注重真实情境 培养数据观念——2023年中考“随机事件的概率”专题命题分析.pdf

上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称标准）指出，“统计与概率”领域的学习，有助于学生感悟从不确定性的角度认识客观世界的思维模式和解决问题的方法，初步理解通过数据认识现实世界的意义，感知大数据时代的特征，发展数据观念和模型观念.“随机事件的概率”是初中阶段“统计与概率”领域的两个主题之一，强调经历简单随机事件发生的概率的计算过程，尝试用概率定量描述随机现象发生的可能性大小，理解概率的意义.由此可见，学生是通过学习定量刻画随机事件发生可能性大小的方法来形成和发展数据观念的.基于标准的要求，笔者对 2023 年全国各地区 105 份初中学业水平考试（以下统称“中考”）数学试卷中“随机事件的概率”试题的命题特点进行分析，并归纳命题趋势，给出相关复习教学建议.一、考查内容分析标准中给出的“随机事件的概率”主题的学业要求是：能描述简单随机事件的特征（可能结果的个数有限，每一个可能结果出现的概率相等）；能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，能计算简单随机事件的概率；知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能用频率估计概率；体会数据的随机性及概率与统计的关系；能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题.对照学业要求，统计并分析样本试卷中的“随机事件的概率”试题，发现其考查内容的范围、相关知识的比例、要求层次等方面均严格遵循 标准 要求.同时，该部分试题的命制注重基础，重视综合，强调在创新情境中应用相关知识解决问题，关注教学导向，有效落实了立德树人的根本任务.在考查知识内容方面，统计分析的样本试卷中，以判断命题的形式考查概率相关概念的试题有9道；考查用频率估计概率的试题有1道；考查概率计算的试题有102道，其中与统计相结合的试题有22道，与吴光潮，刘永东（广东省广州市黄埔区教育研究院；广东省广州市天河区教师发展中心）摘要：基于义务教育数学课程标准（2022年版）要求，对2023年全国部分地区初中学业水平考试数学试卷中的“随机事件的概率”试题进行整理和分析，发现该部分试题的命制稳中有创新，在强化基础性、综合性、应用性的同时，注重立德树人核心价值、数据观念能力素养、文化科技情境载体的命题立意.在此基础上，归纳命题趋势，提出相关复习教学建议，并给出了3道模拟题.关键词：随机事件的概率；命题分析；复习建议中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）02-0021-06引用格式：吴光潮，刘永东.注重真实情境培养数据观念：2023年中考“随机事件的概率”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2024（2）：21-26.基金项目：2022年中国教育学会义务教育数学课程标准研究（初中）专项课题基于发展学生核心素养的课程资源优化与整合研究（22ZS061405ZA）.作者简介：吴光潮（1979），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究；刘永东（1971），男，正高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.注重真实情境培养数据观念2023年中考“随机事件的概率”专题命题分析 21上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南几何概型相结合的试题有4道.另外，部分试题将概率问题与分式方程、函数、有理数等知识相结合考查.可见，在“随机事件的概率”主题中，对简单随机事件相关概念的理解、用列表法或画树状图法（以下简称“列举法”）求概率、与统计知识综合等方面依然是考查的重点，一般以简单题和中档题为主，同时更加关注知识的横向联系，体现基础性、综合性和应用性.二、命题特点分析1.源于教材，注重基础同往年一样，2023年中考大多数“随机事件的概率”试题的素材源于教材，注重概念理解、基本运算等基础性问题，难度不大.例1（贵州卷）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其他都相同）放入盒中.小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（）.（A）摸出“北斗”小球的可能性最大（B）摸出“天眼”小球的可能性最大（C）摸出“高铁”小球的可能性最大（D）摸出三种小球的可能性相同答案：C.考查目标：考查随机事件发生的可能性大小.命题意图：通过摸球试验，学生感知随机试验发生的可能性，对随机事件发生的可能性的相对大小进行定性描述，并通过试验验证判断.此题让学生了解随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性大小很可能不同，并能够判断几个事件发生的可能性的相对大小.