学士学位论文--二元连续函数在有界闭区域上的最值研究.doc

楚雄师范学院毕业论文（设计）

楚 雄 师 范 学 院
本 科 生 毕 业 论 文

题 目：二元连续函数在有界闭区域上的最值研究
系 （院）： 数学系
专 业： 数学与应用数学
姓 名： 韩金伟
学 号： 20091021135
指导教师： 黄英 职称： 副教授
论文字数： 5000字左右
完成日期： 2013 年 5 月

教务处抑制

14

目 录

摘要： II
关键词： II
Abstract: III
Keywords： III
1、 引言 1
2、 二元连续函数在有界闭区域上的最值研究 1
一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值 1
（一）二元连续函数在圆域上的最值 1
（二）二元连续函数在椭圆域上的最值 4
二、二元连续函数在多边形区域上的最值 6
三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值 8
（一）二元连续函数在扇形区域上的最值 8
（二）二元连续函数在曲边梯形区域上的最值 10
参考文献 13
致谢 14

二元连续函数在有界闭区域上的最值研究

摘要：本文主要对二元连续函数在二次曲线围成的封闭区域，多边形区域和一些特殊图形围成的封闭区域上的最值进行了研究.

关键词：二元函数；最值；闭区域；有界；圆域；椭圆域；扇形域

Continuous functions of two variables in the study region on the closed boundary value

Abstract: This article mainly for bivariate continuous function form a closed curve of the second region, form a closed polygon area and a number of special graphics on the regional studies with the most value.
Keywords：The binary function；Best value；Closed areas；Bounded；Circular domain；Elliptical domain；Fan-shaped domain

1、 引言
我们可以把二元函数看成是一元函数的一个推广，但是二元函数的最值问题却与一元函数的最值问题大有不同. 首先，二元函数的定义域是平面点集，或是平面点集的子集，故二元函数的定义域和自变量要比一元函数要复杂的多；其次，二元函数的最值可能出现在边界曲线上，所以二元函数的最值问题要比一元函数的最值问题更加复杂. 二元函数的最值问题是高等数学的常见问题. 但现有的材料和相关论文却相对很少，针对这一现状我们对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题展开了相应的研究，在不同的区域内二元连续函数的最值情况也是多种多样的，所以对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题进行研究也就成为了一个非常有意义的研究性问题之一.

2、 二元连续函数在有界闭区域上的最值研究
一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值
（一）二元连续函数在圆域上的最值
如何求二元连续函数在圆域上的最值,我们分两步处理,先求它在圆域内可能出现的最值,再求它在圆域边界上可能出现的最值.
首先我们对二元函数求一阶偏导数,令

求出函数的驻点,因为不一定都是二元函数的极值点,所以还要对驻点进行判别,令,,.当时,是二元函数的极值点,所以它可能是最值点;当时,不能判定是否是二元函数的极值点,它也可能是最值点;当时,不是二元函数的极值点,也就不可能是最值点再将满足条件的的驻点代入到中求出相应的函数值
（1）
求函数在圆域边界上的函数值,我们可用两种方法来求解.第一种方法是拉格朗日乘数法,引入拉格朗日函数,对函数求一阶偏导数之后,令

求解方程组可得到圆域边界上的极值点,代入到中求得圆域边界上的函数值
（2）
综合圆域内的函数值（1）和圆域边界上的函数值(2),通过比较函数值的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.
求圆周曲线上可能出现的最值点,我们还可以用转换法求解,将圆方程变形为,把它代入到中,可以得到相应的一个一元函数,通过求这个一元函数的极值点，从而可得到函数在圆域边界上可能出现的最值点,进而求得相应的函数值
（3）
再求的端点值
,. （4）
最后通过比较所得函数值（1）,（3）和（4）的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.
例1 求二元函数在有界闭区域上的最值.
解 由

知二元函数的驻点为,,,,.再进一步求出,,.当驻点为时,,所以驻点不是二元函数的极值点（即不是最值点）,故舍去.同理,当驻点为,,时,都分别求得,所以驻点,,都不是二元函数的极值点（即不是最值点）,故全部舍去.当驻点为时,,所以驻点是函数的极值点,代入可得函数值.对于二元函数在圆周曲线上的最值,我们分别用两种方法讨论.
1) 拉格朗日乘数法.设,对它求一阶偏数之后,令

求解上述方程组可得到圆域边界上的极值点有,,,
,将它们分别代入到二元函数中,可求得圆域边界上可能的最值有,,,.又由可知,,,也是可能的最值点,分别代入到中求得可能的最值有,,,.综合上述圆域内和圆域边界上所得出的最值有,,和,通过比较最值的大小可得到二元连续函数在圆域上的最大值为,最小值为.
2） 转换法.将圆方程转化为,把它代入到二元函数中,得到一个一元函数,对它求一阶导数可得,令,求解方程可得一元函数的极值点有,和,将它们分别代入到一元函数中,求得圆域边界上的函数值为,,.再求得曲线端点处的函数值为,.综合上述圆域内的函数值和圆域边界上的函数值有,,和,通过比较函数值的大小可以得到二元函数在圆域上的最大值为,最小值为.

