四川省巴中市通江中学中考数学模拟试卷二及答案word解析版.doc

2013年四川省巴中市通江中学中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）4的算术平方根是（　　）

A．
2
B．
±2
C．
16
D．
±16

考点：
算术平方根．
专题：
计算题．
分析：
利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
解答：
解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故选A
点评：
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．

2．（3分）（2013•保定一模）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）

A．
90°
B．
135°
C．
150°
D．
270°

考点：
多边形内角与外角；直角三角形的性质．
分析：
由四边形内角和公式可求∠1+∠2+∠A+∠B=360°，又在Rt△ABC中，∠C=90°，可知∠A+∠B=90°，由此求∠1+∠2．
解答：
解：∵ABED为四边形，
∴∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=270°．
故选D．
点评：
本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，关键是利用三角形的内角和，四边形的内角和求解．

3．（3分）（2010•朝阳区二模）全球可被人类利用的淡水总量仅占总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是我们每一位公民义不容辞的责任，其中数字0.00003用科学记数法表示为（　　）

A．
3×10﹣4
B．
3×10﹣5
C．
0.3×10﹣4
D．
0.3×10﹣5

考点：
科学记数法—表示较小的数．
专题：
应用题．
分析：
乘号前的数应为3，指数是负数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：
解：0.000 03=3×10﹣5．故选B．
点评：
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．（3分）（2011•玄武区二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠OAC=（　　）

A．
20°
B．
35°
C．
130°
D．
140°

考点：
圆周角定理．
专题：
证明题．
分析：
根据圆周角定理求得∠AOC=2∠ABC=140°；然后在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径）推知∠OCA=∠OAC；最后根据三角形的内角和定理求解并作出选择．
解答：
解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC=70°，
∴∠AOC=2∠ABC=140°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），
∴∠OCA=∠OAC（等边对等角），
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=20°（三角形内角和定理）．
故选A．
点评：
本题主要考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解答该题时，还利用的等腰三角形的两个底角相等、三角形的内角和定理．

5．（3分）（2009•龙岩）为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且S甲2=100、S乙2=110、S丙2=120、S丁2=90．根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（　　）

A．
甲、乙
B．
甲、丙
C．
甲、丁
D．
乙、丙

考点：
方差．
专题：
应用题；压轴题．
分析：
方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小．选派方差较小的两位．
解答：
解：从四个方差看，甲，丁的方差在四个同学中是较小的，方差小成绩发挥稳定，所以应选他们两人去参加比赛．
故选C．
点评：
考查了方差的意义．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小．

6．（3分）（2011•东营）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（　　）

A．
1
B．

C．

D．

考点：
圆锥的计算．
专题：
计算题．
分析：
根据展开的半圆就是底面周长列出方程．
解答：
解：根据题意得：，
解得r=，
故选C．
点评：
本题的关键是明白展开的半圆就是底面周长．

7．（3分）（2009•常德）设a=2°，b=（﹣3）2，c=，d=（）﹣1，则a，b，c，d按由小到大的顺序排列正确的是（　　）

A．
c＜a＜d＜b
B．
b＜d＜a＜c
C．
a＜c＜d＜b
D．
b＜c＜a＜d

考点：
实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．
专题：
计算题．
分析：
直接计算，再根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小进行解答．
解答：
解：∵a=2°=1，b=（﹣3）2=9，﹣3＜c=＜﹣2，d=（）﹣1=2，
∴＜1＜2＜9，即c＜a＜d＜b．
故选A．
点评：
本题涉及到实数的零指数幂，负整数指数及负数开立方，要把它们逐一计算再比较大小．

8．（3分）在直角坐标系中，点P在直线x+y﹣4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（　　）

A．
﹣2
B．

C．

D．

考点：
一次函数综合题．
专题：
函数思想．
分析：
|OP|的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据距离公式，代入数值求值即可．
解答：
解：O点的坐标（0，0），
，
=，
=，
=2．
故选B．
点评：
本题考查一次函数的综合运用，关键是知道距离公式．

9．（3分）（2007•连云港）已知：m，n是两个连续自然数（m＜n），且q=mn．设，则p（　　）

A．
总是奇数
B．
总是偶数

C．
有时是奇数，有时是偶数
D．
有时是有理数，有时是无理数

考点：
二次根式的加减法．
分析：
m、n是两个连续自然数（m＜n），则n=m+1，所以q=m（m+1），所以q+n=m（m+1）+m+1=（m+1）2，q﹣m=m（m+1）﹣m=m2，代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．
解答：
解：m、n是两个连续自然数（m＜n），则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1），
∴q+n=m（m+1）+m+1=（m+1）2，q﹣m=m（m+1）﹣m=m2，
∴=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
点评：
本题的关键是根据已知条件求出p的值，判断p的值．

