广东省高考全真模拟考试文科数学试题五.doc

2013年广东省高考全真模拟试卷文科数学（五）

本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．
参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1． ，则集合=( )
A． B． C． D．
2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是( )
A . B．
C． D.
3．已知,则为( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关
4．已知向量，，若向量，则( )
A．2 B． C． 8 D．
5.设数列是等差数列,且,是数列的前项和，则 ( )
A. B. C. D.
6．已知直线、,平面，则下列命题中：
①．若，,则 ②．若，,则
第8题tu
③．若，,则 ④．若，, ,则. 其中，真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．已知离心率为的曲线，其右焦点
与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．给出计算 的值的一个
程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）．
A． B． C． D．
9．成等差数列是成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．规定记号“”表示一种运算，即，若，则=（ ）
A． B．1 C． 或1 D．2
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（1113题）
11．在约束条件下，函数=的最大值为 ．
12．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图
都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，
那么这个几何体的体积为 ．
13．一个容量为的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x，y∈N*)
分/组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
频 数
2
x
3
y
2
4
则样本在区间 [10，50 ) 上的频率为 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

A
B
D
C
O
M
N
14．（几何证明选讲选做题）四边形内接于⊙，是直径，
切⊙于，，则 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点为
圆心，为半径的圆的方程是
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文
字说明、证明过程和演算步骤．
16. （本小题满分12分）已知，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值．
17.（本小题满分12分）从某学校高三年级
名学生中随机抽取名测量身高，据
测量被抽取的学生的身高全部介于
和之间，将测量结果按如下方式分成
八组：第一组．第二组；…第八组，右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格：
组 别
1
2
3
4
5
6
7
8
样本数

(2)估计这所学校高三年级名学生中身高在以上（含）的人数；
(3)在样本中，若第二组有人为男生，其余为女生，第七组有人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？

18．（本小题满分14分）如图，在正方体
中，E、F分别是的中点.
（1）证明:；（2）证明:面；
（3）设

19．（本小题满分14分）
已知三次函数在和时取极值，且．（Ⅰ） 求函数的表达式；（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件。
20.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点满足在线段的中垂线上．(1)求椭圆的方程; (2)如果圆E：被椭圆所覆盖，求圆的半径r的最大值
21．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.
（Ⅲ）求证：.

2011年广东高考全真模拟试卷文科数学（六）答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
B
C
C
A
A
B

选择题参考答案:
1. ，则集合,化简,选D
2.A选项中二次函数增减区间均存在，B选项中该函数不是在整个定义域上单调递减，D选项中恒为单调递增函数，故选C
3.根据奇偶性的判定：显然，偶函数且与参数取值无关，故选B
4. ，，且向量，则 选A
5. ,故，则,
选B
6. ①②正确， ③④错误 故选C
7.由题意：，则离心率为，选C
8.根据框图，当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，故选A
9.因为 ，但是可能同时为负数，所以必要性不成立，选A
10.由 ，若，则，解得，但根据定义域舍去，选B

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11．
12.
13.
14．
15．

填空题参考答案：
11.根据线性规划知识作出平面区域，代入点计算可得
12.圆锥体积为
13.频率为
14.连接，根据弦切角定理
故所求角度为
15.略
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、（本小题满分12分）已知，（Ⅰ）求的值；
解：（Ⅰ）由, ，----------3分
．-----------------------6分

（Ⅱ）求的值．
解： 原式＝

----------9分

．-----------------------12分

17. （本小题满分12分）
从某学校高三年级名学生中随机抽取
名测量身高，据测量被抽取的学生的身高
全部介于和之间，将测量结果
按如下方式分成八组：第一组．第二
组；…第八组，右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格：
解：(1)由条形图得第七组频率为.
∴第七组的人数为3人. --------1分
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
样本中人数
2
4
10
10
15
4
3

2
---------4分

(2)估计这所学校高三年级名学生中身高在以上（含）的人数；
解：由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在180cm以上(含180cm)的人数800×0.18=144(人). ---------8分

(3)在样本中，若第二组有人为男生，其余为女生，第七组有人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？
解： 第二组四人记为、、、，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：

a
b
c
d
1
1a
1b
1c
1d
2
2a
2b
2c
2d
3
3a
3b
3c
3d
所以基本事件有12个,恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a共7个,因此实验小组中，恰为一男一女的概率是. ---------12分

18、（本小题满分14分）
如图，在正方体
中，E、F分别是的中点.
（1）证明:；（
证明: ∵是正方体 ∴
　　　　又
∴　　………………4分

（2）求证:面；
证明：由（1）知
∴
∴面 ……………9分

（3）设
解：连结
　　　　　　　∵体积　　　……………10分
　　　　　　 又 FG⊥面 ，三棱锥F-的高FG=
　　　　　　∴面积□ 　……………12分
∴……………14分19. （本小题满分14分）
已知三次函数在和时取极值，且．（Ⅰ） 求函数的表达式；
解：（Ⅰ），
由题意得：是的两个根，
解得，．
再由可得． -----------------2分
∴． ------------------4分

（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；
解：，
当时，；当时，；------------------5分
当时，；当时，；------------------6分
当时，．∴函数在区间上是增函数； ------------------7分
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是，极小值是． ------------------9分
（Ⅲ）若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件。
解：函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到，
所以，函数在区间上的值域为
（）． -------------10分
而，∴，
即．
则函数在区间上的值域为．------------------12分
令得或．
由的单调性知，，即．
综上所述，、应满足的条件是：，且------------------14分

20. （本小题满分14分）
已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点满足在线段的中垂线上．(1)求椭圆的方程;
解（1）：椭圆的离心率，得：
，……1分
其中,椭圆的左、右焦点分别为,
又点在线段的中垂线上,
,,……3分
解得,
椭圆的方程为． ……6分

(2)如果圆E：被椭圆所覆盖，求圆的半径r的最大值
解：设P是椭圆上任意一点,
则,,
, …………8分
() . …12分
当时,
,半径r的最大值为.…14分

21. （本小题满分14分）
设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
解：(Ⅰ)由题意可得：
①
时, ② ……………… 1分
①─②得， …………………… 3分
是首项为，公比为的等比数列， ……………… 4分

（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.
（Ⅱ）解法一: ……………… 5分
若为等差数列，
则成等差数列, ……… 6分

得 ……………… 8分
又时，，显然成等差数列，
故存在实数，使得数列成等差数列.…… 9分
解法二: ………… 5分
… ………… 7分
欲使成等差数列,
只须即便可.…8分
故存在实数，使得数列成等差数列.……… 9分

（Ⅲ）求证：.
解：
=
……… 10分
…… 11分

………… 12分
又函数在上为增函数，
， ………… 13分
，． ……… 14分