试题.习题—--多元函数微分法及其应用习题及参考答案.doc

第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1．填空题
(1)若在区域上的两个混合偏导数， ，则在上， 。
(2)函数在点处可微的 条件是在点处的偏导数存在。
(3)函数在点可微是在点处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域
(1)；(2)
3．求下列各极限
(1)； (2)； (3)
4．设，求及。
5．求下列函数的偏导数
(1)；(2)；(3)。
6．设，，，求全导数。
7．设，，，，求。
8．曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？
9．求方程所确定的函数的偏导数。
10．设，求所有二阶偏导数。
11．设是由方程确定的隐函数，求，。
12．设，求。
13．设是由方程确定的隐函数，求，，。
14．设，求全微分。
15．求函数在点的全微分。
16．利用全微分求的近似值。
17．求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平面方程。
18．求曲面上点处的切平面方程和法线方程。
19．求曲线，，上点，使在该点处曲线的切线平行于平面。
20．求函数的极值。
21．求函数的极值。
22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？
(B)
1．求下列函数的定义域
(1)；(2)
2．(1)设，求，。
(2)设，求
3．求下列函数的极限
(1)；(2)
4．设，问是否存在？
5．讨论函数的连续性，其中。
6．二元函数在点处：①连续，偏导数存在；②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。
7．设，求，。
8．设，求，。
9．设，求，。
10．设，可微，求。
11．设，求，。
12．设，求。
13．设可微，求全微分。
14．设是由方程所确定的隐函数，其中具有连续的偏导数，求，并由此求和。
15．求的偏导数。
16．设，求，。
17．设，求。
18．求函数在点处沿从点到点方向的方向导数。
19．求函数在点沿，，在此 点的切线方向上的方向导数。
20．求函数在点处沿方向的方向导数。
21．判断题：(简单说明理由)
(1)就是在处沿轴的方向导数。
(2)若在处的偏导数，存在，则沿任一方向的方向导数均存在。
22．证明曲面上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。
23．证明：球面∑：上任意一点处的法线都经过球心。
24．求椭球面上的一点处的切平面与平面的交角。
25．设，都是，，的函数，，的各偏导数都存在且连续，证明：
26．问函数在处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。
27．求内接于椭球面的最大长方体的体积。
28．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入与报纸广告费及电视广告费(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。
29．求函数的阶麦克劳林公式，并写出余项。
30．利用函数的2阶泰勒公式，计算的近似值。
(C)
1．证明。
2．设，其中在点，邻域内连续，问(1)在什么条件下，偏导数，存在；(2)在什么条件下，在处可微。
3．设而为由方程所决定的函数，且是可微的，试求。
4．设由确定，求。
5．从方程组中求出，，，。
6．设，且，试确定常数，，使函数能满足方程：。
7．证明：旋转曲面上任一点处的法线与旋转轴相交。
8．试证曲面()上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。
9．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
10．设轴正向到方向的转角为，求函数在点沿方向的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。

第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1．填空题
(1)若在区域上的两个混合偏导数， 连续 ，则在上， 。
(2)函数在点处可微的 必要 条件是在点处的偏导数存在。
y

O (0,1) x

图1
(3)函数在点可微是在点处连续的 充分 条件。
2．求下列函数的定义域
(1)
解：设定义域为，由
和，即，
得，如图1所示
(2)
解：设定义域为，由
，即，不同时为零，且，
即 ，得
。
3．求下列各极限
(1) (2)
解：原式 解：原式

(3)
解：原式

4．设，求及
解：
，，
，
5．求下列函数的偏导数
(1)
解：
类似地
(2)
解：
同理可证得：
(3)
解：

6．设，，，求全导数。
解：，
，
依复合函数求导法则，全导数为

7．设，，，，求。
解：

8．曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？
解：，，故。
9．求方程所确定的函数的偏导数。
解：关于求导，得到
，即
关于求导，有
，即。
10．设，求所有二阶偏导数。
解：先求一阶偏导数，得
，
再求二阶偏导数，得
，
，
，