10．（3分）（2010•宿迁）如图，△ABC是一个圆锥的左视图，其中AB=AC=5，BC=8，则这个圆锥的侧面积是（　　）

A．
12π
B．
16π
C．
20π
D．
36π

考点：
圆锥的计算；由三视图判断几何体．
专题：
压轴题．
分析：
利用等腰三角形三线合一定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解答：
解：∵AB=AC=5，BC=8，
∴圆锥的底面半径为4，
∴圆锥的侧面积=π×4×5=20π，
故选C．
点评：
本题考查圆锥侧面积的求法．注意需先求得圆锥的底面半径．

二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）（2011•黔东南州）分解因式：x2﹣2x﹣8=　（x﹣4）（x+2）　．

考点：
因式分解-十字相乘法等．
分析：
因为﹣4×2=﹣8，﹣4+2=﹣2，所以利用十字相乘法分解因式即可．
解答：
解：x2﹣2x﹣8=（x﹣4）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x+2）．
点评：
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

12．（3分）（2006•北京）如果|a|=2，|b|=3，那么a2b的值等于　±12　．

考点：
有理数的乘方；绝对值．
专题：
压轴题．
分析：
由绝对值的定义与|a|=2，|b|=3，得出a=±2，b=±3，从而求得a2b的值．
解答：
解：如果|a|=2，|b|=3，则a=±2，b=±3；
那么a2b的值等于±12．
点评：
本题考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．任何一个数的绝对值大于或等于0．本题要分情况讨论．

13．（3分）（2011•黔东南州）要使式子有意义，x的取值范围是　x≥﹣1且x≠0　．

考点：
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析：
根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
解答：
解：根据题意，得
，
解得x≥﹣1且x≠0．
点评：
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．

14．（3分）（2011•广西）方程组的解是　x=1，y=2　．

考点：
解二元一次方程组．
专题：
计算题．
分析：
用加减法解方程组即可．
解答：
解：，
①+②得：
8x=8，
x=1，
把x=1代入①得：
y=2，
∴，
故答案为：x=1，y=2．
点评：
此题考查的知识点是解二元一次方程组，关键是运用加减消元法求解．

15．（3分）（2011•柳州）如图，⊙O的半径为5，直径AB⊥CD，以B为圆心，BC长为半径作，则与围成的新月形ACED（阴影部分）的面积为　25　．

考点：
扇形面积的计算．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
连BC、BD，由直径AB⊥CD，根据圆周角定理和垂径定理得到△BCD为等腰直角三角形，则BC=CD=•10=5，新月形ACED（阴影部分）的面积=S半圆CD﹣S弓形CED，而S弓形CED=S扇形BCD﹣S△BCD，然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式进行计算即可．
解答：
解：连BC、BD，如图，
∵直径AB⊥CD，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=CD=•10=5，
∴S弓形CED=S扇形BCD﹣S△BCD=﹣•10•5=﹣25，
∴新月形ACED（阴影部分）的面积=S半圆CD﹣S弓形CED=•π•52﹣（π﹣25）=25．
故答案为25．

点评：
本题考查了扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数，R为半径）．也考查了圆周角定理和垂径定理以及等腰直角三角形的性质．

16．（3分）（2011•衡阳）若m﹣n=2，m+n=5，则m2﹣n2的值为　10　．

考点：
平方差公式；有理数的乘法．
专题：
计算题．
分析：
首先把多项式m2﹣n2利用平方差公式分解因式，然后代入已知条件即可求出其值．
解答：
解：∵m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），
而m+n=5，m﹣n=2，
∴m2﹣n2=5×2=10．
故答案为10．
点评：
本题主要考查了公式法分解因式．先利用平方差公式把多项式分解因式，然后代入已知数据计算即可解决问题．

17．（3分）（2011•防城港）如图，等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，点C转到C′的位置，且BC′与AC交于点D，则的值为　2﹣　．

考点：
旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．
专题：
压轴题．
分析：
等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，则△BCD是直角三角形，根据三角函数即可求解．
解答：
解：设等边△ABC的边长是a，
图形旋转30°，则△BCD是直角三角形．
BD=BC•cos30°=a，
则C′D=a﹣a=a，CD=a
∴==2﹣
故答案是：2﹣．

点评：
本题主要考查了图形旋转的性质，以及直角三角形的性质，正确确定△BCD是直角三角形是解题的关键．

18．（3分）（2011•梧州）一元二次方程x2+5x+6=0的根是　x1=﹣2，x2=﹣3　．

考点：
解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程．
专题：
计算题．
分析：
分解因式得到（x+2）（x+3）=0，推出x+2=0，x+3=0，求出方程的解即可．
解答：
解：x2+5x+6=0，
分解因式得：（x+2）（x+3）=0，
即x+2=0，x+3=0，
解方程得：x1=﹣2，x2=﹣3．
故答案为：x1=﹣2，x2=﹣3．
点评：
本题主要考查对等式的性质，解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