（二）二元连续函数在椭圆域上的最值
求二元连续函数在椭圆域上的最值,我们可以分为椭圆域内的函数最值和椭圆域边界上的函数最值两部分进行求解.
首先对二元连续函数求一阶偏导数,令

求解方程组可得函数的驻点,因为驻点不一定都是的极值点,所以还要对驻点进行判别,令,
.同在圆域内的判别方法一样,将的驻点代入到中求出相应的函数值
（5）
对于二元函数在椭圆域边界上的最值,我们同样可以用两种方法来进行讨论.方法一:拉格朗日乘数法.令,对它求一阶偏导数之后,令

解方程组可得到椭圆域边界上的极值点,代入函数中,求得椭圆域边界上的函数值
（6）
综合上述得出椭圆域内的函数值（4）和椭圆域边界上的函数值（5）,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值.
方法二:转换法.将椭圆方程,变形为,代入到二元函数中,可得到一个一元函数,对这个一元函数求极值（即二元函数在椭圆域边界上可能的函数值）得
（7）
再求出的端点值
, （8）
综合上述椭圆域内的函数值（5）和椭圆域边界上的函数值（7）与（8）,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值.
例2 求二元函数在椭圆区域上的最大值和最小值.
解 由

可得唯一的驻点,再求出,,.因为当驻点为时,,所以驻点不是二元连续函数的极值点,也就不是最值点,故舍去.对于二元函数在椭圆域边界上的最值,我们可用两种方法来求解.
1）拉格朗日乘数法.设,先对它求一阶偏导数,再令

由方程组可得到椭圆域边界上可能的最值点有,,,.将它们分别代入到二元函数中,可求得相应的函数值,,,
.综合上述两种情况得出的函数值有和,通过比较函数值的大小可得到函数在椭圆域边界上的最大值为,最小值为.
2） 转换法.将椭圆方程转化为,代入到函数中,可得到一个一元函数,对它求一阶导数可得,令,求解方程可得一元函数的极值点,代入到函数中,得到最值.再求得曲线的上下界函数值,.综合上述所得椭圆域内的函数值和椭圆域边界上的函数值和,通过比较所得函数值的大小从而得到函数在椭圆域上的最大值为,最小值为.

二、二元连续函数在多边形区域上的最值
二元连续函数在边形区域上的最值问题,随着边界的复杂程度加大,对它的求解难度也在加大,但在总体上还是可以分为区域内和区域边界上两部分进行讨论.
对于边形区域内的最值,我们对函数求一阶偏导数之后,令

可求得函数在边形区域内的驻点,因为驻点不一定都是函数的极值点,令,,,将满足条件的驻点代入到中求出相应的函数值
（9）
边形区域是由条直线段围成的封闭区域,其边界有条直线段构成,朗格朗日乘数法就很难求解,所以我们用转换的思想方法求边形区域边界上的最值问题.将直线段方程,分别代入到二元函数中,通过代换可得到相应的一元函数,对它求一阶导数可得,令,可求得函数的极值点,代入到函数中,求得相应的极值（可能的最值）
（10）
再求出直线段的端点值
（11）
综合上述两种情况得出的函数值（9）,（10）和(11),通过比较所得函数值的大小可得到函数
在边形区域上的最大值和最小值.
例3 求二元函数在三角形区域

上的最值.
解 对函数求一阶偏导数之后,由
可得到函数有唯一的驻点,因为驻点,即不在三角形区域内,故舍去.
三角形区域边界上的最值,我们采用代换法求最值,分别把直线段方, ,.分别代入到二元函数中,可得到相应关于的一元函数分别为,,
.令,可得的极值点,代入中求得极值,再求得的端点值,.同理可得的极值点,故舍去,求得的端点值,.的极值点,故舍去,求得的端点值,.综合上述情况得出的函数值有,,和,通过比较所得函数值的大小可得到函数在三角形区域上的最大值为,最小值为.

