基于逻辑选择脉冲时滞动力系统的稳定性分析_谢巧玲.pdf

第 40 卷第 4 期Vol.40No.4重庆工商大学学报(自然科学版)J Chongqing Technol Business Univ(Nat Sci Ed)2023 年 8 月Aug.2023基于逻辑选择脉冲时滞动力系统的稳定性分析谢巧玲a，刘志鑫b，杨志春a重庆师范大学 a数学科学学院;b计算机与信息科学学院，重庆 401331摘要:为了使动力系统在稳定性分析上更具有一般化，能更加精确实际地刻画自然现象;针对具有逻辑选择脉冲效应的时滞动力系统，提出此系统的全局指数稳定性分析问题，可在一定程度上推广一般脉冲时滞动力系统的稳定性分析;通过引入具有逻辑选择脉冲效应的时滞非线性动力系统，并利用半张量积将该动力系统中的逻辑函数转换为代数状态空间表示，再建立脉冲型 Halanay 微分不等式来估计该动力系统中线性系统部分的 Cauchy 矩阵;基于此，对向量和函数给出了 4 个假设条件，得到在逻辑选择脉冲控制下的非线性时滞系统的零解全局指数稳定性判定依据，且证明了此动力系统的指数收敛率为。关键词:全局稳定性;逻辑选择;半张量积;Halanay 微分不等式中图分类号:O175文献标识码:Adoi:10.16055/j.issn.1672058X.2023.0004.009收稿日期:20220627修回日期:20221010文章编号:1672058X(2023)04006306基金项目:国家自然科学基金项目资助(11971081);重庆市教育委员会科技研究重大项目(KJZD-M202000502);重庆市研究生科研创新项目(CYS20242)作者简介:谢巧玲(1996)，女，重庆合川人，硕士研究生，从事微分方程与动力系统研究通讯作者:杨志春(1971)，男，重庆江津人，教授，博士生导师，从事微分方程与动力系统研究 Email:yangzhch 126com引用格式:谢巧玲，刘志鑫，杨志春基于逻辑选择脉冲时滞动力系统的稳定性分析J 重庆工商大学学报(自然科学版)，2023，40(4):6368XIE Qiaoling，LIU Zhixin，YANG ZhichunStability analysis of time-delayed dynamic systems with impulsive effects due to logicalselectionJJournal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition)，2023，40(4):6368Stability Analysis of Time-delayed Dynamic Systems with Impulsive Effects due to Logical SelectionXIE Qiaolinga，LIU Zhixinb，YANG ZhichunaaSchool of Mathematical Sciences;b School of Computer and Information Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，ChinaAbstract:In order to make the stability analysis of dynamic systems more general and to portray natural phenomena moreaccurately and practically，the stability analysis of the global exponential was proposed for a time-delay dynamic systemwith a logical selection impulse effect The stability analysis of general impulse time-delayed dynamic systems can beextended to a certain extent By introducing a time-delayed nonlinear dynamic system with logically selected impulsiveeffects，the logistic functions in this dynamic system were converted into an algebraic state space representation