除法竖式是对平均分过程的记录——“两位数除以一位数竖式计算”教学思考与实践.pdf

2023.7-8下半月 数学我们习惯上将竖式怎么写作为一种规定，因为是规定，我们通常就不会去研究知识中蕴含的数学趣味，而将有趣的数学知识作为一个冷冰冰的规定呈现给孩子们，致使孩子们失去对数学的乐趣。“两位数除以一位数竖式计算”这节课，如何让学生不只把竖式作为一个规定来识记，而去体验数学竖式与平均分之间的匹配，达成对竖式计算的掌握，是十分有意义的探索。本文试着从学生的困惑出发，依据教材，带领孩子们从除法的运算意义入手，通过平均分的操作，来体会除法竖式与操作之间的对应关系，从而解决孩子们学习数学的痛点，以求教同行。一、学生的困惑困惑一：为什么要写两层？在二年级，学生学习“表内除法竖式”，这是他们第一次接触到除法竖式。通过这节课的学习，学生解决了一个困惑：为什么除法竖式的书写格式与加法竖式、减法竖式、乘法竖式不一样，理解并掌握了除法竖式的书写格式。到了三年级，学习“两位数除以一位数竖式计算”，学生又遇到了一个困惑：都是两位数除以一位数的竖式，为什么以前学的都是写一层（如图1），今天学的竖式要写两层（如图2）？虽然他们不会把这个困惑说出来，但从他们的错误中老师能感受到这种困惑学生经常会写成这样（如图3）。径。我们团队另辟蹊径，一改展示汇报的经典教学路径，继续选择以各学习共同体提出的问题为研究载体，组织全班学生围绕这些问题进行再一次的深入探索与思考。由于学生个体性、基础性的提问基本都在学习共同体内得到了解决，因而这一阶段的问题讨论，其思维的深度、广度都较组内研讨有了新的推进和深化。如果说，学生课前的独立研究和思考，是学生对学习内容的初始加工，学习共同体内相互之间的分享与对话，是学生对学习内容的再度加工，那么，基于学习共同体所提出的共生性问题，全班学生在教师的引导与组织下开展的组际互动与对话，则实现了学生对学习内容的深度加工。这一过程中，教师的追问、引导、点拨是学生思维推进的加速器，可视化、结构化的板书，是学生思维跃升的显示屏，而隐性的过程与方法目标，深层次的素养目标与学科育人目标，则在这一环节中得以有效落实。当然，面对不同学习共同体所提出的共生性问题，选择哪些问题展开全班讨论，这些问题又该按怎样的序展开讨论，每一个问题又该通过讨论帮助学生深化认识哪些新知识，形成哪些新思考、新理解、新素养，这些都需要教师在课堂现场及时作出筛选、辨别、排序与斟酌，这也恰恰是教师教学智慧的重要体现。【本文系江苏省教育科学“十四五”规划课题“促进儿童社会性素养发展的 社会化学习 范式建构”（批准号：SJMJ/2021/03）的阶段性研究成果。课题主持人：张齐华】（作者单位：江苏南京市玄武区教师发展中心）H与数数代762023.7-8下半月 数学俞正强戴颖华“两位数除以一位数竖式计算”教学思考与实践除法竖式是对平均分过程的记录图1图2图3困惑二：为什么要从高位除起？在用竖式计算加法、减法和乘法时，都是从低位算起的，一而再，再而三，在学生眼里就形成了规律：用竖式计算除法也应该从低位算起。但是老师在总结笔算方法时一再强调“要从高位算起”。对学生而言，这样两层竖式的写法和前一阶段的学习是不一致的，用竖式计算除法从高位算起是反常的。如果这些学生认为反常的地方教师不给他们一个解释，学生的心里就会产生困惑，困惑积累多了就会觉得数学是恐怖的，是不可理解的。所以我们需要给学生一个解释，这个解释就是我们上课时重点要解决的“理”。通过这节课的学习，我们要让学生明白写成两层是合理的，从高位除起是合理的。二、教学策略策略一：教材整合。通过分析、对比北师大版和人教版教材“两位数除以一位数竖式计算”这一内容的编排，可以发现，两个版本的教材都安排了两个课时，第一课时是两位数除以一位数（十位无余），第二课时是两位数除以一位数（十位有余）。以北师大版教材为例，第一课时为“分桃子”，第二课时为“分橘子”。两个课时的编排结构相似：都是先创设情境，再理解算理，接着是学习竖式，最后练习巩固。不同之处是两道例题十位除后是否有余。教材这样的编排是否有利于学生解开困惑、突破难点呢？我们先来分析一下这两道例题：例一：682，十位除后无余。