三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值
（一）二元连续函数在扇形区域上的最值
如何求一个二元连续函数在扇形区域上的最值呢?这里我们分成两部分进行讨论,一是如何求它在扇形区域内的函数最值,二是如何求它在扇形边界上的函数最值.
对于二元函数在扇形区域内的最值,我们先对求一阶偏导数,然后令

求出扇形区域内二元函数的驻点因为不一定都是函数的极值点,所以还要进一步对这些驻点进行判别,令,
,,将满足条件的驻点代入到中求出相应的函数值
（12）
扇形区域的边界不同于圆,椭圆和多边形区域的边界是有一条二次曲线围成的封闭区域,或是有几条直线段围成的多边形区域,它是由直线段和二次曲线段共同围成的封闭区域.拉格朗日数乘法同样就很难解决这样的问题,因此这里我们同样采用转换的思想方法来求扇形区域的边界最值.首先将曲线段方程,变形为,把它代入中,可得到,再对求一阶导数可得
,令,求解方程可得的极值点为,再将属于区间的值代入到一元函数中,求得最值
（13）
再求出曲线段的两个端点函数值
,. （14）
同理将直线段方程,分别代入到函数中,可得函数,
求得它的最值为
（15）
再分别求出直线段的端点值
, （16）
最后综合上述几种情况得出的函数最值（12）,（13),（14）,（15）和（16）,通过比较函数值的大小找出二元连续函数在扇形区域上的最大值和最小值.
例4 求二元函数在扇形区域

上的最值。
解 由

可得在扇形区域内的驻点有,,令,,
,因为驻点,都满足,所以,
都不是函数的极值点,即不是最值点,故舍去.
扇形区域边界上的最值可采用转换法求解,分别令边界线方程为,
,.把曲线段的方程边形为,代入到函数中可得一元函数,对求一阶导数可得,令,求得函数的极值点,,因为,故舍去,把代入函数中,可得.再求得的端点函数值为,.同理,可求得的极值为,端点函数值为,.的函数极值为,端点函数值为,.综合上述扇形区域内的函数值和扇形区域边界上的函数值可得的最大值为,最小值为.

（二）二元连续函数在曲边梯形区域上的最值
二元连续函数在曲边梯形区域上的最值问题,我们同样分两部分进行讨论.
第一部分,曲边梯形区域内函数的最值,对函数求一阶偏导数之后,令

求解方程组可得二元函数在扇形区域内的驻点,再令,
,,同前面在圆域内的判别方法一样,将的驻点代入到中求出相应的函数值
（17）
第二部分,曲边梯形区域边界上的最值,曲边梯形区域是由两条平行的直线段和两条曲线段（或一条直线段和一条曲线段）围成的封闭区域,其边界是有直线段和曲线段共同构成.朗格朗日乘数法就很不容易求解,所以我们用转换的思想方法求曲边梯形区域在边界上的最值问题.首先将边界线方程分别设为,把它们代入到函数中,通过代换可以得到相应的一元函数,对它求一阶导数可得,令,可得函数的极值点,把极值点代入函数中,可求得函数的极值
（18）
其次,求出线段的两个端点值分别为
,. （19）
最后,综合上述几种情况得出的函数值（17),（18）和(19),通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在曲边梯形区域上的最大值和最小值.
例5 求二元函数在有界闭区域

上的最值.
解 对函数求一阶偏导数后,令

求解方程组可得函数唯一的驻点,因为不在所属扇形区域内,故舍去.
函数在曲边梯形区域边界上的最值,我们可采用代换法求解,将曲线段方程变形为,代入中,可得函数,对它求一阶导数有,令求解方程得到函数的极值点为,因为不在所属区间,故舍去.再求得曲线段的端点值为,.同理,求得函数
的最值和端点值为,.的极值为,端点值为,.的极值为,端点值为,.综合上述几种情况得出的函数值,,,,,,,和,通过比较所得函数值的大小可以得出二元函数在扇形区域上的最大值为,最小值为.

参考文献
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[7]李林修.二元函数的最值[J].青岛教育学院学报.1996.1:44-46.
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[9]王晓路.用拉格朗日乘数法巧解二元函数最值[J].数学教学通信.1994-2012.51-60.
[10]刘连福.时函数极值问题讨论[J].大连水产学院.2010.16-17.

致谢
真诚的感谢黄英老师对我的精心指导，在论文的设计，开题，撰稿和不断修改完善的过程中，黄英老师都给了我巨大的帮助，在此我真心的感谢您黄老师. 同时也要感谢朗开禄老师和唐家德老师给我的宝贵建议，促使我在规定的时间内能够逐步完善本论文的撰写和编稿.
十年树木，百年树人. 我的成长首先还得要感谢父母，感谢他们给了我生命，给了我不断成长的物质基础和精神基础. 其次感谢存给我教育的学校和老师，正是因为有了你们的教育，才使得我顺利完成学业，更好的走向社会. 最后也要真心的感谢同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予我的帮助，促使我能更好的学习和生活.
在即将毕业离校的这个夏季，我真心祝愿各位老师，同学，朋友一帆风顺，万事如意，一切安好.