using thehalf-tensor product An impulsive Halanay differential inequality was then developed to estimate the Cauchy matrix of thelinear part of the dynamic system Based on this，four assumptions were given for the vectors and functions，and a basis fordetermining the global exponential stability of the zero solution of a nonlinear time-delayed system under the control of alogically selected pulse was obtained The exponential convergence rate of this dynamic system was proved to be Keywords:global stability;logical selection;half-tensor product;Halanay differential inequality重庆工商大学学报(自然科学版)第 40 卷1引言脉冲时滞动力系统广泛存在于各种动力学模型中，如人口动态、药物管理、金融系统及自动化等领域14。近 20a 来，许多学者研究了脉冲动力系统的稳定性、渐近稳定性和指数稳定性510，其中，You 等在文献 5 中得到了线性脉冲时滞微分方程解的表示形式，从而得到了平凡解局部渐近稳定的一些充分条件。对于非线性脉冲动力系统，文献 11，12 利用类 Lyapunov方法研究了脉冲镇定(一致)稳定性的判定。然而对于给定的一个实际动力系统，构造 Lyapunov 函数或泛函非常巧妙且困难，研究非线性系统动力学行为的另一个重要工具是微分不等式，特别是 Halanay 微分不等式，它已成功应用于时滞系统、奇异系统、反应扩散系统等。自然界中存在着各种类型的逻辑现象，例如:细胞中含有许多起着开关作用的“调节”基因，可以相互开启和关闭，这表明遗传网络是以逻辑方式运作的。逻辑效应广泛存在于一些系统中，如著名的布尔网络，科学家使用布尔网络来构建网络元素之间的逻辑关系。对于一些真实的脉冲系统，可以将变量分量的绝对值与脉冲时刻的某些阈值进行比较，根据上述比较结果之间的一些逻辑关系，从不同的函数中选择脉冲效应。然而，由于在过去几十年中几乎没有可用的技术来处理逻辑，因此对包括逻辑在内的系统的研究成果很少，直到 Cheng 和 Qi 在文献 12，13 中提出了一种强大的方法:半张量积，它可以将逻辑函数转换为代数状态空间表示，从而在布尔网络和博弈论等许多领域取得了巨大的进展。在某些实际情况下，脉冲控制可以使系统模型更真实或具有更好的特性，例如文献 1419 提出了逻辑脉冲，即受逻辑选择影响的脉冲控制。由于逻辑效应的输入，逻辑脉冲控制可能比一般脉冲控制具有更好的效果。到目前为止，逻辑脉冲控制系统已经取得了一些成果。例如，Sou 等在文献 14 中研究了逻辑选择下脉冲微分系统的渐近稳定性判据;He 等在文献 19中给出了逻辑选择下离散随机时滞系统最终有界性的判据。但文献 1419 均是对线性系统的稳定性进行分析，因此本文将逻辑效应应用于非线性动力系统中。本文利用半张量积及脉冲微分不等式讨论了具有逻辑选择脉冲效应的时滞动力系统脉冲稳定性问题。首先，建立一个脉冲型 Halanay 微分不等式，通过估计脉冲线性系统的 Cauchy 矩阵，利用常数变易法，结合微分不等式，得到逻辑选择脉冲控制下非线性时滞系统零解的全局指数稳定性。2预备知识n表示 n 维空间实数列向量集合;nm表 nm 阶实矩阵集合;N 是自然数集;max(A)(min(A)表示矩阵 A 的最大(最小)特征值;用等价向量确定逻辑值:F=112=1，0T，F=022=1，0T;ik表示单位矩阵Ik的第 i 列向量;设 k=ik i=1，2，k;表示矩阵的 Kronecker 积;diag 表示对角矩阵;owi(B)(Coli(B)表示矩阵B 的第i 行向量(矩阵B 的第i 列向量)，Col(B)表示矩阵 B 的列向量集;设 0，t0t1tktk+1(kN)表示脉冲点且 limktk=，对=(1，n)T:n，有 i(t)=sups0i(t+s)(t+)=lims0+(t+s)，(t)=lims0(t+s)C X，Y 表示从拓扑空间 X 到拓扑空间 Y 的连续映射空间;PC:=:，0n|(t+)=(t)，t，0(，(t)存在且(t)=(t)，对任意的 x=(x1，xn)Tn，Ann，PC，其范数为x=nj=1x2j()1/2，A=(ATA)1/2，=sups0 s()。