11．设是由方程确定的隐函数，求，。
解一：记，则
，，
当时，便得，
。
解二：（提示）直接对方程两边求偏导数，并明确是、的函数，即可得，。
12．设，求。
解：令，则，，则
。
13．设是由方程确定的隐函数，求，，。
解：方程两边对求偏导数，有
，即
解得
类似地，方程两边对求偏导数，解得

再求二阶混合偏导数，得

把上述的结果代入，便得：
。
14．设，求全微分。
解：由于，，所以全微分为
。
15．求函数在点的全微分。
解：，
所以。
16．利用全微分求的近似值。
解：设，则全微分
由近似关系，得

上式中取，，，，得

因此，所求近似值。
17．求抛物面与抛物柱面的交线上的点处的切线方程和平面方程。
解：交线方程，只要取作参数，得参数方程：

则有，，，于是交线在点处的切线向量为。
切线向量为
法平面方程为，即。
18．求曲面上点处的切平面方程和法线方程。
解：记，则
，，
于是曲面在点处的法线向量为

从而，切平面方程为，即，法线方程为。
19．求曲线，，上点，使在该点处曲线的切线平行于平面。
解：曲线在点处的切线方程为

又切线与平面平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有，即，得
所以点的坐标为。
20．求函数的极值。
解：解方程组，求得驻点，由于，，，，所以在点处，函数取得极大值，极大值为。
21．求函数的极值。
解：解方程组，得驻点。由于，，在点处，，，，，所以函数在点处取得极小值，极小值为。
22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？
解：设水池的长为米，宽为米，高为米，则材料造价为
，(，，)，<*1>
且，，必须满足
， <*2>
从<*2>解出代入<*1>，得，(，)，于是问题就成为求当，时的最小值，由极值的必要条件，有

解此方程组得。
据题意存在最小造价，而，是唯一驻点，所以当，，时，水池的材料造最小。
(B)
1．求下列函数的定义域
(1)
解：设定义域。使有意义的区域为：，即，，使有意义的区域为：，即。
故定义域。如图2
(2)
解：设定义域为。由根式性质可知，必须，且，即或解得：
0

0 1
y y
1.5

x x
3 0
图2
。如图3
2．(1)设，求，。
解：设，则得
由此
从而

(2)设，求
解：.
3．求下列函数的极限
(1)
解：原式
(2)
解：原式
4．设，问是否存在？
解：①取沿直线的途径，当时，有
，
②沿抛物线的途径，当时，有

可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限不存在。
5．讨论函数的连续性，其中。
解：在处，
所以在处连续
若，则取路径，则

因此，间断点为直线，除以外的其他点。
6．二元函数在点处：①连续，偏导数存在；②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。
解：应选③
事实上，由于，随的值不同而改变，所以极限不存在，因而在点处不连续，又，类似地，所以在处的偏导数存在。
7．设，求，。
解：令，，于是，得