因此，此题考查了学生对随机现象发生的可能性大小的感知及数据观念、应用意识等.命题评价：此题与人教版义务教育教科书数学九年级上册（以下统称“人教版教材”）“25.1.1 随机事件”的问题3类似，属于基础题，都是通过“摸球”这一经典问题情境考查学生基于学习、生活获得的基本活动经验.学生通过对随机现象的感知，理解借助数据认识现实世界的意义，以及从不确定性的角度用数学的眼光观察现实世界的思维模式.此题考查学生通过数学活动经验的积累达成对基本概念的理解和数学思想的体悟.例2（黑龙江绥化卷）在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4从中随机抽取1张后，放回再混合在一起，再随机抽取1张.那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是答案：12.考查目标：会用列举法求随机事件的概率.命题意图：此题可以通过列出所有等可能出现的结果和所求事件的结果，再利用古典概型的概率公式进行计算求解，考查学生的模型观念和运算能力.解题时，要注意区分是“放回”模型还是“不放回”模型.命题评价：此题与人教版教材习题25.2第3题的问题情境相似，条件数字相同，设问略有变化，考查学生对用列举法求随机事件概率的掌握情况，没有在对概率的深层次理解及应用、繁难计算方面给学生设置障碍.此题情境简单，学生能从试题中快速提取信息，并能通过常规方法求解，体现基础性.同时，该题考查学生对在熟悉情境中问题解决方法的迁移能力.2.重视综合，突出重点中考试题注重不同领域知识的横向串联考查、统计与概率知识的综合考查、跨学科知识的考查等，突出用列举法求概率和古典概型内容.其中，对于简单情境的试题，可以直接采用枚举法、面积法等求解，此类试题通常以选择题或者填空题的形式呈现；对于较复杂情境的试题，需要通过列举法列出所有等可能的结果，多以解答题形式呈现.例3（浙江杭州卷）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）.若从中任意摸出一个球是红球的概率为25，则n的值为_.答案：9.考查目标：此题已知概率要求学生求数量、解分式方程.解题的关键是掌握求概率的公式.命题意图：学生通过理解题意，运用概率的古典定义求解随机事件的概率，通过古典概型列方程，将问题转化为求解分式方程.因此，此题强化了“统计与概率”领域中概率知识与“数与代数”领域中分式 22上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南方程知识的横向串联，考查了古典概型概率的求法、分式方程的解法等基础知识.命题评价：此题是基于简单问题情境命制的基础题，充分利用题型特点强化考查横向串联的知识点，增加知识考查的覆盖面，注重对学生的知识结构化和基础知识等的全面考查，突出考查学生对核心概念的理解.此类试题在选择题中较为常见，指向学生对知识结构化的整体性和联系性的理解.例4（山东枣庄卷）义务教育课程方案（2022年版）和义务教育劳动课程标准（2022年版）正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养.学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成如图1和图2所示的两幅不完整的统计图.男生女生人数类别6543210ABCD112346C25%A15%B50%D图1图2试根据统计图解答下列问题.（1）本次调查中，一共调查了名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有名，“D烹饪与营养”的男生有名；（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率答案：（1）20，2，1；（2）略；（3）35.考查目标：此题主要考查学生对条形统计图、扇形统计图的理解，以及用列举法求古典概型随机事件的概率.命题意图：此题要求学生综合运用统计与概率的知识解决问题，考查学生的阅读理解能力、数据观念、推理能力和应用意识等.解题的关键是要具有较强的读图能力，能将条形统计图与扇形统计图中的信息进行关联，掌握用列举法求概率的原理.命题评价：此题综合了“统计与概率”领域两大主题的知识，属于中档题，具有普遍性，是一种命题趋势.第（3）小题中没有直接给出学生人数，而是需要学生基于前面两道小题所得的数据进行分析、求解，体现了统计与概率知识的融合性和综合性，对学生的能力有更高的要求.同时，突出对用列举法求随机事件概率的方法及古典概型的考查，指向知识的横向联系及综合运用.例5（江苏连云港卷）图3是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（）.图3（A）58（B）1350（C）1332（D）516答案：B.考查目标：此题考查了对几何概型的理解与运用.命题意图：此题考查学生对几何概型和古典概型异同点的认识.两者的相同点主要是随机事件的发生是等可能的，不同点主要是随机事件发生的可能结果分别为无限性和有限性.