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基于背景间运算的部分已知概念构造.pdf
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1、西北大学学报(自然科学版)2024年4月,第54卷第2 期,Apr.,2 0 2 4,V o l.54,No.2Journal of Northwest University(Natural Science Edition)JNWU粒计算与概念知识获取基于背景间运算的部分已知概念构造田雪1:2,任睿思1,2(1.西北大学数学学院,陕西西安7 10 12 7;2.西北大学概念、认知与智能研究中心,陕西西安7 10 12 7)摘要概念是利用形式概念分析进行知识获取的基础。在不完备形式背景中,为了表达“一定具有”以及“可能具有”的关系,概念的外延或内涵通常以区间集的形式表达,称这样的概念为部分已知概
2、念。由部分已知概念的定义可知,其本质与不完备背景的最小和最大完备化有关,因而考虑对最小和最大完备化背景进行运算来寻找部分已知概念。通过将不完备形式背景的最小完备化与最大完备化分别进行并置和叠置构造两个新背景,其概念格分别同构于SE-ISI概念格和ISE-SI概念格,从而提出了构建SE-ISI概念格和ISE-SI概念格的新方法。对于ISE-ISI概念,使用不完备形式背景的最小与最大完备化的直和运算构造了新的形式背景,基于此背景提出了寻找ISE-ISI概念的方法。关键词不完备形式背景;部分已知概念;并置;叠置;直和中图分类号:0 2 9;TP18Construction of partially-
3、known formal concepts based(1.School of Mathematics,Northwest University,Xi an 710127,China;2.Institute of Concepts,Cognition and Intelligence,Northwest University,Xian 710127,China)Abstract Concepts are the foundation for knowledge acquisition through formal concept analysis.In incom-plete formal c
4、ontexts,in order to express“jointly must possessing(possessed)”and“jointly might possessing(possessed)relationships,the extent or intent of concepts is usually expressed in the form of interval set.Werefer to such concepts as partially-known formal concepts.From the definition of partially-known for
5、mal con-cepts,it can be seen that their essence is related to the least and greatest completions of incomplete formalcontexts.Therefore,we consider performing operations on the least and greatest completions of incomplete for-mal contexts to find partially-known formal concepts.We construct two new
6、formal contexts based on the appo-sition and subposition of the least and greatest completions.Their concept lattices are isomorphic to the SE-ISIconcept lattice and the ISE-SI concept lattice,respectively.Therefore,the new methods for constructing SE-ISI concept lattice and ISE-SI concept lattice a
