本科毕业论文---微元法.doc

微元法毕业论文微元法毕业论文摘 要1第一章 微元法理论21.1选题意义及微元法的产生背景21.2微元法理论简介31.2.1预备知识-定积分的定义31.2.2微元法的引入41.2.3微元法的实质及解题步骤4第二章 微元法的应用52.1微元法在几何中的应用52.1.1微元法证明一类积分学公式52.1.2微元法在几何学中的具体应用82.2微元法在物理学中的应用132.2.1概述微元法在物理中的应用132.2.2微元法在大学物理中的应用14摘 要微元法是处理微积分问题的重要方法,微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理。本文将给出微元法的原理、使用方法及使用条件，使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在几何学、物理上的应用，解决一些具体的实际问题，并研究如何使用微元法更加简单、高效。关键词：微元法 微元法 几何应用 物理应用 ABSTRACTMicro-element method is an important treatment method for calculus problems. The use of Micro element method make originally complex integral problem becomes easy to deal with. This paper will give the principle of micro-element method, the use of methods and conditions of use of micro-element method to gain a deeper understanding. Then introduce applications of micro element method in geometry and physics to solve specific practical problems and learn how to use micro-element method is more simple and efficient.Key words: micro-element method; micro-element; geometric applications; physics application; 第一章 微元法理论1.1选题意义及微元法的产生背景数学的思想、精神、文化对于人类历史文化变革有着重要的影响。数学文化价值的研究有利于促进社会的发展,有利于加强对自然科学的认识，有利于提高素质教育水平。数学：打开科学大门的钥匙， 科学史表明，一些划时代的科学理论成就的出现，无一不借助于数学的力量。早在古代，希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras）学派就把数看作万物之本源。享有“近代自然科学之父”尊称的伽利略（G. Galileo）认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。没有数学就没有自然科学的发展；没有数学就没有现代科学技术的发展；没有数学，哲学就会失去支撑，人类就会处于原始生活状态。因此，没有数学，人类将无法实现全面发展，素质教育也将面临极大挑战，数学文化价值的研究将有利于全面提高个人整体素质。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学是微分学和积分学的统称，微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到，微积分学这门学科在数学发展中的地位是举足轻重的，可以说它是继欧式几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分学的应用帮助社会学、心理学、商学和经济学等许多领域取得巨大的进步,这其中最重要的事情就是微元分析法帮助我们建立了各种纷繁复杂的实际问题的数学模型。微元法是伴随着微积分的产生而产生的，随着对微积分研究的不断深入，微元法在积分学中的地位越来越重要,微元法的使用使原本复杂的微积分问题变得容易处理，微元法的应用十分广泛，几何图形的体积，表面积，弧长；物理中做功，流体，电场问题都可用微元法处理。