高中数学经典高考难题集锦解析版10.doc
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1、2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一填空题(共17小题)1(2014永川区校级学业考试)已知等差数列an的公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是 2(2013江苏)在正项等比数列an中,a6+a7=3,则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为3(2013湖南)设Sn为数列an的前n项和,Sn=(1)nan,nN*,则(1)a3=;(2)S1+S2+S100=4(2012湖南)对于nN*,将n表示为n=+,当i=k时,ai=1,当0ik1时,ai为0或1定义bn如下:在n的上述表示中,当a0,a1,a2,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0(1)b2+
2、b4+b6+b8=;(2)记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是5(2012河北)数列an满足an+1+(1)nan=2n1,则an的前60项和为6(2012上海)已知,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=f(an),若a2010=a2012,则a20+a11的值是7(2012上海)已知等差数列an的首项及公差均为正数,令当bk是数列bn的最大项时,k=8(2011浙江)若数列中的最大项是第k项,则k=9(2010天津)设an是等比数列,公比,Sn为an的前n项和记设为数列Tn的最大项,则n0=10(2013湖南)对于E=a1,a2,a100
3、的子集X=ai1,ai2,aik,定义X的“特征数列”为x1,x2,x100,其中xi1=xi2=xik=1其余项均为0,例如子集a2,a3的“特征数列”为0,1,1,0,0,0(1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前3项和等于;(2)若E的子集P的“特征数列”P1,P2,P100 满足p1=1,pi+pi+1=1,1i99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1j98,则PQ的元素个数为11(2010湖南)若数列an满足:对任意的nN,只有有限个正整数m使得amn成立,记这样的m的个数为(an)+,则得到一个新数列(an)+例如,若数列
4、an是1,2,3,n,则数列(an)+是0,1,2,n1已知对任意的nN+,an=n2,则(a5)+=,(an)+)+=12(2010辽宁)已知数列an满足a1=33,an+1an=2n,则的最小值为13(2008北京)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k2时,T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0按此方案,第6棵树种植点的坐标应为;第2009棵树种植点的坐标应为14(2008天津)已知数列an中,则=15(2006天津)设函数,点A0表示坐标原点,点An(n,f(n)
5、(nN*),若向量,n是与的夹角,(其中),设Sn=tan1+tan2+tann,则=16(2005上海)已知函数f(x)=2x+log2x,数列an的通项公式是an=0.1n(nN),当|f(an)2005|取得最小值时,n=17(2006湖北)将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成,就得到一个如下图所示的分数三角形,成为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出,其中x=r+1,令,则=二解答题(共13小题)18(2008安徽)设数列an满足a1=a,an+1=can+1c,nN*,其中a,c为实数,且c0()求数列an的通项公式;()设N*,求数列bn的前n项和Sn;()若0an1对任意nN*成
6、立,证明0c119(2011广东)设b0,数列an满足a1=b,an=(n2)(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,2anbn+1+120(2014濮阳二模)设an是等差数列,bn是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13()求an、bn的通项公式;()求数列的前n项和Sn21(2014秋渝中区校级月考)已知数列an中,a1=1,an+1=c()设c=,bn=,求数列bn的通项公式;()求使不等式anan+13成立的c的取值范围22(2010荔湾区校级模拟)设an是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和(1)证明;(2)是否存在常数c0,
7、使得成立?并证明你的结论23(2010安徽)设C1,C2,Cn,是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线相切,对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半径,已知rn为递增数列()证明:rn为等比数列;()设r1=1,求数列的前n项和24(2010湖南)给出下面的数表序列:其中表n(n=1,2,3 )有n行,第1行的n个数是1,3,5,2n1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和(I)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n3)(不要求证明);(II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数
8、列1,4,12,记此数列为bn求和:(nN+)25(2010湖北)已知数列an满足:,anan+10(n1),数列bn满足:bn=an+12an2(n1)()求数列an,bn的通项公式()证明:数列bn中的任意三项不可能成等差数列26(2009广东)已知点(1,)是函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象上一点,等比数列an的前n项和为f(n)c,数列bn(bn0)的首项为c,且前n项和Sn满足SnSn1=(n2)()求数列an和bn的通项公式;()若数列前n项和为Tn,问满足Tn的最小正整数n是多少?27(2009江西)数列an的通项an=n2(cos2sin2),其前n项和为Sn(1)求S
9、n;(2)bn=,求数列bn的前n项和Tn28(2009重庆)已知,()求b1,b2,b3的值;()设cn=bnbn+1,Sn为数列cn的前n项和,求证:Sn17n;()求证:29(2008四川)设数列an的前n项和为Sn=2an2n,()求a1,a4()证明:an+12an是等比数列;()求an的通项公式30(2007福建)等差数列an的前n项和为Sn,(1)求数列an的通项an与前n项和为Sn;(2)设(nN+),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列2015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一填空题(共17小题)1(2014永川区校级学业考试)已知等差数列an
10、的公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是 考点:等差数列的性质菁优网版权所有专题:压轴题分析:由a1,a3,a9成等比数列求得a1与d的关系,再代入即可解答:解:a1,a3,a9成等比数列,(a1+2d)2=a1(a1+8d),a1=d,=,故答案是:点评:本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质2(2013江苏)在正项等比数列an中,a6+a7=3,则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为12考点:等比数列的前n项和;一元二次不等式的解法;数列的函数特性;等差数列的前n项和菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列分析:设正项等比数列an首项为a1,公比为q,由题意
