonk (tonkE)(1.5),tonk(tonkI)tonk (tonkE)(1.6)(I1),(I2)(E)(1.7),supertonk(supertonkI)supertonk (supertonkE)这里要注意:在所有这些 E-规则中,结论 与相应 I-规则的前提中的 不必相同。与之前我们讨论过的逻辑常项不同,这里算子都是 0-元的,和 与 I-规则的结论以及
16、 E-规则的大前提并没有结构上的联系,所以 I-规则的前提与 E-规则的小前提以及结论并没有实质的联系,甚至可以说 I-和 E-规则除了出现了 0-元算子构成的公式相同之外,其他公式可以完全没有联系,这些公式分别对于相应的I-和 E-规则而言是任意的。分别将这四组规则添加到 F-逻辑、B-逻辑、Q-逻辑和 G-逻辑的演绎系统中,就会得到以下结果:(23,第 658659 页)6本文只将导致平凡化问题的算子称为“异常算子”。7除此之外,对这些异常算子的I-和E-规则,万兴分别给出了树形的描述和横式的描述,他的横式描述和我们这里给出的稍有不同,以tonk的规则为例,他给出的横式描述为:tonk(I
17、)tonk (E)。这种横式描述与树式描述并不是完全匹配的,横式的表述严格地讲不能被看做是一个算子的引入和消去规则,因为至少在 I-规则中,其结论并不是以该算子为主算子的公式,而是一个推导。在本文中,我们对规则提供的横式描述更符合万兴的树式所要表达的意思。周志荣逻辑常项的使用规则的生成与证成5(1.8)tonk 是使 F-逻辑的演绎系统平凡化的算子;(1.9)tonk 是使 B-逻辑的演绎系统平凡化的算子;(1.10)是使 Q-逻辑的演绎系统平凡化的算子;(1.11)supertonk 是使 G-逻辑的演绎系统平凡化的算子。以 tonk 和 supertonk 为例。由于在 F-逻辑的演绎系统
18、中,推导关系具有“前进式”的性质:对于任意公式,都存在一个公式 使得 。我们可以将这种性质理解为一种结构性规则,称之为(F)。类似地,在 G-逻辑的演绎系统中,推导关系具有普遍形式,即存在公式、使得 ,称之为(G)。(F)(tonkI)tonk(tonkE)(G)(supertonkI)supertonk(supertonkE)由以上两个推导过程可见,分别在 F-逻辑和 G-逻辑的扩张系统中,我们可以由任意公式 可推导出任意公式,这意味着,将 tonk 和 supertonk 的 I-规则和E-规则分别添加到 F-逻辑和 G-逻辑的演绎系统中,就会导致平凡化的后果。另外两个异常算子的情况与此相
19、似。根据万兴得到的结果,要解决平凡化问题,我们似乎不得不禁止上述所有推导关系。甚至为了解决 supertonk 的问题,我们不得不禁止做任何推导。这显然不是解决问题的恰当方式。因此,回到起点,我们要考虑的 tonk-问题并不仅仅指由 tonk 造成的平凡化问题,而是由所有类似的异常算子造成的平凡化问题,而这个问题可以进一步地归结为:什么样的 I-规则和 E-规则才能赋予一个逻辑常项以融贯的意义?人们的共识是:一个逻辑常项的这两种使用规则应该具有某种满足逻辑单纯性原则的协调性。假设一个逻辑常项的这两种使用规则是协调的,就会存在两种不协调的情形:(21,第 621 页)(1.12)增强其 E-规则
20、(或削弱其 I-规则),由此得到的新算子就带有强 E-规则(或弱 I-规则),相应导致的不协调性可被称为“强消去的不协调性”(或“弱引入的不协调性”),例如 tonk 及其类似的异常算子的使用规则体现出来的不协调性。(1.13)削弱其 E-规则(或增强其 I-规则),由此得到的新算子就带有弱 E-规则(或强 I-规则),相应导致的不协调性可被称为“弱消去的不协调性”(或“强引入的不协调性”),例如量子析取的使用规则的不协调性。为了阻止“不协调的”情形,我们首先需要明确一个恰当的“协调性”标准。但事实上,人们对于“协调性”这个概念有着不同的理解。除了上述基于系统保守性的理解之外,还有另外一些理解
