函数项级数一致收敛的几个判别法-数学与应用数学专业毕业论文.doc

数学与统计学院2012届毕业论文

毕业论文

题 目 函数项级数一致收敛的几个判别法
学 院 数学与统计学院
专 业 数学与应用数学
研究类型 基础研究

18

原创性声明

本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.
本声明的法律责任由本人承担.

论文作者签名： 年 月 日

论文指导教师签名：

函数项级数一致收敛的判别法的讨论
郝金贵
(天水师范学院 数学与统计学院 ,甘肃,天水,741000)
摘要：本文着重介绍函数项级数一致收敛的几种判别法,首先通过问题引入探讨函数项级数一致收敛的概念,然后进一步研究了几种判别方法,即对数判别法；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法等,并对每种新方法给予严格证明.
关键字：函数项级数；一致收敛性；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法；比较判别法.

The Discussion on Some Method for Uniform Convergence of Function Series
HaoJingui
Abstract: the paper gives several discriminant method on uniform convergence of Function Series,firstly, discusses a series of function uniform convergence concepts by introducing a problem,and then further researches on several identifying method, such that logarithm discriminant method,integral discriminant method,effective sufficient discriminant method,and forced convergence test, etc,and new methods of each given strict proof.
Keywords: function Series;uniform convergence;integral discriminant method;effective sufficient discriminant method;and forced convergence test;more discriminant method

目录
引言 1
1.函数项级数一致收敛的定义 1
1.1函数项级数一致收敛概念引入 1
2.函数项级数一致收敛的判别方法 2
2.1比式判别法 2
2.2根式判别法 2
2.3对数判别法 3
2.4积分判别法 3
2.4.1正项级数判别法的回顾 3
2.4.2函数项级数一致收敛的积分判别法 4
2.5利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别 5
2.6有效充要判别法 8
2.7夹逼收敛判别法 10
2.8比较判别法 11
3.正项函数项级数一致收敛的几个新的判别法及证明 12
参考文献 16

