江苏省高考数学模拟试卷八.doc

江苏省2017届高考数学模拟试卷（八）　
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）
1．已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=　　．
2．命题“∃x＞0，x2+x﹣2＞0”的否定是　　．
3．函数f（x）=cos（3x+φ）（0≤φ≤π）是奇函数，则φ的值为　　．
4．已知向量=（2，x），=（1，3），与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为　　．
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，sinA=，则=
　　．
6．已知函数f（x）=2sin（ϖx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则|f（）|=　　．
7．若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x﹣y的最大值是　　．
8．已知等差数列{an}共有20项，所有奇数项和为132，所有偶数项和为112，则等差数列的公差d=　　．
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D的体积为　　cm3．

10．已知曲线f（x）=xsinx+1在点（，+1）处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，则实数a=　　．
11．设数列1，1+2，1+2+22，…1+2+22+2n﹣1，…的前n项和为Sn，则S10=　　．
12．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，则a﹣b的值为　　．
13．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为　　．

14．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是　　．

二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15．（14分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
（1）若•=﹣1，求sin（α+）的值；
（2）O为坐标原点，若|﹣|=，且α∈（0，π），求与的夹角．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．

17．（14分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．
18．（16分）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．
（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？
（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．

19．（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．
20．（16分）{an}前n项和为Sn，2Sn=an+1﹣+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列
（1）求a1的值；
（2）求{an}通项公式；
（3）证明++…+＜．
江苏省2017届高考数学模拟试卷（八）
参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）
1．（2012•江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=　{1，2，4，6}　．
【考点】并集及其运算．
【专题】集合．
【分析】由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可
【解答】解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，
∴A∪B={1，2，4，6}
故答案为{1，2，4，6}
【点评】本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义

2．（2016秋•盐城校级月考）命题“∃x＞0，x2+x﹣2＞0”的否定是　∀x＞0，x2+x﹣2≤0　．
【考点】命题的否定．
【专题】计算题；转化思想；简易逻辑．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x＞0，x2+x﹣2＞0”的否定是：∀x＞0，x2+x﹣2≤0．
故答案为：∀x＞0，x2+x﹣2≤0．
【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．

3．（2016秋•盐城校级月考）函数f（x）=cos（3x+φ）（0≤φ≤π）是奇函数，则φ的值为　　．
【考点】余弦函数的奇偶性．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的图像与性质．
【分析】利用函数是奇函数，推出方程求解即可．
【解答】解：函数f（x）=cos（3x+φ）（0≤φ≤π）是奇函数，
可得φ=kπ+，k∈Z．
k=0满足题意．
所以φ的值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的奇偶性的应用，考查计算能力．

4．（2016秋•盐城校级月考）已知向量=（2，x），=（1，3），与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为　（﹣，6）∪（6，+∞）　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的物理背景与概念．
【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用．
【分析】由题意可得数量积大于0，且x×1﹣2×3≠0，解不等式求得x 的取值范围．
【解答】解：由题意可得=2+3x＞0，且x×1﹣2×3≠0，∴x＞﹣，且 x≠6，
故实数x的取值范围为 （﹣，6）∪（6，+∞），
故答案为：（﹣，6）∪（6，+∞）．
【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．

5．（2016秋•盐城校级月考）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，sinA=，则=
　3　．
【考点】正弦定理．
【专题】方程思想；转化思想；解三角形．
【分析】利用正弦定理、比例的性质即可得出．
【解答】解：∵a=1，sinA=，∴=3．
则==3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了正弦定理、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．（2016秋•盐城校级月考）已知函数f（x）=2sin（ϖx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则|f（）|=　2　．
【考点】正弦函数的对称性．
【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）等于函数的最值，从而得出结论．
【解答】解：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故|f（）|=2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

7．（2010•南京二模）若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x﹣y的最大值是　1　．
【考点】简单线性规划．
【专题】常规题型．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
设z=x﹣y，
将最大值转化为y轴上的截距的最小值，
当直线zz=x﹣y经过区域内的点A（1，0）时，z最大，
最大值为：1
故答案为：1．

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．

8．（2016秋•盐城校级月考）已知等差数列{an}共有20项，所有奇数项和为132，所有偶数项和为112，则等差数列的公差d=　﹣2　．
【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】直接由公式结合已知得答案．
【解答】解：由S奇=132，S偶=112，得：
，解得d=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．

9．（2012秋•苏州期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D的体积为　3　cm3．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题．
【分析】连接AC交BD于O，根据此长方体的结构特征，得出AO为A到面B1D1D的垂线段．△B1D1D为直角三角形，面积易求．所以利用体积公式计算即可．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形．
连接AC交BD于O，
则AC⊥BD，又D1D⊥BD，
所以AC⊥面B1D1D，
AO为A到面B1D1D的垂线段，
且AO=．
又S△B1D1D=
所以所求的体积V=cm3．
故答案为：3
【点评】本题考查锥体体积计算，对于三棱锥体积计算，要选择好底面，便于求解．

