辽宁省辽阳县集美学校2023届高一上数学期末质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．sin210°·cos120°的值为（ ）
A. B.
C. D.
2．若函数且在上既是奇函数又是增函数，则的图象是
A. B.
C. D.
3．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　
A. B.
C. D.
4． (　　)
A.0 B.1
C.6 D.
5．若偶函数在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6．下列说法正确的是（ ）
A.向量与共线，与共线，则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
7．设集合，则（）
A. B.
C.{2} D.{-2，2}
8．化简的结果是（）
A. B.1
C. D.2
9．函数的最大值是（）
A. B.1
C. D.2
10．设，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则a的取值范围是___________
12．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时的图象如下所示，那么的值域是_______

14．下列命题中正确的是________
（1）是的必要不充分条件
（2）若函数的最小正周期为
（3）函数的最小值为
（4）已知函数，在上单调递增，则
15．某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生750人，高二年级有学生650人.为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为___________.
16．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知A，B，C是三角形三内角，向量，，且
（1）求角A；
（2）若，求
18．已知平面向量，，，且，.
（1）求和：
（2）若，，求向量与向量夹角的大小.
19．如图所示，已知平面平面，平面平面，，求证:平面.

20．已知是定义在上的奇函数，当时，
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
21．求值：
（1）；
（2）

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】直接诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.
【详解】,
故选：A.
2、D
【解析】根据题意先得到，，判断其单调性，进而可求出结果.
【详解】因为函数且在上是奇函数，所以
所以，，
又因为函数在上是增函数，所以，
所以，它的图象可以看作是由函数向左平移一个单位得到，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数图象变换，熟记函数性质即可，属于常考题型.
3、A
【解析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积
【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为
故选A
【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题
4、B
【解析】首先根据对数的运算法则，对式子进行相应的变形、整理，求得结果即可.
【详解】，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关对数的运算求值问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键.
5、D
【解析】
由偶函数定义可确定函数在上的单调性，由单调性可解不等式．
【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且，
所以，且函数在上单调递减.
由此画出函数图象，如图所示，

由图可知，的解集是.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
6、C
【解析】根据共线向量（即平行向量）定义即可求解.
【详解】解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；
对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；
对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；
对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误
故选：C.
7、C
【解析】解一元二次不等式,求出集合B，解得集合A,根据集合的交集运算求得答案.
【详解】由题意解得：，
故，或，
所以，
故选：C
8、B
【解析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可.
【详解】原式

.
故选：B
9、C
【解析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.
【详解】
，
∵，∴函数的最大值是.
故选：C.
10、C
【解析】比较a、b、c与0和1的大小即可判断它们之间的大小.
【详解】，
，
，
故
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先通过的大小确定的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】解：且，
，得，又
在定义域上单调递减，
，
，解得
故答案为：
【点睛】方法点睛：在解决与对数函数相关的解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件
12、 [-，-）∪（，]
【解析】利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围
【详解】∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f（x）的函数图象如下：

∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，∴y=f（x）与y=kx有三个交点，若k＞0，则若k＜0，由对称性可知.
故答案为[-，-）∪（，].
【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，方程根的问题常转化为函数图象的交点问题，属于中档题
13、
【解析】分析：通过图象可得时，函数的值域为，根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可.
详解：∵当时，函数单调递增，由图象知，
当时，在，即此时函数也单调递增，且，
∵函数是奇函数，∴，∴，即，
∴的值域是，故答案为
点睛：本题主要考查函数值域的求法，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键.
14、（3）（4）
【解析】对于（1）对角取特殊值即可验证；对于（2）采用数形结合即可得到答案；对于（3）把函数进行化简为关于的函数，再利用基本不等式即可得到答案；对于（4）用整体的思想，求出单调增区间为，再让即可得到答案.
【详解】对于（1），当，当，不满足是的必要条件，故（1）错误；
对于（2），函数的最小正周期为，故（2）错误；
对于（3），，
当且仅当等号成立， 故（3）正确；
对于（4）函数的单调增区间为，
若在上单调递增，则，又，
故（4）正确.
故答案为：（3）（4）.
15、
【解析】求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样的方法计算即可.
【详解】高三年级有学生人，
用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本，
应抽取高三年级学生的人数为.
故答案为：
16、
【解析】根据幂函数所过的点求出解析式，利用奇偶性和单调性去掉转化为关于的不等式即可求解.
【详解】设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，
所以的范围为，
故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）用数量积的坐标运算表示出，有，再由两角差的正弦公式化为一个三角函数式，最终求得；（2）化简，可直接去分母，注意求得结果后检验分母是否为0（本题解法），也可先化简已知式为
，再变形得，由可得结论
试题解析：（1）∵，∴，即，
，，
∵，，∴，∴
（2）由题知：，整理得，
∴，∴，∴或，
而使，舍去，∴，
∴
考点：数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式
18、（1），；（2）.
【解析】（1）本题首先可根据、得出，然后通过计算即可得出结果；
（2）本题首先可根据题意得出以及，然后求出、以及的值，最后根据向量的数量积公式即可得出结果.
【详解】（1）因为，，，且，，
所以，解得，
故，.
（2）因为，，所以，
因为，，所以，
，，，
设与的夹角为，
则，
因为，所以，向量与向量的夹角为.
【点睛】本题考查向量平行、向量垂直以及向量的数量积的相关性质，若、且，则，考查通过向量的数量积公式求向量的夹角，考查计算能力，是中档题.
19、见解析
【解析】平面内取一点，作于点，于点，可证出平面，从而，同理可证，故平面.
【详解】证明：如图所示，

在平面内取一点，作于点，于点．因为平面平面，且交线为，所以平面．因为平面，所以
同理可证．又，都在平面内，且，所以平面
【点睛】本题主要考查了两个平面垂直的性质，线面垂直的性质，判定，属于中档题.
20、（1）（2）.
【解析】（1）当时，，利用，结合条件及可得解；
（2）分析可得在上递增，进而得，从而得解.
【详解】（1）当时，，则，
为上的奇函数，且，
；
（2）因为当时，，所以在上递增，
当时，，所以在上递增，
所以在上递增，
因为，所以由可得，
所以不等式的解集为
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用指数幂计算公式化简求值；
（2）利用对数计算公式换件求值.
【小问1详解】

【小问2详解】

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