南华大学高数练习册曲线积分与曲面积分习题答案1.doc
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1、南华大学高数练习册第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题:(1) 对弧长的曲线积分的计算公式中要求 (C) . (A) (B) (C) (2) 设光滑曲线的弧长为,则 (B) .(A) ( B) (C) 2.计算下列对弧长的曲线积分:(1),其中为I) 以为顶点的三角形的边界;II)上半圆周;解:I)II)(2),其中为上点与点之间的一段弧;解:*(3) ,其中为螺旋线;解:*(4) ,其中为;解:L的极坐标方程为,则。第二节 对坐标的曲线积分1填空题 (1) 对坐标的曲线积分的计算公式=中,下限对应于的 始 点,上限对应于的 终 点;(2) 第二类曲线积分化为第一类
2、曲线积分是 ,其中为有向光滑曲线在点处的 切向量 的方向角.2选择题:(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 (B) (A)无关, (B)有关;(2) 若,在有向光滑曲线上连续,则 (A) (A) ,(B).3计算下列对坐标的曲线积分:(1),其中为从点经上半圆周到点的一段弧;解:L的方程为,则(2) ,其中为上从点到点的一段弧;解:。(3) ,其中为与所围成区域的整个边界(按逆时针方向绕行);解:, , 则*(4),其中为从点到点,沿着I)直线段; II)有向折线,这里的、依次为点、;解:I)的参数方程为,则原式=II)OA: , ; AB: ,; BC: .原式=第五节 对坐标的曲面积分1.
3、 选择题(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向 (B) (A)无关 (B)有关(2) 已知存在,则+ (A) (A) (B)2. 计算下列对坐标的曲面积分:(1) ,其中为曲面在第一卦限部分的上侧.解:由知,在xoy面的投影区域为:,(2),其中为在第一卦限的部分且取法线的方向与z轴的夹角为锐角.解:由已知得,平面与x,y轴的夹角也为锐角,在三坐标面上的投影为等腰直角三角形,故原式=。*3把化为对面积的曲面积分,其中为平面第一卦限部分的上侧.解:因取上侧,故法向量与z轴正向夹角为锐角,方向余弦为 从而第六节 Gauss公式 *通量与散度1. 利用高斯公式计算下列曲面积分:(1) ,其中为平面围成的立方体的表面外侧;解:由Gauss公式,得原式=。(2) ,其中由所围空间闭区域的整个边界曲面的外侧;解:由Gauss公式,得*(3) ,其中为上半球面的上侧;解:设为的下侧,与围成的闭区域为,由Gauss公式,得,而,故原式=
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