定义 113 如果 Col(L)m，则称 Lmn是逻辑矩阵，Lmn表示 mn 阶逻辑矩阵集。定义213 对于矩阵 Amn，Bpq，=lcm(n，p)，AB=(AI/n)(BI/p)称为 A 与 B 的半张量积，其中=lcm(n，p)表示 n，p 的最小公倍数。显然，半张量积不再对两个相乘矩阵有维数约束，因此它推广了传统的矩阵乘积。定义 318 如果存在正数、K，使得对任意初始函数(t)，有x(t)Ke(tt0)，tt0，则称系统式(2)的零解指数稳定，其中，=sups0 s()。定义 418 如果连续函数 x(t):t0，+)n在 ttk，tt0，x(tk)=x(t+k)x(tk)存在，且在初始条件x(t0+s)=(s)PC，s，0 下满足式(2)，则称x(t)是式(2)的解。引理 11 如果 Unn是正定矩阵，Qnn是对称矩阵，则46第 4 期谢巧玲，等:基于逻辑选择脉冲时滞动力系统的稳定性分析min(U1Q)xTUxxTQxmax(U1Q)xTUx引理 214 如果逻辑函数 f(p1，p2，pr)2，其中 p1，p2，pr2是逻辑变量，则存在且唯一存在一个 22r阶矩阵 MfL22r，使得f(p1，p2，pr)=Mfp1p2pr=Mfri=1pi则称 Mf为 f 的结构矩阵。因此，Col(Mf)2，ri=1pi2r。本文考虑脉冲时滞系统:x(t)=Ax(t)+f(t，x(t)，x(t(t)，ttkx(tk)=Bkx(tk)+?k(x(tk)，t=tk，kN其中，A=(aij)nn，Bknnx(t)=(x1，x2，xn)Tn，f(t，0，0)0f=(f1，f2，fn)TCtk1，tk)nn，nx(t)=(x1，x2，xn)Tn对于 i=1，2，n，有?ik(x(tk)=gi(tk)Iik(x(tk)+gi(tk)Jik(x(tk)对于连续函数 Ik()和 Jk()，满足 Ik(0)=Jk(0)0;gi，gi:12，22n0，1是逻辑函数，gi是 gi的反逻辑函数，定义如下:gi(t)gi(p1(x(t)，pn(x(t)gi(t)gi(p1(x(t)，pn(x(t)函数 pi:n0，1是一个分段函数:pi(u)=220，wi(u)ci121，wi(u)ci其中，wiC(n，n)，ci0 是一个阈值。在 t=tk时刻，从函数 Ik，JkC(n，n)中选择脉冲效应。因此，受逻辑选择影响的脉冲控制系统可化为xi(t)=(Ax(t)i+fi(t，x(t)，x(t(t)，ttkxi(tk)=(Bkx(tk)i+gi(tk)Iik(x(tk)+gi(tk)Jik(x(tk)，t=tk，kN其中，(Ax(t)i表示向量 Ax(t)的第 i 个元素。在本文中，对于任何初始条件，假设式(2)至少有一个解 x(t，t0，)。根据引理2，对于逻辑函数 gi和 gi，存在且唯一存在一个结构矩阵 Mi22n，使得gi(p1(x(t)，pn(x(t)=ow1(Mi)ni=1pi(x(tk)gi(p1(x(t)，pn(x(t)=ow2(Mi)ni=1pi(x(tk)令 p(x(tk)ni=1pi(x(tk)，根据 pi(u)和半张量积的定义，知道 pi(x(tk)2;i=1，2，n;p(x(tk)2n。令 ik(x(tk)=Iik(x(tk)Jik(x(tk)，可得到?ik(x(tk)=ow1(Mi)p(x(tk)Iik(x(tk)+ow2(Mi)p(x(tk)Jik(x(tk)=Iik(x(tk)Jik(x(tk)Mip(x(tk)=ik(x(tk)Mip(x(tk)相应地，将受逻辑选择的脉冲控制微分时滞系统(2)转化为x(t)=Ax(t)+f(t，x(t)，x(t(t)，ttkx(tk)=Bkx(tk)+k(tk)Mp(x(tk)t=tk，kN其中，M=MT1，MT2，MTnT，k(tk)=diag ik(x(tk)，ik(x(tk)，ik(x(tk)。3主要结论在本节中，将给出一个脉冲型 Halanay 微分不等式，并获得脉冲线性系统 Cauchy 矩阵的指数估计。定理 1假设 0，u(t)满足标量脉冲微分不等式:D+u(t)u(t)+u(t)，ttk，tt0u(t+k)bku(tk)+ck u(tk)，t=tk，kNu(t0+s)=(s)PC，s，0其中，连续函数 u(t)在 ttk，tt0时，有 u(tk)=u(t+k)，u(tk)存在，则u(t)(t0tktk)e(tt0)，tt0其中，k=max 1，bk+cke，k N，=sups，0(s)，0 是方程+e=0(5)的解。