7、re proposed.For the ISE-ISI concept,we use direct sum opera-tion of the least and greatest completions to construct a new formal context,and propose a method to search forthe ISE-ISI concepts.收稿日期:2 0 2 3-0 9-15基金项目:国家自然科学基金(6 2 0 0 6 190)第一作者:田雪,女,从事形式概念分析、三支决策研究,。通信作者:任睿思,女,博士,讲师,从事形式概念分析、三支决策、认知计
8、算等研究,。D0I:10.16152/ki.xdxbzr.2024-02-007on operations of formal contextsTIAN Xuel-2,REN Ruisil.2 210Keywords incomplete formal context;partially-known formal concept;apposition;subposition;direct sum德国数学家Wille提出的形式概念分析(for-景的并置和叠置构造三支概念格的新方法16 mal concept analysis,FCA)是进行数据库知识受此启发,本文将其应用到不完备背景中寻找部发现
9、的重要工具。通过在背景上获取概念及其对分已知概念。由于不完备形式背景可以被等价刻应的概念格结构,可以进行属性约简2 3,规则获画为一个下界和上界分别为最小完备化以及最大取4 等研究,从而获取有用的知识。近年来,FCA完备化的区间集,而部分已知概念的获取算子与与其他理论的融合研究5-8 为基于形式概念的知最小完备化和最大完备化上的经典导出算子之间识获取提供了更加丰富的理论支撑。具有一致性,所以通过对最小完备化与最大完备经典的形式背景包含了原始数据的所有信化使用不同的放置方式构造新的形式背景,在新息,其上的知识是确定且完备的,在此基础上容易背景上构造经典形式概念,即可获取部分已知概建立结构清晰的概
10、念格,研究知识获取问题相对念。容易,但在数据不完整的情况下,研究相应问题就本文首先给出了不完备背景上部分已知概念比较困难了。在不完备形式背景中,任一对象和的基础知识,然后通过将不完备背景的最小完备属性间的关系有3种可能的情况:确定具有、确定化与最大完备化进行并置和叠置构造新的背景,不具有和不确定是否具有。因此,不完备背景中并证明了此背景下的经典形式概念格分别与SE-概念的定义、表达方式与完备背景中的概念有很ISI概念格和ISE-SI概念格同构,从而提出了构建大差异。SE-ISI 概念格和ISE-SI概念格的方法。对于ISE-形式背景是一种理想状态下的数据表现,但ISI概念,通过将不完备背景的最
11、小和最大完备化在现实生活中由于数据获取较困难、记录不当等进行直和运算构造了新的形式背景,基于此背景原因,往往存在数据缺失的情况,部分对象和属性提出了构造ISE-ISI概念的方法。最后,总结了文之间的关系无法确定,从而导致形式背景的不完章的内容并提出了未来可以进一步研究的问题与备性。在这种情况下,若简单地将缺失信息进行方向。删除或补全,势必会导致知识获取的不确定性。因此,从不完备背景本身出发,对区间集形式的部分已知概念进行研究是有意义的。Burmeister和Holzer受可能世界理论的启发提出了不完备形式背景,并且将模态算子引人不完备形式背景中9。Djouadi 等从不完备背景的最小和最大完备
12、化出发,提出了ill-known形式概念)。Li等提出了近似概念,其外延是一个对象集,内涵是一对属性集,并证明了一个不完备背景的所有近似概念形成一个完备格。Li 和Wang将三支决策应用到不完备背景中,并研究了属性约简问题12 。Yao 将区间集理论引人到不完备形式背景中,定义了3类部分已知概念:SE-ISI概念、ISE-SI 概念和 ISE-ISI 概念13。Ren 等进一步研究了部分已知概念的结构14。Zhi 等考虑了不具有关系,对部分已知概念进行了扩展15。对于部分已知概念的研究目前主要集中在对其定义、性质以及结构的讨论,并未探讨其构造问题,本文通过考虑背景间的运算研究了部分已知概念的构