11、可得关于这两个量的方程组,解之可得数列的通项公式和a1+a2+an及a1a2an的表达式,化简可得关于n的不等式,解之可得n的范围,取上限的整数部分即可得答案解答:解:设正项等比数列an首项为a1,公比为q,由题意可得,解之可得:a1=,q=2,故其通项公式为an=2n6记Tn=a1+a2+an=,Sn=a1a2an=25242n6=254+n6=由题意可得TnSn,即,化简得:2n1,即2n1,因此只须n,即n213n+100解得 n,由于n为正整数,因此n最大为的整数部分,也就是12故答案为:12点评:本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法,属中档题3(2013湖南)设Sn为数列
12、an的前n项和,Sn=(1)nan,nN*,则(1)a3=;(2)S1+S2+S100=考点:数列的求和;数列的函数特性菁优网版权所有专题:压轴题;等差数列与等比数列分析:(1)把给出的数列递推式先分n=1和n2讨论,由此求出首项和n2时的关系式对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式,则a3可求;(2)把(1)中求出的数列的通项公式代入,nN*,则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果解答:解:由,nN*,当n=1时,有,得当n2时,即若n为偶数,则所以(n为正奇数);若n为奇数,则=所以(n为正偶数)所以(1)故答案为;(2)因为(n为正奇数),所以,
13、又(n为正偶数),所以则,则所以,S1+S2+S3+S4+S99+S100=故答案为点评:本题考查了数列的求和,考查了数列的函数特性,解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项,当n为奇数时求出偶数项的通项,此题为中高档题4(2012湖南)对于nN*,将n表示为n=+,当i=k时,ai=1,当0ik1时,ai为0或1定义bn如下:在n的上述表示中,当a0,a1,a2,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0(1)b2+b4+b6+b8=3;(2)记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是2考点:数列的应用;数列的函数特性菁优网版权所有专题:
14、压轴题;新定义分析:(1)由题设定义可知,2=12,4=122,6=122+12,8=123,从而b2=1,b4=1,b6=0,b8=1,故可求b2+b4+b6+b8的值;(2)设bn中第m个为0的项为bi,即bi=0,构造二进制数(i)10=(akak1a1a0)2,则akak1a1a0中1的个数为偶数,再进行分类讨论:当a2a1a0=000时,cm=2;当a2a1a0=001时,cm=0;当a2a1a0=010时,cm=1;当a2a1a0=011时,cm=0;当a2a1a0=100时,cm=2;当a2a1a0=101时,cm=0;当a0=0,前面有奇数个1时,cm=1; 当a0=0,前面有
15、偶数个1时,cm=2;当末位有奇数个1时,cm=1;当末位有偶数个1时,cm=0,由此可得cm的最大值解答:解:(1)由题设定义可知,2=12,4=122,6=122+12,8=123,b2=1,b4=1,b6=0,b8=1b2+b4+b6+b8=3(2)设bn中第m个为0的项为bi,即bi=0,构造二进制数(i)10=(akak1a1a0)2,则akak1a1a0中1的个数为偶数,当a2a1a0=000时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;当a2a1a0=001时,bi+1=0,cm=0;当a2a1a0=010时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1;当a2a1a0=011
16、时,bi+1=0,cm=0;当a2a1a0=100时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;当a2a1a0=101时,bi+1=0,cm=0;当a0=0,前面有奇数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1; 当a0=0,前面有偶数个1时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;当末位有奇数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1;当末位有偶数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=0;故cm的最大值为2点评:对于新定义型问题,正确理解新定义传递的信息是解题的突破口5(2012河北)数列an满足an+1+(1)nan=2n1,则an的前60项和为1830考点:
17、数列递推式;数列的求和菁优网版权所有专题:计算题;压轴题分析:令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n2+a4n+16=bn+16可得数列bn是以16为公差的等差数列,而an的前60项和为即为数列bn的前15项和,由等差数列的求和公式可求解答:解:,令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,a4n+1+a4n+3=(a4n+3+a4n+2)(a4n+2a4n+1)=2,a4n+2+a4n+4=(a4n+4a4n+3)+(a4n+3+a4n+2)=16n+8,则bn+1=a
18、4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n1+a4n+16=bn+16数列bn是以16为公差的等差数列,an的前60项和为即为数列bn的前15项和b1=a1+a2+a3+a4=10=1830点评:本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和,等差数列的求和公式的应用,解题的关键是通过构造等差数列6(2012上海)已知,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=f(an),若a2010=a2012,则a20+a11的值是考点:数列与函数的综合菁优网版权所有专题:综合题;压轴题分析:根据,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=f(an),可确定a1=1,a7
19、=,利用a2010=a2012,可得a2010=(负值舍去),依次往前推得到a20=,由此可得结论解答:解:,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=f(an),a1=1,a7=,a2010=a2012,a2010=(负值舍去),由a2010=得a2008=依次往前推得到a20=a20+a11=故答案为:点评:本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念理解条件an+2=f(an),是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大,属于中高档试题7(2012上海)已知等差数列an的首项及公差均为正数,令当bk是数列bn的最大项时,k=1006考点:数列与不等式的综合;等差数列的性质菁
20、优网版权所有专题:综合题;压轴题分析:设,由,根据基本不等式(x+y)2=x2+y2+2xyx2+y2+x2+y2=2(x2+y2),得bn2=()22(an+a2012n)=2(2a1006)=4a1006,由此能求出结果解答:解:设,根据基本不等式(x+y)2=x2+y2+2xyx2+y2+x2+y2=2(x2+y2),得bn2=()22(an+a2012n)=2(2a1006)=4a1006,当且仅当an=a2012n时,bn取到最大值,此时n=1006,所以k=1006故答案为:1006点评:本题考查数列与不等式的综合应用,具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识,解题
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