函数项级数一致收敛的几个判别法的讨论
引言
众所周知,函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多及其相似的地方,对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现他们在判别方法上极其相似,特别是在判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法,Abel判别法,Dirichlete判别法等,这里就是根据数项级数判别法探讨几个函数项级数一致收敛的判别法.
1 函数项级数一致收敛的定义
1.1函数项级数一致收敛概念引入
我们先来看一下下面这样一个例子：
例1 设u1(x) = x, un(x) = x n－x n-1( n=2,3,……),x[0,1]由上知,Sn(x)=k(x) = x n, S(x) = ,当x(0,1) 时,| Sn(x)－S(x) | = x n . | Sn(x)－ S(x) | = x n <n In x＜.
当ｘ时,ｘ变,Ｎ也变,且当ｘ时,ｎ∞,因此找不到公用的N*,使得有|Sn(x)- S(x)|<.
不论n多么大,总有离1很近的x,使得Sn(x)离S(x)很远.
再来看这样一个例子：
例2 设u1=,,x,,所以|Sn(x) －S(x)|=.取N=[]+1,,恒有| Sn(x)－S(x)|≤.
由上面的两个例子可以看出,并非所有的函数项级数对于给定的,都能找到一个公用的N*,使得恒成立.由此,我们引出一致收敛的概念.
定义 设函数项级数在数集E上收敛于S（x）.如果使得,恒有,则称在E上一致收敛于S(x).
2 函数项级数一致收敛的判别方法
2.1比式判别法
定理2.1 设un(x)为定义在数集D上正的函数列,记,存在正整数N及实数q、M,使得：q n(x)≤q<1,对任意的n>N,成立,则函数项级数在D上一致收敛.
定理1有极限形式：
定理2.2 设为定义在数集D上正的函数列,记,若 0≤q<1,且在D上一致有界,则函数项级数在D上一致收敛.
2.2根式判别法
定理2.3 设un(x)为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使得,对成立,则函数项级数在D上一致收敛.
注：当定理3条件成立时,级数在D上还绝对收敛.
定理2.4 设为定义在数集D上的函数列,若对成立,则函数项级数在D上一致收敛.
2.3对数判别法
定理2.5 设为定义在数集D上正的函数列,若=p(x)存在,那么：
⑴若对,则函数项级数在D上一致收敛；
⑵若对, 则函数项级数在D上不一致收敛.
证明 由定理条件知,对,有,即,则当成立时,有,而p级数当p大于1时收敛,由优级数判别法知函数项级数在D上一致收敛；而当对成立时,有当p<1时发散,从而函数项级数在D上不一致收敛.
例3 设 为定义在D=[0,1]上的函数列,由于：
,0≤≤2,
由定理2知函数项级数在[0,1]上一致收敛.
例4 函数项级数在上一致收敛(其中r为大于1的实常数).因为,由定理4知结论成立.
2.4积分判别法
2.4.1正项级数判别法的回顾
定理2.6 设f为[1,+)上的非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.
例5 讨论级数的敛散性.
解 首先研究反常积分的敛散性,由=,当p>1时收敛,p≤1发散.根据定理1知级数在p>1时收敛,在p≤1时发散.
2.4.2函数项级数一致收敛的积分判别法
定理2.7 （函数项级数一致收敛的柯西准则）
函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数,总存在某一正整数N,使得当n>N时对一切x和一切正整数p,都有.
定理2.8 （含参变量反常积分一致收敛的柯西准则）
含参变量反常积分在[a,b]上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数,总存在某一实数M>c,使得当>M时,对一切x[a,b]都有.
定理2.9 设f(x,y)为区域R={(x,y)|a≤x≤b,}上的非负函数,如果f(x,y)在区间[1,)上关于y为单调减函数,那么函数项级数与含参变量反常积分在区间[a,b]上具有相同的一致收敛性.
证明 由假设为区域R =上的非负函数,并且关于y为上的减函数,对区间[a,b]上任意固定的x以及任意n≥2的自然数,我们有 ⑴
①若含参变量反常积分在[a,b]上一致收敛,则由定理3可得,对任意给定的正数,总存在某一实数M>1,使得当n>M+1时,对一切x[a,b]和一切正整数p,都有.由⑴式,对一切x[a,b]有
.
由定理2可知：函数项级数在区间[a,b]上一致收敛.
⑵若函数项级数在区间[a,b]上一致连续,由定理3可得：对任意给定的正数,总尊在某一正数N,使得当n>N时,对一切x和一切正整数p,都有.而对任意的,令（这样的正整数和p总是存在的）,由⑴式,对一切有
.
由定理4可知：含参变量反常积分在[a,b]上一致收敛.
例6 设,证明含参变量积分在[0,1]上一致收敛.
证明 令,易见,对每个n,为[0,1]上的增函数,故有 ,n=1,2...
又当t≥1时,有不等式,所以
以收敛级数为优级数,推得在[0,1]上一致收敛.
另外,对任意的
有,并且对任意固定即是区间[1,+)上的减函数,因此由定理2知,含参变量积分在[0,1]上一致收敛.
由此可见,以定理2为依据,我们既可以利用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分的性质,也可以利用积分的便利条件判断某些函数级数的一致收敛性.
2.5利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别
定理2.10 函数数列在数集D上一致收敛于对任意给定的,使得当n>N时,对一切和任意的,都有.
定理2.11 函数项级数在数集D上一致收敛对任意的,使得当n>N时,对一切和任意的,都有.
由定理1和定理2容易看出,函数项级数一致收敛同他的部分和序列的一致收敛是等价的.虽然都是充要条件,但在实际应用上,要用这一原理判断一致收敛仍是困难的,因为函数的片段也是较难求和.从以上的定理可推出更为简单的M判别法如下：
定理2.12 设有函数项级数,且的每一项满足,则函数项级数在D上一致收敛.