13、造。在三支概念分析领域,Qian等提出了基于背西北大学学报(自然科学版)1预备知识本节给出形式概念分析、不完备形式背景及其上部分已知概念的基础知识。定义117)称K=(O B,A T,I)为一个形式背景。其中:0 B=(o 1,0 2,为对象集,每个o,(ip)称为一个对象;AT=ai,a2,agl为属性集,每个,(jq)称为一个属性;I为OB和AT之间的二元关系,I OBAT。若(o,)=I,则表示对象具有属性,记为ola。对任意 O C OB,A AT,可以定义一对算子:20B24及T:2420如下(O)=il EAT,Vo EO,ola,T(A)=(olo E OB,Va EA,ola)
14、。其中:(0)表示0 中所有对象共同具有的属性集合;T(A)表示共同具有A中所有属性的对象集合。如果一个二元组(0,A)满足(O)=A,且T(A)=O,则称(O,A)是一个形式概念,简称概念。0 和A分别称为概念(O,A)的外延和内涵。在形式背景K=(O B,A T,I)的所有概念构第54卷第2 期成的集合上定义偏序关系和上、下确界就可以形成一个完备格,称之为形式背景K的概念格,记为L(K)。定义2 9 不完备形式背景可以定义为一个四元组IK=(O B,A T,+,?,-,J)。其中:OB和AT分别是对象集和属性集;JCOBAT+?,一是满足下述条件的三元关系。(o,,+)J表示对象o具有属性
15、;(o,,)EJ表示对象o不具有属性;(o,,?)EJ表示不确定对象o是否具有属性a。一个完备的形式背景可以看作不完备背景的特殊情况,即完备背景中不含有“?”关系。例1表1为一个不完备形式背景 IK=(OB,AT,+,?,J)。其中:0 B=(1,2,3,4)为对象集;AT=a,b,c,d,e表示属性集。表中(1,a)处的“+”表示对象1具有属性a;(1,b)位置上的“_”表示对象1不具有属性b;(1,c)处的“?”表示不确定对象1是否具有属性c。若将其中的“?”全部替换为“+”或“_”,表1就变成了一个完备背景。表1不完备形式背景IKTab.1Incomplete formal contex
16、t IKIKa1+234在不完备背景中,无法通过常规导出算子实现对象集和属性集之间的推导,于是有了上界导出算子和下界导出算子的定义。定义39 在一个不完备形式背景IK=(O B,A T,1+?,一,J)中,定义一对下、上界导出算子,将一个对象集 O OB映射为一对属性集:(O)=(aE AT I Vo e O(o,a,+)=J)f;(O)=(aATI VoE O(o,a,+)E JV(o,a,?)E J)。类似地,可以定义另一对下、上界导出算子,它将一个属性集ACAT映射为一对对象集:(A)=(o OBI VA(o,a,+)=J);T(A)=(oeOBI VEA(o,a,+)JV(o,a,?)
17、E J)1。田雪,等:基于背景间运算的部分已知概念构造其中:(0)是0 中所有对象一定共有的最大属性集;(0)是0 中所有对象可能共有的最大属性集。易知(O)(O)。类似地,(A)T(A)。定义49 设IK=(OB,AT,I+,?,-,J)是一个不完备背景,K=(O B,A T,I)是一个完备背景,若I满足下列条件:(x,y,+)E J=xly,(x,y,-)E J=(xly),则称K为IK的一个完备化。由定义4可知,完备化背景中的二元关系可以通过将不完备背景中的每个“?”替换为“+”或“_”得到。一个不完备形式背景具有多种完备化结果,可以用COMP(IK)表示不完备背景IK的所有完备化的集合
18、。在不完备背景的多种完备化背景中,有两个背景较为特殊,下面给出了最小和最大完备化的定义。定义510 给定一个不完备形式背景IK=(O B,A T,I+,?,-),J),其最小完备化和最大完备化分别定义如下:K=(OB,AT,I,);K*=(OB,AT,I*)。其中:l=(o,a)1(o,a,+)E J);I*=(o,a)l(o,a,+)e J)Ut(o,a)l(o,a,?)e J)。6C?+一+211de+?+一一例2 表2 和表3分别是表1所示背景对应的最小完备化K,与最大完备化K*。可以看出,二元关系,实际上是将所有“?”替换为“_”得到的,1*是将所有“?”换为“+”得到的。+表2 IK
19、的最小完备化K。+Tab.2The least completion of IKKa1+234Tab.3The greatest completion of IKK*a1+234令UP=((o,a)I(o,,?)J)表示不完6+表3IK的最大完备化K*Cd+一+C+一一d+一一e+e+212备背景中所有具有“?”关系的对象属性对的集合,任何一种完备化都是将UP的某个子集的“?”换为“+”,将其补集中的“?”换成“_”得到的。任何一个完备化K=(O B,A T,I)的二元关系I可以表示为=,UI,IUP。由此,所有完备化对应的二元关系可以构成一个关系区间集1,I*=I I I C I C I*。
