奥数页码问题数论问题.doc

奥数：页码问题（数论问题）
页码问题与图书的页码有密切联系．事实上，页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题．编一本书的页码，一共需要多少个数码呢？反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数．这是页码问题中的两个基本内容。
页码问题是现在的奥数竞赛以及公务员考试中常见的、经常考试的知识点。页码问题实际上是数论的问题。
为了顺利地解答页码问题，我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系．一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个，组成所有的两位数需要2×90＝180(个)数码；三位数共有900个，组成所有的三位数需要3×900＝2700(个)数码。

现在我们来看几道例题．

例1 一本书共204页，需多少个数码编页码？
分析与解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码
1×9＝9(个)；
10～99页每页上的页码是两位数，共需数码
2×90＝180(个)；
100～204页每页上的页码是三位数，共需数码
(204－100＋1)×3＝105×3＝315(个)．

综上所述，这本书共需数码
9＋180＋315＝504(个)．

例2 一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码．问：这本书共有多少页？
分析：因为189＜2211＜2889，所以这本书有几百页．由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码(2211－189)个，所以三位数的页数有 (2211－189)÷3＝674(页)．
因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有：99＋674＝773(页)．
解：99＋(2211－189)÷3＝773(页)．
答：这本书共有773页．

例3 一本书的页码从1至62，即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几？
分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为
1＋2＋…＋61＋62
＝62×(62＋1)÷2
＝31×63
＝1953．
由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是
2000－1953＝47．

例4 有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131．老师说小明计算错了，你知道为什么吗？
分析与解：48页书的所有页码数之和为
1＋2＋…＋48
＝48×(48＋1)÷2
＝1176．

按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176－1131＝45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大．小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的．

例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少？
分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000－189)÷3＝603……2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0．

例6 排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？
分析与解：将1～400分为四组：
1～100，101～200，201～300，301～400．
在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0．所以共需要数码“0”

典型例题：
例1、13/1995 化成小数后是一个无限小数，问在这个无限小数的小数点后面，从第一位到1995位，在这1995个数中，数字6共出现了多少次？
解答：这是一个关于循环小数的周期问题。基本解答方法是先算出循环节，然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数。
13/1995＝0.0065162907268170426……，循环节是065162907268170426共18位，
每个循环节数字6出现4次，（1995－1）÷18＝110……14，前14位6出现3次，
所以一共有110×4＋3＝443个。

例2、有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗?
解：假设可能得到偶数，那么计算如下：
如果这本书不缺页，则总96页的所有页码之和是：1+...+96=4656。
由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数，所以每一页上的页码之和必定是奇数。那么：
残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数
综上所述：不可能得到偶数。

例3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第1000位上的数字是多少？
解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9（个）；
　　10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180（个）；
因为(1000－189)÷3＝270……1，所以1000个数码排到第：
99＋270＋1＝370(个)数的第1个数码“3”．
所以本题的第1000位数是3。

例4、有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画。如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推。如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推。试问：
　　（1）假如这本书有96页，且第一页是图画，那么这本书多少页有图画？
　　（2）假如这本书有99页，那么多少页有图画？
解：（1）将每4页看作是一组，每一组中有3页是图画：96÷4=24
24×3=72(页)
这本书有72页是图画。
（2）99÷4=24…3
24×3+3=75(页)
这本书有75页是图画。