学生需要对两者的基本概念有深刻、准确的理解才能求解.命题评价：此题与人教版教材第149页“实验与探究”中“的估计”阅读材料类似.在抽取的样本试卷中，考查几何概型的试题较少，仅有4份试卷涉及.在初中阶段，几何概型常用线段长度、图形面积、几何体体积作为基本事件和随机事件的结果数，再利用概率公式计算.这反映出命题者对教学及考试重点内容、依据课程标准命题的准确把握，引导教学 23上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南要关注教材.例6（江苏扬州卷）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如表1所示.表1每批粒数n发芽的频数m发芽的频率mn（精确到0.001）221.000540.8001090.90050440.880100920.9205004630.92610009280.928150013960.931200018660.933300027940.931这种绿豆发芽的概率的估计值为.（精确到0.01.）答案：0.93.考查目标：此题考查学生对在大量重复试验的过程中频率所呈现出的稳定性和规律性、频率与概率之间的关系，以及利用频率估计概率的理解.命题意图：此题通过试验让学生从频率的角度进一步认识概率的意义，即概率反映的规律是针对大量重复试验而言的.由于用频率估计概率不受随机试验中结果种数有限和各种结果发生等可能的限制，因此其适用范围比列举法更广.此题引导学生结合具体情境进一步了解如何运用频率估计概率，考查了学生的数据观念和应用意识.命题评价：学生已经对用概率刻画随机事件发生的可能性大小有一定的理解，但尚有不足，这类以生物学知识为背景命制的基础题，能强化学生对随机事件概率意义的认识.此类试题主要指向学生体会数据的随机性，以及对概率与统计的关系的理解.3.关注思维，凸显能力中考试题对随机事件的概率知识的考查，在注重基础性和综合性的前提下，关注较复杂试题的情境创设，以体现对学生思维考查的充分关注，突出能力素养的命题立意.例7（福建卷）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会（1）求该顾客首次摸球中奖的概率.（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由答案：（1）14；（2）因为加入黄球后获得精美礼品的概率经计算为35，加入红球后获得精美礼品的概率经计算为25，所以应往袋中加入黄球.考查目标：用列举法求简单随机事件的概率.命题意图：此题设置了较为复杂的问题情境，学生需要基于题意理解发现、分析问题，并分类讨论，建立概率模型解决问题，考查了学生的阅读理解能力、信息整合能力、语言表达能力，以及逻辑推理能力、数据观念、数学建模能力和分类讨论思想等.命题评价：此题是一道中等难度的试题，难点在第（2）小题.熟练掌握概率公式、合理分类讨论、转化问题是解题的关键.学生要能通过阅读理解准确获取信息，并进行分类讨论、转化，思考：若加红球，则转化为“在2个红球和3个黄球中摸2个红球或2个黄球的概率（25）”；若加黄球，则转化为“在1个红球和4个黄球中摸2个黄球的概率（35）”.此题基于问题解决的情境及其开放性的设问，改变了以往试题固化、封闭、单一的考查形式，凸显了试题的思维含量，突出对学生综合运用统计与概率的思维方法解决实际问题能力的考查，体现了概率命题的创新性.4.创新应用，学科育人2023年中考部分“随机事件的概率”试题以生活情境、科学情境、数学情境为背景命制，突出情境设置的创新性和丰富性，如中华优秀传统文化、校园“五育”活动、红色革命活动、中国航天科技、环保健康志愿、民俗、社会生活等，注重数学知识在真实情境下的应用，渗透学科育人的课程理念.24上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南例8（湖南常德卷）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（）.（A）12（B）13（C）14（D）15答案：B.考查目标：会用列表法求简单随机事件的概率.命题意图：此题以中国空间站和“神十六”航天员为情境，介绍我国航天事业的发展，树立学生的民族自信，考查学生的模型观念和应用意识.命题评价：此题选取中国航天科技这一科学情境为背景，情境设置与时俱进，突出时代性和创新性，注重数学知识在真实情境下的应用，将社会主义核心价值观和爱国主义、民族自信、文化自信等融入试题中，充分发挥了中考试题的育人功能.三、复习教学建议1.立足课程标准和教材，依标施教2023年中考“随机事件的概率”试题同其他板块内容一样，立足教材，依标命题.有的试题基于教材中的定理、例题和习题、数学活动、课题学习等材料改编或创编；有的几何概型试题、“摸奖问题”等源自对教材中的“阅读思考”“拓广探索”“小结引言”等内容的充分关注.对促进学生形成数学思想、理解数学核心概念有帮助的相关学习材料都体现在试题情境中，这也完全契合课程标准提出的学业考查范围和要求.