口算能力好的学生能直接报出答案，因此他们认为竖式写成一层是合理的。口算时，没有规定先算十位还是先算个位，而且在分小棒的操作过程中，可以先分6捆小棒，也可以先分8根小棒，即可以先算十位602=30，也可以先算个位82=4，“高位除起”的必要性无法凸显。例二：483，十位除后有余。结合分物的操作，先把3个十平均分成3份，剩下1个十和8个一。再把1个十转化为10个一，和剩下的8数与代数772023.7-8下半月 数学个一合在一起，组成18个一，继续平均分成3份，一共分了两次，记录成两层。结合以上分析，先学习十位除后有余的竖式可以凸显从高位除起的必要性和两层记录的科学性，有利于突破难点，因此我们在上课时可以调整两道例题的顺序。借例二学习新知，用例一巩固新知，并在对比中让学生感悟两种竖式的相同与不同。策略二：教学用具的调整。两个版本的教材中都是借助小棒来理解算理，1捆小棒代表1个十，1根小棒代表1个一。小棒这一学具，即使10根捆在一起成为1捆，1根1根的感觉还是很明显，1个十的感觉不强，会冲淡“把1个十转化为10个一”，即“破一当十”的体验。这里可以把小棒改成大小、颜色不同的磁扣。1个大磁扣代表1个十，1个小磁扣代表1个一，让学生借助思维的力量把“破一当十”拱出来，这样的学习会更形象，让学生印象更深刻。策略三：被除数的调整。分橘子的例题是 483，我们认为，把 48改为 42 会更加恰当。原因有二：首先，483进行操作时，十位上的 4 能分，个位上的 8 也能分，会对先分十位再分个位的认知有干扰，改为 42 就能避开这个干扰。其次，48 在第二次平均分时剩下18个小磁扣，平均分到3 个盘子里操作起来比较费时，改为 42 更高效。三、教学实践环节一：展现学生想法，形成讨论基础。选材：123=155=423=立序：1.课件呈现材料。2.学生自主完成竖式。3.反馈修正。（展示一个学生的作业）师：第一题他做对了吗？生：对的。师：有不同的写法吗？生：没有。师：第二题呢？生：对的。师：有不同的写法吗？生：没有。师：第三题呢？（一部分学生说“对”，一部分学生说“错”）师：我听到有同学说“错”，你们是有不同的写法是吧？谁有不同的写法，拿上来看看。（投影其中一个学生的作品）师：这位同学写的和第一位同学写的的确不一样（老师顺手在第一个学生的作业上标上，在第二个学生的作品上标。如图4）。还有第三种不同的写法吗？图4生：没有了。师：这两种写法哪种比较好？好在哪里？生：我觉得第二种比较好。如果是第一种，计算的数位够多的话，根本算不出来。生：我觉得第一种好。能很快完成竖式计算。生：我觉得第二种好。第一种的话容易搞糊涂。生：我觉得第二种好。第一种没有依据，为什么是14？师：听了大家的发言，我觉得大家说得都很有道理，究竟哪一种比较好，接下来我们就一起研究一下。【设计意图】通过复习，学生回忆起除法竖式的书写格式，为后面多层竖式的学习积累经验。借助第三题呈现不同学生的想法，展现思维冲突，为接下来的探究做好铺垫。与数数代782023.7-8下半月 数学环节二：重温除法意义，体验运算记录。1.溯源。师：423表示什么意思？生：把42平均分成3份，每份是多少？师：那我们来分一分。我用4个红色的大磁扣表示4个十，2个黄色的小磁扣表示2个一，合起来是42。请你拿出操作板，把这42个磁扣平均分到3个盘子里（如图5）。图52.学具操作。（1）首次操作：遇到困难。（学生在操作板上自主操作）师：同学们，谁已经把这42个磁扣平均分到3个盘子里了？（学生都摇了摇头）师：大家都在摇头，你们是遇到困难了吗？谁上来把你的困难和大家说一说。生：（在黑板上边操作边说）把这 3 个大磁扣平均分到 3 个盘子里，然后就没法继续了。师：这位同学先分了4个大磁扣中的3个大磁扣，每个盘子里分到了1个大磁扣，还剩1个大磁扣和2个小磁扣，没法继续分下去了。你们遇到的困难和他一样吗？生：一样。（2）讨论交流：解决困难。师：谁能想个办法解决这个困难呢？生：把这个大磁扣换成小磁扣。师：换成几个小磁扣？生：1个。师：你们同意吗？生：不同意。应该是10个。师：你们同意换成几个？生：10个。