10．（2016秋•盐城校级月考）已知曲线f（x）=xsinx+1在点（，+1）处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，则实数a=　﹣1　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的综合应用．
【分析】欲求出实数a，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：f′（x）=sinx+xcosx，
∵曲线在点（，+1）处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直，
∴根据导数几何意义得：f′（）=﹣，即：1=﹣，
解得：a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本小题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识．属于基础题．

11．（2016秋•盐城校级月考）设数列1，1+2，1+2+22，…1+2+22+2n﹣1，…的前n项和为Sn，则S10=　2036　．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由1+2+22+2n﹣1=2n﹣1，得Sn=（2+22+23+…+2n）﹣n，由此能求出S10．
【解答】解：∵1+2+22+2n﹣1==2n﹣1，
∴Sn=（2+22+23+…+2n）﹣n
=﹣n
=2n+1﹣2﹣n，
∴S10=211﹣2﹣10=2036．
故答案为：2036．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．

12．（2015春•灵宝市期末）已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，则a﹣b的值为　﹣7　．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，
∴，∴或
当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；
当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；
∴a﹣b=﹣7
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．

13．（2012•慈溪市模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为　﹣　．

【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】设A（x1，0），B（x2，0），由题意可得t2+bt+c=2，由AC⊥BC，可得=（x1﹣t，﹣2）•（x2﹣t，﹣2）=0，代入根据方程的根与系数关系可求a
【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0）
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C（t，2），
∴at2+bt+c=2
∵AC⊥BC，
∴=（x1﹣t，﹣2）•（x2﹣t，﹣2）=0
∴
∴
即at2+bt+c+4a=0
∴4a+2=0
∴
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了利用二次函数的性质求解函数中的参数，解题中注意整体思想的应用．

14．（2015春•洪泽县期末）已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是　（，]　．
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．
【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，

f（）=+1=1+；
故令x+=1+得，x=+；
故+≤x1＜；
又∵==1+；
＜≤=﹣1；
＜1+≤；
故答案为：（，]．
【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．

二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15．（14分）（2013•宣武区校级模拟）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
（1）若•=﹣1，求sin（α+）的值；
（2）O为坐标原点，若|﹣|=，且α∈（0，π），求与的夹角．
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据已知中A，B，C三点的坐标，我们易求出向量，的坐标，根据=﹣1，我们易得到一个三角方程，解方程即可得到sin（）的值．
（2）根据向量减法的三角形法则，我们易将=转化为||=，结合（1）中结论，易构造出关于α的三角方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
∴=（cosα﹣3，sinα）；
=（cosα，sinα﹣3）；
∴=cos2α+sin2α﹣3（sinα+cosα）
=1﹣3（sinα+cosα）=1﹣3sin（）=﹣1
∴sin（）=
（2）∵=||=||
=
==
∴cosα=﹣
又∵α∈（0，π）
∴α=，
则与的夹角为﹣=．
【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，同角三角函数关系，辅助角公式，三角函数给值求角，其中根据平面向量数量积运算公式，将问题转化为三角函数问题是解答问题的关键．

16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD⊂平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD⊂平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE．
【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．

17．（14分）（2015•广州校级二模）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．
【考点】解三角形；三角形中的几何计算．
【专题】计算题．
【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；
（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，
又△ABC的面积等于，sinC=，
∴，
整理得：ab=4，（4分）
联立方程组，
解得a=2，b=2；（6分）
（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，（8分）
联立方程组，
解得：，，
又sinC=，
则△ABC的面积．（10分）
【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．（16分）（2014•南京模拟）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．
（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？
（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．

【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（1）先由横断面积用x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；
（2）解y≤10.5分式不等式；
（3）求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决．
【解答】解：（1），其中，，
∴，得，
由，得2≤x＜6
∴；（6分）
（2）得3≤x≤4∵[3，4]⊂[2，6）
∴腰长x的范围是[3，4]（10分）
（3），
当并且仅当，即时等号成立．
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．（15分）
【点评】本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题．

19．（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）将a=﹣2代入，然后求出导函数f'（x），欲证函数f（x）在（1，+∞）上是增函数只需证导函数在（1，+∞）上恒大于零即可；
（Ⅱ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．
若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．
若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，
此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]min==
若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；
当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；
当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．

20．（16分）{an}前n项和为Sn，2Sn=an+1﹣+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列
（1）求a1的值；
（2）求{an}通项公式；
（3）证明++…+＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，分别取n=1，2时，可得a2=2a1+3，a3=6a1+13．利用a1，a2+5，a3成等差数列，即可得出；
（2）当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1，化为，变形，利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）由≥3n﹣1．可得，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】（1）解：∵2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，
∴n=1，2时，2a1=a2﹣3，2a1+2a2=a3﹣7，
∴a2=2a1+3，a3=6a1+13．
∵a1，a2+5，a3成等差数列，
∴2（a2+5）=a1+a3，
∴2（2a1+8）=a1+6a1+13，
解得a1=1．
（2）解：当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=，化为，
∴，a1+2=3．
∴数列是等比数列，
∴，
∴．
（3）证明：∵≥3n﹣1．
∴，
∴++…++…+==．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．