20、下面的定理给出了不完备形式背景中的上、下界导出算子与最小完备化和最大完备化中的导出算子之间的关系。定理1 13在不完备背景中,有1)g=0kT=Tk,;2)=0k*,T=Tk*。其中:(k,T k)是最小完备化K=(O B,A T,I)上的导出算子对;(k*,T k*)是最大完备化K*=(O B,A T,I*)上的导出算子对。该定理表明,下界导出算子和上界导出算子分别是最小完备化和最大完备化上的导出算子。因此,上、下界导出算子具有常规导出算子的所有性质。对于IK的一个完备化背景K=(O B,A T,I),有III*,因而对于OOB,有(O)=k(0)Cx(0)Ck*(0)=(0),即k(0)E
21、(O),(O)。相反地,给定A E(O),(O),一定存在一个完备化K=(O B,A T,I),使r(0)=A。于是Yao 提出了定理2 13定理2 13 属性区间集(0),(0)】实际上是IK所有完备化的属性导出集的集合,即g(O),(O)=(k(O)I K=COMP(IK)/。其中,k是完备背景K上的导出算子。同样地,对象区间集(A)(A)实际上是IK所有完备化的对象导出集的集合,即-(A),(A)=(Tk(A)I K=COMP(IK)/。其中,Tk是完备背景K上的导出算子。由定理2,可以得到对象区间集和属性区间集。为方便表示,可以将两对上、下界导出算子成对表示为两个算子,g,:20BI(
22、24),,司:2 4TI(2B),具体如下g,(0)=g(0),(0),T(A)=(A),T(A)。使用上述两个算子可以实现从集合到区间集的转换,即将对象集映射为属性区间集,将属性集映射为对象区间集。而下面定义的两个算子可以西北大学学报(自然科学版)将一个对象区间集映射为一个属性集,将一个属性区间集映射为一个对象集。定义6 131在不完备形式背景中,可以定义两个拓展的导出算子,,):I(2B)2 4T,):1(247)20B,具体如下g,a)(0,0)=g(0)na(0),T,T)(A,AJ)=(A)nT(A)。定义 7 13 在在不完备形式背景中,一对对象集和属性区间集(O,A,A )若满足
23、条件g,(O)=A,A,T,)(A,A)=O。则被称作具有外延集和内涵区间集的部分已知形式概念,简称为部分已知SE-ISI形式概念。一对对象区间集和属性集(0,0 ,A)若满足条件g,)(0,0)=A,(A)=0,0。则被称为具有外延区间集和内涵集的部分已知形式概念,简称为部分已知ISE-SI形式概念。在给出部分已知概念格的偏序关系及其上、下确界的定义之前,先说明区间集中偏序关系和交、并运算是如何定义的。给定两个区间集A,B和C,D,偏序关系定义为A,B C,DAC(C(B-A)C DA C C B C D。交运算和并运算分别定义为A,B nC,D=AnC,BnD,A,B UC,D=AUC,B
24、UD。记IK上所有的SE-ISI概念形成的偏序集为LsE-Isr(IK),是一个完备格,其中偏序关系定义为(X,Yi,Y,)(U,Vi,V,J)X CU(V,V,Yi,Y,)。下确界和上确界分别定义为(X,Yi,Y,)(U,Vi,V,)=(X n U,g,(,T)(Yi,Y,UVi,V2);(X,Yi,Y,)V(U,Vi,V,)=(1,T)(g,(XU U),Yi,Y,n Vi,V2 。记IK上所有的ISE-SI概念形成的偏序集为LIsE-s(I K),它是一个完备格,其中偏序关系定义为(X,X,Y)(Ui,U,V)VC Y(Xi,X,U1,U,)。下确界和上确界分别定义为(Xi,X,Y)(U
25、i,U,V)=(XI,X,n Ui,U,第54卷第2 期g,)(,T(YUV);(Xi,X,Y)V(Ui,U,V)=(,T(g,a)(Xi,X,UUi,U,),Yn V)。定理310 在不完备形式背景中,如果一对对象区间集和属性区间集(0,0,A,A*)满足如下条件:1)0.C0*,ACA*;2)(O,A)是K,=(O B,A T,I)中的一个形式概念,即k(O,)=A,T k(A,)=O,;3)(0*,A*)是K*=(O B,A T,I*)中的一个形式概念,即k(O*)=A*,T k(A*)=0*,则称(0,*,A,A*)为一个部分已知ISE-ISI概念。该定理是对ISE-ISI 概念的构造
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