由上可知,M判别法也只是充分判别法,一般的函数项级数很难满足此充分条件,即使在满足的条件下,在寻求其相应的控制级数（或优级数）时也具有相当的难度.
定理2.13 设级数为函数项级数,若,使n>N时有,其中,且在I上有界,则在I上绝对收敛.
证明 不妨设n=1时就有,则可推的 n=2,3… M = 而收敛根据M判别法在I上一致收敛.
推论 设级数 为函数项级数,,且（n=1,2...）于I上有界,则在I上绝对一致收敛.
证明 由且,,当n>N有,即当n>N有其中而收敛.根据M判别法,于I绝对一致收敛.
定理2.14 设级数为函数项级数,使n>N时有,且,则在I上绝对一致收敛.
证明 据条件,n>N时有由r<1,收敛,据M判别法,于I绝对一致收敛.
推论 设为函数项级数,,则级数于I绝对一致收敛.
证明 由可见
有即当n>N有收敛.据M判别法,于I绝对一致收敛.
定理2.15 设,都定义在I上,若,n=1,2,...且于I一致收敛,且有,则于I绝对一致收敛.
证明 由在I上一致收敛,且≥0,n=1,2...n=1,2...据Cauchy一致收敛准则：则,当n> 有而由n>N时,则当时,便有
此时在I上满足Cauchy条件,故于I一致收敛.
2.6有效充要判别法
定理2.16 设函数数列在（a,b）内一致有界,且关于x的单调递增或单调递减,则在（a,b）内一致收敛数项级数和都收敛.
证明 先证必要性
因为在（a,b）内一致收敛,即对任意给定,存在,使得n>N时,对一切,有.
故.又由于关于x的单调增加或单调减少,不妨设关于x单调增加,且函数列在（a,b）内有界,则每一个在（a,b）内有界,必有上确界,
令,则
由上有
= ,
即=,因此,有,说明收敛.同理,可以得到级数收敛.
再证充分性.
令,则显然有.
由已知条件知收敛,它可作为控制级数.因此在（a,b）内一致收敛,而级数收敛,当然在（a,b）内一致收敛,所以可推得=+在（a,b）内一致收敛.
由以上定理可推得两个推论：
推论1 若函数列在（a,b）内一致有界,非负且同时单调递增或单调递减,则在（a,b）内一致收敛数项级数收敛.
推论2 若函数列在（a,b）内一致有界,且导数不变号,则在（a,b）内一致收敛数项级数和都收敛.
由定理1和推论1、2可知,把判断函数项级数的一致收敛与否转化为判断数项级数的收敛与发散.对满足条件的级数,此方法既能判断函数项级数在某个区间的一致收敛,还能很快判断其在另外区间的不一致收敛,下面举两个例子说明.
例7 判别函数项级数 在区间（0,1）上不一致收敛,而在区间[0,q](0<q<1)上一致收敛.
证明⑴ 由于,显然,函数项级数在区间（0,1）内收敛,当时.
要使（不妨设）只要,即函数项级数在[0,q]上一致收敛.
此外,,对充分大的正整数n,在区间（0,1）内总有某个,使得.所以函数项级数在（0,1）内不一致收敛.
证明⑵ 由题可知满足以上推论1,又因为,所以在（0,1）内不一致收敛.而在0<q<1时都收敛,故函数项级数在[0,q]上一致收敛.
例8 讨论函数级数的一致收敛性.
证明 因为发散,所以函数项级数在(0,+)上不一致收敛；而对充分小,=收敛,故函数项级数在上一致收敛.
2.7夹逼收敛判别法
定理2.17 已知、在I上一致收敛,且,当n>N有在I上一致收敛.
证明 不妨设n=1开始,便有由、在I上一致收敛,根据Cauchy准则：,当n>有,即而n=1,2...就必有
级数
此即在I上满足Cauchy一致收敛条件.
推论 一致函数项级数、都收敛,若,当n>N时有,则函数项级数于I一致收敛.显然,即为常数项级数,则可判收敛.
定理2.18 设函数列在[a,b]单调,且及都绝对收敛,则级数在[a,b]一致收敛.
证明时只要注意有min≤max并用定理1的推论既得.
2.8比较判别法
定理2.19 两个函数项级数和,若,当（其中C为正常数）且函数级数在区间I绝对一致收敛,则函数级数在区间I绝对一致收敛,则函数级数在区间I绝对一致收敛.
证明 一致级数在区间I绝对一致收敛,即对（其中C为正常数）,有.⑴
又由条件知,⑵
取N=max{},当有
.
由级数收敛柯西准则知,函数级数在区间I一致收敛,从而级数在区间I一致收敛.
此定理有如下推论：
推论1 （比较极限法） 若有两个函数项级数和（）,且有=k 且,若级数在区间I绝对一致收敛,则函数级数在区间I也绝对一致收敛.
证明 由=k 且 即有,使且C=k+>0.
即.又级数在区间I绝对一致收敛,由比较判别法的定理1知级数在区间I也绝对一致收敛.
例9 证明函数级数与在区间I一致收敛,则级数在区间I一致收敛,又有≤≤,故0≤—≤-且级数在区间I绝对一致收敛,由比较判别法定理2知级数在区间I一致收敛,从而级数==在区间I上也一致收敛.
3 正项函数项级数一致收敛的几个新的判别法及证明
定理3.1 设函数项级数,都是定义在数集D上正项函数项级数,
,.设
（1）当>0,时,与在数集D上同时一致收敛或同时不一致收敛.
（2）当=0,时,若在D上一致收敛,则在D上也一致收敛.（3）当>0,时,若在D上不一致收敛,则在D上也不一致收敛.
证明 由,则取当n>N时,对一切有
定理3.2 设是定义在数集D上的正项函数项级数,在D上有界（n=1,2,...）,若,,设,则
（1）r<1时,在D上一致收敛；
（2）r>1时,在D上不一致收敛.
证明 （1）,取当n≥时,对一切有
+<+<1<(r+)<(r+)<…<(r+).
由在D上有界,即存在M>0,对一切有≤M,
由收敛,得收敛,由优先级判别法知在D上一致收敛.
（2）r>1时,使即
因此不收敛,所以在D上不收敛.
注：=1时,在D上是否一致收敛无法判断.
定理3.3 设是定义在数集D上的正项函数项级数,若设r=,则
（1）r<1时,在D上一致收敛；
（2）r>1时,在D上不一致收敛.
证明 （1）r<1时,由取有
|若+.
由r+<1,由优先级判别法中知在D上一致收敛.
（2）r>1时,,由,即在D上不一致连续.
定理3.4 设是定义在数集D上的正项级数,在D上有界（n=1,2...）,若则当r>1时,在D上一致收敛.
证明 由r>1,取对一切x有.
取1<s<r-,,有1+取N0=max(N1,N2),当n≥N0时,对一切有.
因此由在D上有界,则存在M>0,使得对一切,有
由s>1时,收敛,由优先级判别法知在D上一致收敛.

参考文献
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