证明因为 0，0 是式(5)的唯一解，显然，u(t)e(tt0)，t t0，t0(6)故有u(t)e(tt0)，t t0，t1)(7)考虑两种情况:当=0 时，由式(4)和式(6)知，u(tk)满足D+u(t)u(t)，u(t0)，t t0，t1)56重庆工商大学学报(自然科学版)第 40 卷因为=，所以u(t)e(tt0)=e(tt0)，t t0，t1)当 0 时，对任意 z0，有u(t)ze(tt0)y(t)，t t0，t1)(8)若式(8)不成立，由式(6)知，一定存在一个常数 tt0，t1)和足够小的正常数，使得，以及当tt时，有u(t+)y(t+)，u(t)y(t)因此，存在一个足够小的正常数，使得当 tt时，u(t+)(1+)y(t+)，u(t)(1+)y(t)(9)因为函数 u(t)和(1+)y(t)在 t t0，t1)上连续，所以存在 t*(t，t+)，使得u(t*)=(1+)y(t*)，D+u(t*)(1+)y(t*)(10)u(t)(1+)y(t)，tt*(11)由式(9)、式(11)及 t t*0，当 s，tt*时，u(t*+s)(1+)y(t*+s)(1+)ze(t*t0);当 s tt*，0 时，u(t*+s)(1+)y(t*+s)(1+)ze(t*t0)，即有 u(t*)(1+)ze(t*t0)=e(1+)y(t*)(12)由式(4)、式(10)、式(12)及 0，可以得到D+u(t*)u(t*)+u(1+)y(t*)+e1+()y(t*)=+e(1+)ze(t*t0)由式(5)有D+u(t*)(1+)ze(t*t0)=(1+)y(t*)与式(10)矛盾，因此式(8)对任意 z成立，令z，就可以得到式(8)。由式(4)、式(6)、式(7)，可以得到u(t1)b1u(t1)+c1 u(t1)tb1e(t1t0)+c1ee(t1t0)1e(t1t0)因为 11，有u(t)1e(tt0)，t t1，t1(13)同理，由式(13)可得u(t)1e(tt0)，t t1，t2)通过简单的推导，可以得到，对任意 kN，有u(t)1k1e(tt0)，t tk1，tk)注 1定理 1 推广了著名 Halanay 微分不等式4，并在脉冲时滞动力系统的定性分析中发挥了重要作用。定理 2设 W(t，t0)是线性系统式(14)的 Cauchy矩阵，有x(t)=Ax(t)，ttkx(tk)=Bkx(tk)，kN(14)若存在 b，0，使得E+Bkb，tktk1，则W(t，t0)ceh(tt0)，其中a=max(A+AT)2c=1，b11/b，0b1h=aln b，b1aln b，0b1证明对任意 x0n，设 x(t)=x(t，t0，x0)是通过初始值(t0，x0)的解，令 V(t)=x(t)2=xT(t)x(t)，有D+V(t)xT(t)(AT+A)x(t)2aV(t)，ttkV(tk)=xT(tk)(E+Bk)T(E+Bk)x(tk)=(E+Bk)x(tk)2E+Bk2V(tk)通过推导可以得到V(t)t0tmtE+Bk2e2a(tt0)V(t0)，tt0 x(t)t0tmtE+Bkea(tt0)x0t0tmtbea(tt0)x0，tt0当 0b1 时，x(t)btt01ea(tt0)x01beln b+a()(tt0)x0当 b1 时，x(t)btt0ea(tt0)x0eln b+a()(tt0)x0因为 x t()=W t，t0()x0，所以W(t，t0)=supx00W(t，t0)x0 x0ceh(tt0)接下来，利用上述结果分析脉冲时滞系统的全局指数稳定性。给出以下 4 个假设:(H1)对任意 x，yn，t，存在 l，q0，使得f(t，x，y)lx+qy(H2)对任意 zn，存在 r1k，r2k0，使得Iik(z)r1kz，Jik(z)r2kz，kN(H3)存在常数 c1，h0，使得W(t，t0)ceh(tt0)，tt066第 4 期谢巧玲，等:基于逻辑选择脉冲时滞动力系统的稳定性分析其中，W(t，t0)是脉冲线性系统式(14)的 Cauchy 矩阵。(H4)设h+cl+cq0，有=supkNln(1+nc(r21k+r22k)12)tktk1其中，是方程h+cl+cqe+=0(15)的一个正解。定理 3假设(H1)(H4)都成立，则式(2)的零解是全局稳定的且指数收敛率为。证明由于h+cl+cq0，式(15)只有一个解 0。对任意的 PC，设 x(t)是式(2)且初始条件为(t0，)的解。