19．（3分）（2011•梧州）如图，三个半径都为3cm的圆两两外切，切点分别为D、E、F，则EF的长为　3　cm．

考点：
相切两圆的性质．
分析：
三个圆半径相等且两两外切，则EF为ABC的中位线，EF=BC．
解答：
解：连接EF，∵⊙A、⊙B、⊙C半径相等且两两外切，
∴△ABC为等边三角形，边长为6cm，
又切点E、F为AB、AC的中点，
∴EF=BC=3cm．
故答案为3．

点评：
本题考查了相切了圆的性质，三角形中位线定理．关键是判断三角形的形状，判断中位线．

20．（3分）（2010•镇江）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为　4　．

考点：
二次函数的应用．
专题：
压轴题．
分析：
将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．
解答：
解：由x2+3x+y﹣3=0得
y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：
x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，
∴x+y的最大值为4．
故应填4．
点评：
本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．

三、解答题：（共90分）
21．（5分）计算：．

考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：
利用绝对值的性质首先去掉绝对值，进而利用特殊角的三角函数值和负指数幂的性质以及零指数幂的性质化简得出即可．
解答：
解：
=﹣1﹣2×+1+
=﹣1﹣+1+
=．
点评：
此题主要考查了实数的运算，熟练掌握相关实数的性质是解题关键．

22．（5分）（2012•广安）解方程：．

考点：
解分式方程．
分析：
观察可得最简公分母是3（3x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需检验．
解答：
解：方程两边同乘以3（3x﹣1），
得：2（3x﹣1）+3x=1，
解得x=．
检验：当x=时，3（3x﹣1）=0，即x=不是原方程的解，
则原分式方程无解．
点评：
此题考查了分式方程的解法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．

23．（5分）（2012•乐山）解不等式组，并求出它的整数解的和．

考点：
解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
专题：
压轴题．
分析：
分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来，其公共部分即为不等式组的解集，在其解集范围内找出x的整数值，求出其和即可．
解答：
解：
解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x≥﹣4．
在同一数轴上表示不等式①②的解集，得

∴这个不等式组的解集是﹣4≤x＜3，
∴这个不等式组的整数解的和是﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2=﹣7．
点评：
本题考查的是解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，能利用数形结合求不等式组的解集是解答此题的关键．

24．（5分）（2012•自贡）已知a=，求代数式的值．

考点：
分式的化简求值；分母有理化．
专题：
计算题．
分析：
在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先把括号里式子通分，再进行分式的乘除．
解答：
解：原式=×=，
当a=时，
原式==．
点评：
本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．

25．（9分）（2012•德阳）今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000㎡和B种板材24000㎡的任务．
（1）如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60㎡或B种板材40㎡，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房
A种板材（m2）
B种板材（m2）
安置人数
甲型
108
61
12
乙型
156
51
10
问这400间板房最多能安置多少灾民？

考点：
一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
分析：
（1）先设x人生产A种板材，根据题意得列出方程，再解方程即可；
（2）先设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，则安置人数为12y+10（400﹣y）=2y+4000，然后列出不等式组，解得：360≥y≥300，最后根据2大于零，即可求出答案．
解答：
解：（1）设x人生产A种板材，根据题意得；

x=120．
经检验x=120是分式方程的解．
210﹣120=90．
故安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务；（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，
安置人数为12y+10（400﹣y）=2y+4000，
，
解得：300≤y≤360，
∵2y+4000随y的增大而增大，
∴当y=360时安置的人数最多．
360×12+（400﹣360）×10=4720．
故最多能安置4720人．
点评：
此题考查了一次函数的应用，用到的知识点是一次函数的性质、分式方程、一元一次不等式组等，根据题意列出方程和不等式组是解题的关键．

26．（9分）（2011•凉山州）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，9）．
（1）画出△ABC，并求出AC所在直线的解析式．
（2）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并求出△ABC在上述旋转过程中扫过的面积．

考点：
作图-旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；扇形面积的计算．
专题：
压轴题．
分析：
（1）利用待定系数法将A（﹣1，2），C（﹣2，9）代入解析式求出一次函数解析式即可；
（2）根据AC的长度，求出S=S扇形+S△ABC，就即可得出答案．
解答：
解：（1）如图所示，△ABC即为所求，
设AC所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（﹣1，2），C（﹣2，9），
∴，
解得，
∴y=﹣7x﹣5；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，
由图可知，，
S=S扇形+S△ABC，
=+2×7﹣1×5×﹣1×7×﹣2×2×，
=．

点评：
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及扇形面积求法，得出扇形面积等于S=S扇形+S△ABC是解决问题的关键．

