四川省内江市高三数学第一次模拟考试试题理.doc

四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题
数 学（理工类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，，若是纯虚数，则
A.2 B. C. 1 D.
3.下列各组向量中，可以作为基底的是
A.， B.，
C.， D.，
4.下列说法中正确的是
A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法
B. 线性回归直线不一定过样本中心点
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D. 设随机变量服从正态分布，则
5.执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是
A. 2 B. 1 C. D.
6.若函数在上单调递减，则的值可能是
A. B. C. D.
7.已知是锐角，若，则
A. B. C． 　 D．
8.设是等比数列，则下列结论中正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9.函数的图象大致是

10.已知实数满足，则当时，的最大值是
A. 5 B. 2 C. D.
11.当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
12. 设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则
A. 是常数列 B. 不是单调数列
C. 是递增数列 D. 是递减数列
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.的展开式中，的系数是 .（用数字作答）
14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 .
15.设函数，则满足的的取值范围是 .
16.已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）设数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）的内角的对边分别为，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，点在边上，，求的长.
19.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值
[95,100)
[100,105)
[105,110)
[110,115)
[115,120)
[120,125]
频数
1
4
19
20
5
1
图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

甲套设备
乙套设备
合计
合格品

不合格品

合计

（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；
（Ⅲ）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.
附：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
.
20.（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为：.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，求函数在上的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设为整数，函数有两个零点，求的最小值.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线上一点的极坐标为，其中. 射线与曲线交于不同于极点的点，求的值.
23．（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设实数满足，证明：.
四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题
数学（理工类）参考答案及评分意见
一．选择题（每小题5分，共12题，共60分）
1.B 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. D 9. B 10. C 11.A 12. D
二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 14. 乙 15. 16.
三．解答题（共6小题，共70分）
17.解：（Ⅰ）∵数列满足
∴当时，..............................2分
∴当时，，即........................................4分
当时，满足上式
∴数列的通项公式..............................................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，...................................7分
∴

...............................9分
.........................................................12分
18.解：（Ⅰ）∵
∴由正弦定理知，...................................1分
∵
∴，于是，即..............................3分
∵
∴..................................................................5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，
∴....................................................................7分
∴.........................................9分
∵在中，
∴...........................................................11分
∴..............................................12分
19.解：（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表

甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
...........................................................................3分
将列联表中的数据代入公式计算得
...............5分
∵
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关................6分
（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备..................9分
（Ⅲ）由题知，................................................11分
∴......................................................12分
20. 解：（Ⅰ）由切线方程知，当时，
∴....................................................1分
∵....................................................2分
∴由切线方程知，.......................................3分
∴..........................................................4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.......................5分
∴，.........................................6分
当时，当时，，故单调递减
∴在上的最大值为.........................................7分

②当时
∵，
∴存在，使
当时，，故单调递减
当时，，故单调递增
∴在上的最大值为或....................................9分
又，
∴当时，在上的最大值为
当时，在上的最大值为......................10分
ƒ当时，当时，，故单调递增
∴在上的最大值为..................................11分
综上所述，当时，在上的最大值为
当时，在上的最大值为.........................12分
21. 解：（Ⅰ）证明：设，则
令，得
当时，，单调递减
当时，，单调递增
∴，当且仅当时取等号
∴ 对任意，..................................................2分
∴当时，
∴当时，
∴当时，..............................................4分
（Ⅱ）函数的定义域为
当时，由（Ⅰ）知，，故无零点.......6分
当时，，
∵，，且为上的增函数
∴有唯一的零点
当时，，单调递减
当时，，单调递增
∴的最小值为.......................................8分
由为的零点知，，于是
∴的最小值
由知，，即.................................10分
又，
∴在上有一个零点，在上有一个零点
∴有两个零点.........................................................11分
综上所述，的最小值为1..................................................12分
(另法：由的最小值（其中）得，整数大于等于1，再用零点存在定理说明当时有两零点.)
22.解：（Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为
曲线的普通方程为，极坐标方程为..............4分
（Ⅱ）∵点在直线上，且点的极坐标为
∴
∵ ∴
∴射线的极坐标方程为
联立，解得
∴.....................................................10分
23.解：（Ⅰ）∵
∴在上单调递增，在上单调递减
∴的最小值为.................................................5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∵
∴
∴.............................................................10分