令Li=(Iik(x(tk)2Iik(x(tk)Jik(x(tk)Iik(x(tk)Jik(x(tk)(Jik(x(tk)2不失一般性，设 t0t1，很容易验证，以下参数变化公式是成立的，当 tt0时，x(t)=W(t，t0)x(t0)+tt0W(t，s)f(s，x(s)，x(s(s)ds+t0 tktW(t，tk)k(tk)Mp(x(tk)由假设(H1)(H2)，得x(t)ceh(tt0)(0)+tt0ceh(ts)f(s，x(s)，x(s(s)ds+t0 tktceh(ttk)k(tk)Mp(x(tk)ceh(tt0)(0)+tt0ceh(ts)lx(s)+qx(s(s)+t0tktceh(ttk)(k(tk)Mp(x(tk)Tk(tk)Mp(x(tk)12ceh(tt0)(0)+tt0ceh(ts)lx(s)+qx(s(s)+t0 tktceh(ttk)(Mp(x(tk)TTk(tk)k(tk)Mp(x(tk)12ceh(tt0)(0)+tt0ceh(ts)lx(s)+qx(s(s)+t0 tktceh(ttk)nmax(diag L1，Ln)12ceh(tt0)(0)+tt0ceh(ts)lx(s)+qx(s(s)+t0 tktnceh(ttk)max1in(Iik(x(tk)2+(Jik(x(tk)2 12ceh(tt0)(0)+tt0ceh(ts)lx(s)+qx(s(s)+t0 tktnceh(ttk)(r21k+r22k)x(tk)212ceh(tt0)(0)+tt0ceh(ts)lx(s)+qx(s(s)+t0 tktnceh(ttk)(r21k+r22k)12x(tk)如果z(t)=cehtt0()(0)+tt0cehts()lx(s)+qx(s(s)+t0tktnceh(ttk)(r21k+r22k)12x(tk)z(t)=c(t t0)，t0 t t0则有z(t)hz(t)+clz(t)+cq z(t)ttk，tt0z(tk)(1+nc(r21k+r22k)12)z(tk)，kNz(t0+s)=c(s)，s，0 由定理 1 得:当 tkttk+1，kN 时，x(t)z(t)t0tkt(1+nc(r21k+r22k)12)ce(tt0)再由假设(H4)得:当 tk1ttk，kN 时，x(t)e(t1t0)e(tk1tk2)ce(tt0)=ce()(tt0)ce(tt0)e(tt0)因此，式(2)的零解是全局稳定的且指数收敛率为。注 2对任意 i，k，当 Iik(x)=Jik(x)时，式(1)可化简为一般脉冲系统:76重庆工商大学学报(自然科学版)第 40 卷x(t)=Ax(t)+f(t，x(t)，x(t(t)ttkx(tk)=Bkx(tk)+Ik(x(tk)kN其中，Ik(x(tk)=I1k(x(tk)，Ink(x(tk)T。因此，定理 1 对一般脉冲系统也是有效的，可以得出结论:系统式(1)在一定程度上推广了一般脉冲系统。4结束语研究了具有逻辑选择脉冲效应的时滞动力系统的全局指数稳定性，推广了一般脉冲时滞动力系统和逻辑脉冲动力系统，使其稳定性更具一般性和实际性。参考文献(eferences):1LAKSHMIKANTHAM V，BAINOV D D，SIMEONOV P STheory of impulsive differential equationsM Singapore:World Scientific，19892LUO Z，SHENJImpulsivestabilizationoffunctionaldifferentialequationswithinfinitedelaysJAppliedMathematics Letters，2003，16(5):6957013LI X，WENG P Impulsive stabilization of two kinds of second-order linear delay differential equationsJMath Anal Appl，2004，291(1):2702814UAN D，LIU W，YANG M，et al Novel stability results forHalanayinequalityandapplicationstodelayneuralnetworksJ IEEE Access，2020(99):115YOU Z L，WANG J Stability of impulsive delay 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