27．（10分）（2012•荆州）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．

考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法．
专题：
压轴题．
分析：
（1）用B小组的频数除以B小组所占的百分比即可求得结论；
（2）分别求得C小组的频数及其所占的百分比即可补全统计图；
（3）用总人数乘以D小组的所占的百分比即可；
（4）列出树形图即可求得结论．
解答：
解：（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2分）
（2）如图；…（5分）

（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．…（7分）
（4）如图；

（列表方法略，参照给分）．…（8分）
P（C粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．…（10分）
点评：
本题考查了两种统计图及概率的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息．

28．（10分）（2012•庆阳）如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求BC的长．

考点：
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接DO，由三角形的外角与内角的关系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．
（2）由1知，CD=OD=AB，由弦切角定理可得∠CDB=∠A，故有△ADC∽△DBC，得到CD2=CB•CA=CB（CB+AB）而求得BC的值．
解答：
（1）证明：连接DO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=2∠DAB，
∴∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
∴CD是⊙O的切线．（2）解：连接DB，
∵直径AB=2，△OCD为等腰直角三角形，
∴CD=OD=，OC==2，
∴BC=OC﹣OB=2﹣．

点评：
本题利用了等边对等角，三角形的外角与内角的关系，切线的概念，相似三角形的判定和性质求解．

29．（10分）（2012•宜宾）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．
（1）求经过点C的反比例函数的解析式；
（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．

考点：
反比例函数综合题．
专题：
数形结合．
分析：
（1）根据菱形的性质可得菱形的边长，进而可得点C的坐标，代入反比例函数解析式可得所求的解析式；
（2）设出点P的坐标，易得△COD的面积，利用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可得点P的横坐标，就求得了点P的坐标．
解答：
解：（1）由题意知，OA=3，OB=4
在Rt△AOB中，AB=
∵四边形ABCD为菱形
∴AD=BC=AB=5，
∴C（﹣4，﹣5）．
设经过点C的反比例函数的解析式为（k≠0），
则=﹣5，解得k=20．
故所求的反比例函数的解析式为．（2）设P（x，y）
∵AD=AB=5，OA=3，
∴OD=2，S△COD=
即，
∴|x|=，
∴
当x=时，y=，当x=﹣时，y=﹣
∴P（）或（）．
点评：
综合考查反比例函数及菱形的性质；注意根据菱形的性质得到点C的坐标；点P的横坐标的两种情况．

30．（10分）（2010•红河州）如图，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）

考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：
根据飞机的飞行速度和时间，易求得PC的长；Rt△PCD中，运用正切函数求出对边CD的值，进而根据DG=CG﹣CD求出山的高度．
解答：
解：延长CD交AB于G，则CG=12（千米）．
依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米）．
在Rt△PCD中：
PC=3，∠P=60°，
CD=PC•tan∠P
=3×tan60°
=．
∴12﹣CD=12﹣≈6.8（千米）．
答：这座山的高约为6.8千米．

点评：
此题主要考查了俯角的定义，三角函数定义的应用．

31．（12分）（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．
（1）求证：n+4m=0；
（2）求m、n的值；
（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

考点：
二次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式x=，易证n+4m=0；
（2）本问利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组，不能遗漏；
（3）本问利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值．
解答：
（1）证明：∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，
即=2，
化简得：n+4m=0．（2）解：∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，
∴OA=﹣x1，OB=x2；x1+x2=，x1•x2=；
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．
由三角函数定义得：tan∠CAO===，tan∠CBO==．
∵tan∠CAO﹣tan∠CBO=1，即﹣=1，
化简得：=﹣，
将x1+x2=，x1•x2=代入得：=﹣，
化简得：n==±1．
由（1）知n+4m=0，
∴当n=1时，m=；当n=﹣1时，m=．
∴m、n的值为：m=，n=﹣1（此时抛物线开口向上）或m=，n=1（此时抛物线开口向下）．（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1，m=，
∴抛物线解析式为：y=x2+x+p．
联立抛物线y=x2+x+p与直线y=x+3解析式得到：x2+x+p=x+3，
化简得：x2﹣4（p﹣3）=0 ①．
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
∴一元二次方程①的判别式等于0，即△=02+16（p﹣3）=0，解得p=3．
∴抛物线解析式为：y=x2+x+p=y=x2+x+3=（x﹣2）2+4，
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4．
∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4．
点评：
本题要求同学们熟练掌握二次函数的性质，包括抛物线的解析式、对称轴公式、抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系、二次函数的最值等重要知识点．作为中考压轴题，本题难度适中，相信多数同学能够顺利解决；难点在于由于题中未明确抛物线的开口方向，导致部分同学感觉难以下手，或者盲目求解，只得到m、n的一组解（第2问），从而导致失分．