留数与三角变换求定积分的比较-学位论文.doc
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1、各专业完整优秀毕业论文设计图纸目 录目录 摘要 关键词 1 引言 12 预备知识 12.1基本定义及定理 12.2三角变换公式 1 3 留数理论及三角变换在定积分中的应用 2 3.1 三角函数定积分的复数等价形式 2 3.2 求三角函数定积分的比较探讨 23.3 形如和定积分的复数等价形式 63.4形如和定积分的比较探讨 74 留数理论与三角变换在定积分中的应用比较小结 85 结束语8参考文献9留数与三角变换求定积分的比较摘 要:在计算某些三角有理函数的定积分时,用三角变换公式等方法计算往往是十分麻烦的。或者不易求出这些三角函数的积分值,甚至有的定积分存在但求不出来。如果应用留数理论计算这些三
2、角函数的积分就显得比较简洁,而且有助于定积分计算思路的扩展,促进数学计算方法之间的联系。关键词:定积分;留数;三角变换Comparison of residue triangle transform to find definite integralsGao Minggui(grade 2009 class(1),Mathematics and applied mathematics,School of Mathematical Science ) Abstract: In calculation the definite integral of a rational function of
3、some triangle, triangle transformation formula is often very troublesome. or difficult to find the integral value of these trigonometric functions ,and even some fixed integral exists but demand does not come out. if the application to calculate these trigonometric integral residue theory is relativ
4、ely simple, but also helps a the calculated integral extension of the idea to promote the connection between the mathematical calculation method.Key words: definite integral; residue ; trigonometrical transform1 引言 近年来为适应教育改革而提倡的研究性学习,可培养新时代学生的创新能力产生新的学习方式1。也就是说对一些重点、热点问题进行专题研究,对思维能力的培养、数学素养和综合应用知识的
5、能力的提高显得尤为重要。在求三角有理函数的定积分问题上,很多资料都是先用三角变换公式化为一般函数的定积分;然后再利用换元法、公式法、分部积分法等方法来计算。这些方法虽然都能达到计算目的也各有千秋,但是存在一个最大的缺点:计算量大且计算繁琐,给学习带来了不便,甚至有的定积分存在但求不出来1。针对应用三角变换公式存在的缺点,通过对应用留数理论与三角变换求三角有理函数定积分的比较,发现解决三角函数定积分更为简便的方法。从而对用一般方法很难求得的三角有理函数定积分应用留数理论进行求解。其要点是将定积分化归为复变函数的围线积分,然后利用留数理论进行求解。2 预备知识2.1基本定义及定理定义2.1设是的孤
6、立奇点,在的洛朗展式为,称这个展式的负一次的系数为在点的留数(residue),记为或2。定理2.1设函数在区域内除有限孤立奇点外处处解析,是内包含诸奇点的一条正向简单闭曲线,则:2。 2.2三角变换公式令,则有 所以有3;其中是一条简单的封闭曲线。 3 留数理论与三角变换在定积分中的应用3.1三角函数定积分的复数等价形式 这里是分母恒不为零的三角有理函数,并且在上连续。在进行此类函数的定积分计算时要注意以下几点:第一是积分上下限之差为,这样当作定积分时从经历变到,对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周;第二是被积函数是以正弦或余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后,可设,则 4其中是一条简单
7、的封闭曲线,这里的关键一步是引进了变数代换。至于被积函数上的连续性不必先检验,只要看变换后的被积函数在上是否有奇点。3.2求三角函数定积分的比较探讨留数是与封闭曲线上的复积分相联系的。因此定积分要想利用留数来计算就面临两个问题:一是要将定积分的被积函数中的实函数变为复函数,而且是解析函数,这一点是容易做到的。因为实积分的被积函数是初等函数,不难推广到复数域内;二是要将定积分的积分区间转化为简单闭曲线上的围线积分,一般采用代换或者添加辅助曲线5,并且辅以极限概念来实现。对于个别在实轴上存在奇点的,还需要对分数路稍作变化调整。为了能够直观形象的说明问题,下面以具体实例的形式来体现它在实际生活中的运
8、用。例1 计算解法一:留数定理 令,则 由于被积函数在内只有一个一阶极点, 从而所以由留数定理得 解法二:三角变换法 则;所以 从上面两种求解方法对比可以看到,解法一应用了留数理论进行积分求解,计算量较小,思路清晰;解法二运用了三角变换公式将三角函数的定积分转化为求无穷积分的解,计算量较大,思维量大。通过两种解法的比较,显然解法二的计算量远远大于解法一;这说明应用留数理论与三角变换计算三角函数定积分的效果是截然不同的。例2 计算积分5解法一:留数定理 令时, , 所以: 且在圆内被积函数只以z=p为一阶极点,在上 无奇点。从而有 所以由留数定理得:解法二:三角变换法 令;所以 由这个例子两种解
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