师：可以这样换吗？生：可以。1个大磁扣代表1个十，1个十就是10个一，它们是一样的。（3）再次操作。师：听明白他的方法了吗？请你在黑板上操作一下。其他小朋友在脑子里换一换，分一分。（学生把剩下的1个大磁扣换成10个小磁扣，和原来的2个小磁扣合在一起继续分，每个盘子里分到了4个小磁扣）（4）整理过程。师：这位同学在分42个磁扣的时候分了几次？生：2次。师：先分什么？生：4个十。师：再分什么？生：12个一。师：这两次分的过程中有一步很重要，是什么？生：转换。把1个十转换为10个一。3.确定格式。师：通过刚才的操作，你觉得这两种写法哪种比较好？好在哪里？生：第二种。刚才我们分了两次，第二种记录了两次。第一种看不出两次分的过程。生：第二种。如果是第一种的话，我们每一次分完剩下多少要记在脑子里，太麻烦了。生：第二种。第二种竖式里面的每一个数都对应着刚才分的磁扣，第二种竖式把每一步的过程都记录下来了。4.观看微课。（略）【设计意图】学生在操作中经历把42平均数与代数792023.7-8下半月 数学分成3份的过程，理解除法竖式与平均分之间的关系，感悟竖式记录功能之强大。环节三：发现联系，交流感悟。1.发现联系。师：同学们，我们在分磁扣的时候是先分什么、再分什么？写除法竖式的时候是先写什么、再写什么？你有什么发现吗？生：先分大的，再分小的。生：我们先分了4个大磁扣里的3个大磁扣，剩下的1个大磁扣转换成10个小磁扣，和原来剩下的2个小磁扣合在一起继续分。先算4个十除以3，再算12除以3。生：我们是先分大磁扣再分小磁扣，在竖式里就是先算十位，再算个位，它们是一样的。2.交流感悟。师：同学们，刚开始上课的时候，我们班有两种竖式书写格式，每一种都有支持者。后来，我们一致认为第二种书写格式更好。这个过程，你脑有何思？心有何感？生：我知道了除法竖式是记录我们分磁扣的过程的，我们可以用竖式把每一次分的过程都记录下来，所以我们要写成第二种竖式。生：我明白了原来除法竖式这样写是有道理的。生：我知道了为什么要先算十位再算个位，因为我们要先分大磁扣，再分小磁扣。如果先算个位的话，十位有剩余还要重新算，会很麻烦。生：大磁扣没分完就要转换成小磁扣，和原来的小磁扣合在一起继续分，这和十位上的数没有分完，和个位上的数合在一起继续分，道理是一样的。【设计意图】通过交流、分享，让学生对自己的所感所想进行表达。学生会发现数学原来是这样精细、严密，会有一种豁然开朗的惊诧感。环节四：巩固练习，拓展延伸。（略）四、课后思考一提到计算课，大家的印象就是枯燥乏味，难以调动学生学习的积极性，往往上着上着，就只剩下老师的声音了。但是这节课上我们看到了学生的学习热情自始至终没有衰退，所有的学生都在积极参与学习活动，有思考后的喜悦，有习得后的满足，也有困惑后的豁然开朗。这节计算课为什么会这么吸引学生呢？我们想可能是做到了这两点：一是老师的用心吸引学生。在设计这节课之前，我们厘清了学生在这节课里会有哪些困惑，并以此为教学出发点设计了合适的“序”、恰当的“材”来帮助学生解开这些困惑。在“序”上，充分尊重学生的学习起点，循序渐进，环环相扣。在“材”上，有些“材”是取之于学生的。如把学生出现的不同竖式写法都投影在屏幕上，真实展示了学生的思维冲突，不回避学生的问题，学生能感受到老师对他们思考的尊重。有些“材”来自老师的精心准备。每人一块精致的操作板，增强了学生的学习兴趣，让学生在这份教师的自制学具中操作、感悟，慢慢完善自己的思考，学生也能感受到老师的这份用心。二是数学思考的乐趣吸引学生。学生在课堂伊始出现了两种竖式写法，如果我们只是直接地、强势地告知学生正确的写法以及每一个步骤的意义，然后花大量的时间进行练习，一节课下来学生掌握的仅仅是知识的“皮毛”。如果我们给他们充分的时间，让他们在操作中体验，在体验中达成对知识的深度思考和理解，用理解支撑做题，形成能力，这样的学习过程对学生而言才是生动、有意义、有成长价值的。学生的学习乐趣就在于对数学知识的思考，在思考中迸发出内心的“惊诧”，这种“惊诧”的不断积累会让学生爱上数学，也会让学生在数学学习道路上越走越远。(作者单位：浙江金华师范学校附属小学)L与数数代80