1.2微元法理论简介1.2.1预备知识-定积分的定义应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过定积分定义中的四步曲“分割，取近似，求和，取极限”得到定积分表达式的，而是利用步骤更简单的微元法（又称元素法）得到定积分表达式微元法思想是微积分的主要思想，它在处理各类积分的应用问题中是一脉相通的，也是学好各类积分的理论依据，微元法理论是通过定积分的定义演化而来的要想深刻理解微元法需要先了解定积分的定义设函数在上有界，若对任意分法，令，任取，只要时，趋于确定的值 ,则称此极限值为函数在区间上的定积分,记作，即，此时称在上可积。 计算 曲边梯形面积的具体步骤：1）分割在区间中任意插入个分点，用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形;2）局部近似在第个窄曲边梯形上任取，作以为底，以为高的窄矩形,并以此窄矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积，得。3）求和 4）取极限令，则有1.2.2微元法的引入我们从计算曲边梯形面积等问题来导出定积分概念时, 是通过“分割、近似代替、求和、取极限”这样四个步骤把所求量（曲边梯形面积等表示为一个定积分,从而求出其值的因为能用定积分表示和计算的实际问题非常广泛, 所以我们希望简化上述求值过程的四个步骤,而得出一种简便、实用、迅速、有效的方法和模式。 定积分是分布在区间上的整体量因为整体是由局部组成的，所以将实际问题抽象为定积分必须从整体着眼，从局部入手具体做法是：首先将区间上的整体量化成区间上每一点的微分，亦称微元，这是“化整为零”其次对区间上每一点的微分无限累加，连续作和，这是“积零为整”，从而得到了欲求的定积分这种方法称为微元法。 一般地， 若某一实际问题中的所求量符合下列条件，便可以考虑用定积分来表示这个量（1）是与一个变量的变化区间有关的量；（2）对于区间具有可加性, 就是说如果把区间分成许多部分区间，相应地分成许多部分量, 而等于所有部分量之和；（3）在中任一微小区间上的分量，误差是 的高阶无穷小，即当 时，。那么就可以考虑通过微元法用定积分来表示这个量。1.2.3微元法的实质及解题步骤 微元法实质是把求累加量问题转化为定积分计算的简化,它省却了分微段、近似求和等过程,直接由微元累积导出积分。微元法是指通过从分析事物的极小部分入手,达到使事物的整体问题得以解决的一种方法. 运用微元法, 在一定的条件下可以把变化的、运动的、物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程, 即变为理想的对象或过程. 微元法可以是把研究物体取微元部分进行分析,也可以是把研究过程取微元阶段进行分析. 微元法的基本数学工具是有关近似、极限、数列知识以及几何、三角中的知识。一般情况下，应用问题的变化是非均匀的，但在局部变化的一瞬间，改变量可近似地看成是均匀变化的，这一瞬间的改变量往往正是。 但注意，用近似代替时，要求误差是的高阶无穷，即成立。对某些特殊问题，凭借直观图形得出的有时是错误的，所以使用微元法应注意。用微元法求定积分表达式的具体步骤是：微元法示意图（1） 根据问题，选取一个变量如为积分变量，并确定它的变化区间；（2）设想把区间分成个小区间，取其中任一个小区间记，求出相应的部分量的近似值：，称为量的元素或微元，记为 ；（3） 以的元素为被积表达式，在区间上作定积分，则得第二章 微元法的应用2.1微元法在几何中的应用2.1.1微元法证明一类积分学公式1）平面曲线弧长计算公式定理1 设平面曲线，,为光滑曲线( 即与在上连续且,则曲线的弧长为证明 取参数为积分变量,它的变化区间为,相应于上任一小区间的小弧段， 即 2）旋转曲面面积计算公式定理2 设平面光滑曲线的方程为 ,则由曲线绕轴旋转一周所得曲面面积为证明 在点分别作垂直于轴的平面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带。当很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积, 即其中 由于 因此由的连续性有 其中 故 则3）曲面面积计算公式定理3 设为可求面积的平面有界区域, 函数在上具有连续的一阶偏导数, 则由方程，所确定的曲面的面积证明 在区域内任取一点并在区域内取一包含点的小闭区域其面积也记为在曲面上点处作曲面的切平面T,再作以小区域的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面。将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值, 记为。又设切平面T的法向量与轴所成的角为,则 这就是曲面的面积微元。