21、,例如普拉维茨的“倒置原则”、达米特的“局部峰的削平”以及近来受关注较多的“GE-协调性”。接下来,本文分别阐释这些6逻辑学研究第 16 卷 第 1 期 2023 年概念,并着重探讨 GE-协调性,因为这种协调性与本文要描述的 I-和 E-规则之间的生成关系密切相关。2GE-规则与 GE-协调性达米特将贝尔纳普的保守性要求称为“背景协调性”或“总体协调性”,与此相对应的是他所主张“内在协调性”(3,第 250 页),后者只与一个常项的 I-和 E-规则的连续应用在推导中造成的“局部峰”有关。一个“局部峰”就是关于E-规则应用的结果的一种迂回的、间接的推导,而削平局部峰(leveling a p
22、eak)是确保 I-和 E-规则具有内在协调性的途径,这就是要实现从 I-规则应用的前提到相应的 E-规则应用的结果的直接推导。这与普拉维茨的“倒置原则”所要表达的基本思想是一致的:一个逻辑常项的 I-规则“定义了”该常项的意义,而其 E-规则就是该意义的应用,因而其 E-规则可以被看作是其 I-规则的“倒置”。(10,第33 页)“倒置原则”的思想可以追溯到根岑。(5,第 81 页)根据根岑的看法,逻辑常项的 E-规则是借助作为相应的 I-规则的“倒置”而得到证成的。这些协调性概念的共同之处就是假设 I-规则优先于其 E-规则,是意义定义性的,而 E-规则是意义应用性的,前者作为定义是自我证
23、成的,而后者需要借助与前者的协调性来证成。无论普拉维茨的“倒置原则”还是达米特的“局部峰的削平”,都意在确保逻辑常项的 I-和 E-规则满足局部的保守性要求,即至少 E-规则的应用结果不会超出 I-规则的应用前提。虽然这种要求可以摆脱对演绎系统本身的依赖,但其缺点也很明显,那就是无法对弱消去的不协调性问题做出回应,当然也无法对具有标准规则的逻辑常项(如经典析取)可能造成的非保守性扩张问题做出回应。这些理解都将(逻辑)常项的 I-规则置于更基础的位置,从而忽略了 E-规则对于(逻辑)常项的融贯意义的贡献,这还导致:如果两个(逻辑)常项具有相同的 I-规则且它们的 E-规则都不强于该 I-规则的话
24、,那么它们就是同义的。GE-协调性则有所不同,它将 E-规则置于更重要的位置。它并不否认 I-规则是意义定义性的,而是直接将协调性问题归结为 E-规则的普遍形式问题,试图借助逻辑常项的 E-规则的特定普遍形式来说明其 E-规则与 I-规则的“倒置”关系。逻辑常项的 E-规则的特定普遍形式(即 GE-规则)被认为包含了一种协调性的要求:(HGE)(逻辑)常项 的“I-规则与 E-规则是 GE-协调的,当且仅当其 E-规则是由I-规则所协调地导致的 GE-规则”。(4,第 623 页)由于一个逻辑常项的 GE-规则也是它的其中一个 E-规则,为有所区别,可称其非普遍形式的 E-规则为“普通 E-规
25、则”(当不引起误解时,我们谈论的“E-规则”指周志荣逻辑常项的使用规则的生成与证成7的就是普通 E-规则)。考虑到一个逻辑常项的 I-规则可能不唯一,其导致的 E-规则也可能不止一个,令 n-元逻辑常项 的其中一个 I-规则为:i?(Ii),其中?表示(1,.,n);i=i1,.,im 是断定?的一个直接根据集(其中 i1,.,im就被看作是断定的直接根据)。如果 E-规则与其 I-规则是相协调的,则它就是具有如下形式的 GE-规则(其中,“i”是对“i1,i2,.,ipm”的缩写):?11.22.nn.(GE1,2,n)在这个形式中,?被称为“大前提”,其余前提都被称为“小前提”。其中的“”
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