，

。
8．设，求，。
解：，。
9．设，求，。
解：，。
10．设，可微，求。
解：，先求，
，
，
所以。
11．设，求，。
解：关于求导，而，得

即 (*)
得：
相仿地，可得。
12．设，求。
解：令，，

，于是在处。
13．设可微，求全微分。
解：

。
14．设是由方程所确定的隐函数，其中具有连续的偏导数，求，并由此求和。
解：方程两边求全微分，得
，即，
即 ，当时，解出

由此得到，。
15．求的偏导数。
解：令，，则，是，的复合函数。
，，
，，，
于是，，

16．设，求，。
解：所给方程组确定两个一元隐函数：和，将所给方程的两边对求导，得

在的条件下
，。
17．设，求。
解：，

.
18．求函数在点处沿从点到点方向的方向导数。
解：
，,，。
因为

所以。
19．求函数在点沿，，在此 点的切线方向上的方向导数。
解：因曲线过点，所以，，，，切线的方向余弦为，又，类似地，，，故。
20．求函数在点处沿方向的方向导数。
解：，，
，
由，曲面的外侧法线向量为
则 。
21．判断题：(简单说明理由)
(1)就是在处沿轴的方向导数。
解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。
(2)若在处的偏导数，存在，则沿任一方向的方向导数均存在。
解：错。由于偏导数仅刻画了在处沿轴或轴的变化率，要确定函数处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在处可微。
22．证明曲面上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。
证：令。由于曲面的法向量是，故曲面上任一点处法线方向向量为，设为点处切平面上任一点，则切平面方程为，即，其截距式为，由此得截距的平方和为：
。
23．证明：球面∑：上任意一点处的法线都经过球心。
证：令，则∑，，，，法线方程为：
，于是任一法线都过原点。
24．求椭球面上的一点处的切平面与平面的交角。
解：设，则法向量为，，，在处的法向量。又平面的法向量，由平面夹公式：
，即。
25．设，都是，，的函数，，的各偏导数都存在且连续，证明：。
证：

26．问函数在处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。
解：
是方向导数最大值的方向。
是此方向导数的最大值。
27．求内接于椭球面的最大长方体的体积。
解：设是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为：
(，，) (*1)
由于在椭球面上，故，，应满足条件：，于是问题即求函数(*1)在约束条件（*2）下的条件极限问题。引入——函数

令
得：，得唯一解：，，
由题意，所求的最大体积存在故以点(,,)为一个顶点所作的对称于坐标面的内接于椭球面的长方体的体积最大。
最大体积为。
28．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入与报纸广告费及电视广告费(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。
解；作——函数：
令
得，得唯一解：，。
又由题意，存在最优策略，所以将1.5万全部投到电视广告的方案最好。
29．求函数的阶麦克劳林公式，并写出余项。
解：，，，同理，所以其中（）。
30．利用函数的2阶泰勒公式，计算的近似值。
解：在点处将展开成三阶泰勒公式：
，，，
，，

所以

故。
(C)
1．证明。
证明：因为，即
所以
，取
当时，就有

所以。
2．设，其中在点，邻域内连续，问(1)在什么条件下，偏导数，存在；(2)在什么条件下，在处可微。
分析：从定义出发，进行推演
解：(1)

若，则偏导数，存在，且。
(2)

，
故若，当时，有

所以当时，在处可微，且。
3．设而为由方程所决定的函数，且是可微的，试求。
分析：可依隐函数求导法则求出。
解；由，得
(1)
由，得
(2)
将(2)代入(1)，得

。
4．设由确定，求。
解：对两边关于求导，得
，
解得： (1)
原式两边对求导，得

解得 (2)
(1)式两边对求导得

以(2)式代入即得：
5．从方程组中求出，，，。
解：将，看作，，的函数，将方程组对求偏导，得
(*)
解得，
再将方程组(*)对求偏导数，得

解得：

6．设，且，试确定常数，，使函数能满足方程：。
解：，
，

，
代入方程得

故必须，。
7．证明：旋转曲面上任一点处的法线与旋转轴相交。
证明：因为，
所以，在处法线方程为：

当时，
即法线与旋转轴的交点为。
8．试证曲面()上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。
证明：设，则，在曲面上任取一点，则在点处的切平面方程为
，
即，化为截距式，得
。
所以截距之和为
。
9．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上点的坐标为，则原点到椭圆上这一点的距离平方为，其中同时满足和，令，由
的前两个方程知。
将代入和得
和，再由解得，，由题意这种距离的最大值最小值一定存在，所以必在这两点处取得，因为

所以为最长距离；为最短距离。
10．设轴正向到方向的转角为，求函数在点沿方向的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。
解：

故所求的方向导数为
，令，得驻点，
因为，所以为极大值点。
因为，所以为极小值点。
比较在、、、的值1，，，1。
知：当时，有最大值，当时，有最小值。
令，设或
故当或时，。
注：若只需求方向导的最大值及其转角，则可用梯度来求，取得最大值的方向为在点处的方向，由，得，的最大值。

29