于是曲面的面积为4）平面上第一型曲线积分计算公式定理4 设有平面上光滑曲线 ，, 函数为定在上的连续函数,则 证明 根据第一型曲线积分的定义,曲线的参数方程为， 则有弧长微元得 故5）平面上第二型曲线积分计算公式定理5 设有平面上光滑曲线，为上的有向光滑曲线，又设，为L上的连续函数,则沿从到的第二型曲线积分证明 下证不妨设对应于点与曲线的方向一致的切向量为为切向量与轴正向所成夹角,所以 从而 所以 同理可故有6）第一型曲面积分计算公式定理6 设有光滑曲面,为上的连续函数,则有证明 曲面由方程给出,那么曲面的面积微元为故2.1.2微元法在几何学中的具体应用1)求平面图形的面积前一节已经利用微元法证明了一些积分学公式，这里给出如何用微元法解决具体问题。例1计算由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。解 如图 抛物线与直线的交点,。它的变化范围是,在其上任取子区间，则得面积微元,于是面积 图1=18若选横坐标x为积分变量,它的变化范围为,在上,面积微元; 在上,面积微元,因而面积:这里选取为积分变量, 计算过程简便一些。2）求极坐标下平面图形的面积设曲线的极坐标方程为：，。下图为曲边扇形。积分变量，且；，则；。例1求心型线所围图形的面积（）。解：由对称性，只需求出图中阴影部分的面积即可。由图可知时，；时，；即。 例2求曲线以及内的公共部分的面积。解：由图形的对称性，只需考虑第一象限部分的面积。联立，解得；令，解得。从而 2）利用微元法求旋转体的体积设连续曲线方程为，且；将、与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周，求所得旋转体的体积。旋转轴是轴，则截面面积为：，其中是截面的圆的半径；从而，旋转体的体积为： 例1连接坐标原点及点的直线、直线及x轴围成一个直角三角形,将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算这圆锥体的体积解:过原点及点的直线方程为图 圆锥体取横坐标为积分变量,则积分区间为圆锥体中相应于上任一微小区间的薄片的体积为 于是所求圆锥体的体积为 例2曲线（）与轴围成的图形绕轴旋转一周，求旋转体的体积。解：，则 或，则（）；（）；按照公式：，有 4）求平行截面面积已知的立体的体积某立体紧紧夹在过，且垂直于轴的两平面之间，且满足：，过点且垂直于轴平面与立体的截面面积已知；称这样的立体为平行截面面积已知的立体，求此立体的体积。积分变量，则夹在垂直于轴的两平面、之间的部分可近似视为以为底，以为高的柱体的体积：；。例1求图中圆锥的体积。解：积分变量， 例2求图中立体的体积。解：积分变量为，；垂直于轴的平行截面为直角三角形，其面积为： 积分变量为，；垂直于轴的平行截面为矩形，其面积为：。4）计算平面曲线的弧长设曲线方程为：，函数在上连续。积分变量，；，相应的弧长的微元为：即，恰好是弧长的微分。；注：若曲线方程为：，、连续且不同时为零，则弧长计算公式为：；曲线方程为：，连续，则弧长计算公式为：例1求心脏线的全长（）。解： ，由公式 例2证明正弦曲线在一个周期内的长度等于椭圆的周长。证： 椭圆的参数方程为：，则 证得：。2.2微元法在物理学中的应用2.2.1概述微元法在物理中的应用微元法的应用是微积分思想在解决物理问题的应用和体现,在力学、热学和电磁学中的应用尤多.微元法的思想是: 对于复杂的物理对象,要化整体到局部, 将不能解决的问题转化为可解决问题的集合. 在一定的条件下可以把变化的、运动的、物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程, 即变为理想的对象或过程。即将事件过程经历的空间或时间分割为无限小的空间或时间的集合,这个分割的过程即是微分的应用。在每个无限小范围内,是可以将非线性视为线性,将非理想视为理想的,从而可以顺利的在小范围内解决问题.将所有的小范围内的问题都解决掉后，再把全部结果累积叠加, 就得到了问题结论,这个积累的过程就是积分。可见, 微元法中, 微元的选取可能不是唯一的, 但其选取不同, 对求解过程的物理模型对数学运算的繁简程度都影响很大, 积分微元选取不当,会增加求解问题的难度. 从大学物理的角度看, 基本上很少处理多重积分, 而是从点而线、从线而面、从面而体的去处理不同过程中的一重积分, 这种思路遵循了从简单到复杂、从特例到一般、从部分到整体的模式, 和微元法从已知到未知、从容易到困难、从常量到变量、从均匀到非均匀的思想一脉相承。微元法解题的一般思路如下.( 1) 将所研究的对象或者过程无限分割, 或假设研究对象发生了微小的变化, 如伸长了一小长度、质量减少了、发生了一小段位移、经历了一小段时间等等; 被选的微元应具有整体研究对象的基本特征。