微分方法.doc

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《计算方法》实验报告
学号

姓名

班级
15-计科-03班
实验项目名称
实验五 数值微分

一、实验名称
实验五 数值微分
二、 实验目的：
(1) 熟悉数值微分中Euler法，改进Euler法，Rung-Kutta方法；
(2) 能编程实现Euler法，改进Euler法，Rung-Kutta方法；
(3) 通过实验结果分析各个算法的优缺点;
(4) 明确步长对算法的影响并理解变步长的Rung-Kutta方法

三、 实验内容及要求
（1） 0 < x<1
取h=0.1时用Euler法，改进Euler法，Rung-Kutta方法求其数值解并与精确解进行比较。
输入：求解区间，初值，数值解个数
输出：数值解

四、 实验原理及算法描述
在许多科学技术问题中，建立的模型常常以常微分方程的形式表示。然而，除了少数特殊类型的常微分方程能用解析方法求其精确解外，要给出一般方程解析解的表达式是困难的。所以只能用近似方法求其数值解，在实际工作中常用计算机求常微分方程的数值解。所谓常微分方程的数值解即对于常微分方程初值问题计算出在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的未知函数 y(x)近似值y0,y1,…yn，即找到一系列离散点（x0,y0）（x1,y1）（x2,y2）…（xn,yn）近似满足常微分方程。数值解法的基本思想用差商代替导数,实现连续问题离散化，选取不同的差商代替导数可以得到不同公式。
改进欧拉公式是常用方法之一，包括预测和校正两步。先用欧拉公式进行预报，再将预报值代入梯形公式进行校正，从而达到二阶精度。通过龙格-库塔法我们可以获得更高精度。经典龙格-库塔法即在区间[xn,xn+1]取四点，并对这四点的斜率进行加权平均作为平均斜率，通过泰勒公式寻找使局部截断误差为O(h5)（即4阶精度）的参数满足条件。
改进的欧拉公式： 预测
校正
四阶（经典）龙格-库塔公式

五、 程序代码及实验结果
1． 主程序
int main()
{
Euler(0, 1, 10, 0.1);
PEuler(0, 1, 10, 0.1);
longgekuta(0, 1, 1,10);
return 0;
}
2.Euler公式子程序：
double Euler(double x0, double y0, int n, double h)
{
cout << "Euler 公式输出：" << endl;
double x = x0;
double y = y0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{

y = y + h*(y - (2 * x / y));
x = x + h;
cout << x << " ";
cout << y << endl;
}
return y;
}
3.改进Euler公式子程序：
double PEuler(double x0, double y0, int n, double h)
{
cout << "改进的Euler公式输出：" << endl;
double x = x0;
double y = y0;
int i = 1;
double x1,yp,yc,y1;
while (i<=n)
{
x1 = x + h;
yp = y + h*(y - (2.0* (x / y)));
yc = y + (h)*(yp - 2.0 * (x1) / yp);
y1 = 0.5 * (yp + yc);
cout << x1 << " " << y1 << endl;
i++;
x = x1;
y = y1;
}
return y;
}
4.四阶龙格库塔公式：
double longgekuta(double a, double b, double y, int n)
{
cout << "4阶龙格库塔公式输出" << endl;
double x0 = a;
double y0 = y;
double h = (b - a) / double(n);
int i = 1;
double x1,k1,k2,k3,k4,y1;
while (i<=n)
{
x1 = x0 + h;
k1=y0 - (2.0* (x0 / y0));
k2 =y0 + 0.5*h*k1 - (2.0* ((x0+0.5*h) / (y0 + 0.5*h*k1)));

k3= y0 + 0.5*h*k2 - (2.0* ((x0+0.5*h) / (y0 + 0.5*h*k2)));
k4=y0 + h*k3 - (2.0* ((x0 +h)/ (y0 + h*k3)));
//y0+h*k3
y1 = y0 + (h / 6.0)*(k1 + 2.0*k2 + 2.0*k3 + k4);
cout << x1 << " " << y1 << endl;
i++;
x0 = x1;
y0 = y1;
}
return y0;
}
5.输出结果：

六、 实验总结
1. 可以清楚得看出，比起Euler公式，改进的Euler公式可以更快的算出我们微分结果
2. 四阶龙格库塔方法更是大大的加快了收敛速度。
3. 通过算法的编写我们可以更加地体会到步长的选取对于微分值的影响还是很大的。
4. 四阶龙格库塔就是很好得利用了变步长的优势，这也就是其收敛速度快的原因所在

五、教师评语（或成绩）
教师签字 ：

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