这是实现数学学习减负增效提质的有效举措，也是强化引导教学回归教材、深入挖掘教材的考评价值的命题导向.因此，立足课程标准和教材，依标施教、准确定位是“随机事件的概率”教学的基本思想.2.立足“四基”“三性”，学科育人融合2023年中考“随机事件的概率”试题以简单题和中等难度题为主，这是立足“四基”（即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的体现，但同时又聚焦概率的核心概念理解、古典概型的应用及计算，凸显知识的“三性”（即基础性、综合性、应用性）.例如，对列举法求概率（以两步试验为主）的重点考查，在题干呈现、设问方式、难易程度等方面与教材例题和习题保持一致，体现了基础性；在问题情境设置方面，体现应用的丰富性；关注横向知识串联的选择题和填空题及趋于统计与概率知识融合的解答题是考查综合性的体现.因此，“随机事件的概率”中考试题的命制立足“四基”“三性”是基本规律，该内容也有利于融合数学本质和育人价值.3.重视情境问题，强调结合实际概率与现实生活联系非常紧密，有助于在真实情境中渗透“五育”并举和学科育人本质.选择典型的、富有时代气息的现实问题作为中考试题的素材，重视在科技、生活、生产、传统文化等问题情境中渗透学科育人，并充分关注学生阅读理解的学习力、知识迁移应用的实践力、学科思维解决问题的创新力，可以有效考查学生核心素养的达成情况.基于跨学科问题和开放性问题的创新试题，对学生思考数学问题本质和解决问题的思维能力等方面提出了较高要求.因此，在中考复习中，教师要重视创设丰富情境，加强对学生的阅读理解能力与问题提出能力的培养，重视体悟数学思想的学以致用过程，培养学生的数学思维，形成和发展学生的数学核心素养.四、模拟题示例1.有A，B两个电子元件，电流能正常通过的概率都是0.5.如果要求电流能够正常通过图4中甲、乙两种方式连接的电路，你认为哪一种更保险？ABAB（a）甲（b）乙图4 25上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南答案：乙2.从1，2，3，4，5五个数中随机选取两个数，这两个数恰为方程x2-9x+20=0的解的概率为答案：1103.2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射.为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，某校开设了四个科普主题的校本课程：“北斗”“5G时代”“东风快递”“智轨快运”.为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，分别用A，B，C，D代表这四门课程，并对调查结果分析后绘制了图5和图6两幅不完整的统计图48B18C12DA4842363024181260人数学科DCABa%图5图6试根据图中提供的信息完成下列问题.（1）若30 a 40，任选一个值，求被调查学生的人数并将条形统计图补充完整；（2）小黄和小埔参加校本课程学习，若每人从A，B，C三门校本课程中随机选取一门，试用画树状图或列表法求两人恰好选中同一门校本课程的概率.答案：（1）若a=40，则被调查学生为120人，其中喜爱A的有42人（图略）；（2）13五、结束语2023年中考“随机事件的概率”试题的命制体现了“核心价值金线、能力素养银线和情境载体串联线”的立意，呈现出有价值、有思维、有情境的典型命题特征，它将引导初中课堂教学理解和重视核心价值、能力素养和情境载体，既有利于义务教育阶段新课程改革理念的落实，也有利于中、高考命题理念的贯通.注：第四批广东省基础教育教研基地项目广州市教育研究院伍晓焰（初中数学）学科教研基地项目阶段性成果.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育课程方案（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.3 中国高考报告学术委员会.中国高考报告（2023）M.北京：新华出版社，2023.（1）兴趣小组了解到，鞋码y与脚长x（cm）之间满足一次函数的关系，求出这个函数表达式；（2）若小明的脚长是26 cm，求他的鞋码；（3）兴趣小组通过数据分析，发现每个人的身高与脚长之间的比值基本稳定.根据此发现，若小华平时穿41码的鞋子，估算他的身高大约是多少？并简述理由.答案：（1）y=2x-10.（2）42码.（3）答案不唯一，根据表5中数据，可知每个人的身高与脚长的比值大约为7，进而估算身高.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育课程方案（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.3 史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读 M.北京：北京师范大学出版社，2022.4 孙晓天，沈杰.义务教育数学课程标准（2022年版）课例式解读：初中数学 M.北京：教育科学出版社，2022.（上接第20页）26