( 2) 从微元入手, 以某个微元为研究对象或以某个微小变化为研究过程, 找出所选微元或微小变化所遵循的物理规律, 列出对应的物理方程。( 3) 找出微元对象与整个物理对象或微元过程与整个物理过程之间的隐含关系, 列出对应的数学关系式, 求解整体物理量。微元的选取应遵循的原则:( 1) 所选取的微元必须具有代表性，即微元应具有物体的某些物理特征，如代表物体的受力特征、运动特征、状态变化特征等。( 2) 所选取的微元必须与所求物理量相关联，这样才能通过研究微元得到问题的解。( 3) 所选取的微元要尽量简单，这样有助于建立简单的物理模型，易于研究分析。2.2.2微元法在大学物理中的应用1）液体的测压力问题 设液体的密度为，在液体中深处压强为：。将一面积为的薄板平行于液面置于液体中深处，则板的一侧所受到的压力为：；如果将此薄板垂直于液面插入液体中，考虑此时板的一侧所受到的压力即为侧压力问题。将薄板（长度单位：米）垂直于液面插入液体中（如图），用微元法求出侧压力。积分变量；，细小条上所受侧压力微元为 （N）；例1一横卧的圆筒内装有半桶水，桶的底半径为米，求桶的一个底面受到的侧压力。解：首先建立坐标系如图所示，其中，由公式 （N）2）功的研究变力作功 设力与物体的运动方向平行，约定：以物体的运动方向为坐标轴的正向；与坐标轴方向一致时为正，相反时为负。如果是常力，则使得物体由点到点时，所作的功为：；一般如果是变力，设为，考虑物体在此力的作用下由点到点时所作的功。积分变量；，功的微元为。例1将一弹簧平放，一端固定。已知将弹簧拉长10厘米用力需要5牛顿。问若将弹簧拉长15厘米，克服弹性力所作的功是多少？解：首先建立坐标系如图。选取平衡位置为坐标原点。当弹簧被拉长为米时，弹性力为，从而所使用的外力为；由于米时，（N），故，即，所作功为： （）例23一个高为5米，底半径为3米的圆柱形水池，盛满水。欲将池中的水全部吸出，需作多少功？解：建立坐标系（如图），积分变量为，水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化则功的微元为： （J）例3半径为米的球浸没在水中。球的顶部与水面相切。求将此球提出水面所作的功（球的密度与水的密度相同）。解：建立坐标系如图。因为球的比重与水的比重相同，球在水中移动时，不作功。考虑移动相应于小片的功的微元。由图可知，该小片在水中移动的距离为，在水面上移动的距离为，故 （）例1 质 把一个带电量的点电荷放在轴上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 （是常数），当这个单位正电荷在电场中从 处沿 轴移动到处时，计算电场力 对它所作的功。解 取为积分变量， 取任一小区间，功元素，所求功为如果要考虑将单位电荷一道无穷远处3）转动惯量对于质点在转动过程中的惯性的度量即为质点的转动惯量。其计算公式为，其中是质点的质量，是质点到转动轴的距离。例5求一长为，质量为的均匀细棒，绕过其中心且与棒垂直的轴的转动惯量。解：建立坐标系如图，旋转轴为轴，积分变量为。，相应的转动惯量微元为：，故 如果将旋转轴换为过棒的一个端点且与棒垂直的轴，则，转动惯量微元：，且。4）引力问题例6设有一均匀细棒，长为，质量为；另外有一个质量为的质点，与棒位于同一条直线上，且与棒的最近距离为，求棒对质点的引力。解：质量分别为，相距的两个质点之间的引力的计算公式为：如图，引力为的函数，；则，相应小段的质量为：；引力微元： 5）质量对于密度均匀的物体的质量或、，这时密度是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法例1.一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点直径的距离正比，求金属丝的质量。解 建立坐标系如图则 质量微元 所以 例2. 设一立体为曲线关于轴的旋转体，其上任一点的体密度等于其横坐标的绝对值即，试求该立体的质量解 建立坐标系如图体积微元（图中小圆柱体体积）质量微元6）重心计算由连续曲线， ，围成平面图形的重心。关解设重心坐标为 如图关于轴的力矩：力矩微元为 所以,因此， 关于轴的力矩：力矩微元为所以 而因此，7）用微元法解决摆线问题 把摆线如图放在坐标系中,这时其参数方程为设质量为的小球在、两点间沿旋轮线做无摩擦摆动,我们计算小球的摆动周期。则旋轮线的弧微元为 设小球的初始位置点对应参数 ,则点对应参数。 再设小球时刻位于点,其线速度为，,由能量守恒定律有 于是 由此,摆旋轮线弧微元就是小球在时间内的路程可求的则积分上式即得摆动周期 20