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48.2023年第4期43中南传媒湖南新教材杯2022年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛中图分类号：G424.79文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 4-0 0 43-0 6引用格式：中南传媒湖南新教材杯2 0 2 2 年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛J.中等数学，2 0 2 3（4)：43一、填空题（每小题7 分，共7 0 分）1111.若3=4=6,则a26C2.设函数f()的定义域为(0,+),且满足f()-2xf+x2=0.则f(x)的最小值是3.已知集合A=1xlx+2x-80/，B=1xlx?-2ax+401.若a0,AnB中恰有一个整数，则的取值范围是4.圆C：x?+(y-2)=16 关于直线ax+by-12=0对称，动点S在直线y+b=0上，过点S引圆C的两条切线SA、S B，切点分别为A、B,则直线AB必过定点.那么定点的坐标是5.半径为R的球内部装有4个半径为r的小球，则小球的半径的最大值是（用含R的式子表示）.6.袋子A中装有2 张10 元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5 元纸币和3张1元纸币.现随机从2 个袋子中各取出2张纸币，则A中剩下的纸币的面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率是7.设 f(x)=mx+(2n+1)x-m-2(m、n ER,m0)在区间3,4 上至少有一个零点.则m+n的最小值是8.已知等差数列ia,的公差d不为0，等比数列1b，的公比q是小于1的正有理数.12.(13分)如图1,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形,且PA工面ABCD,DE工PC交PC于点E.若aj=d,b,=d,且ai+a+a是正整数，则bi+b2+bsq=9.设z、z,是一对共轭复数.若满足1z-21=/6,且为实数,则12 z,I=10.函数 f(x)=e*-aln(ax-a)+a(a0).若f(x)0恒成立,则实数的取值范围是二、解答题（共8 0 分）11.（13分）ABC的内角A、B、C的对边2a分别为、b、c,已知ABC的面积为3sin A(1)求sin B.sin C;(2)若6 cos B.cos C=1,a=3,求ABC的周长.P11-1AEDBC图1(1)求证：直线PC面BDE；(2）当三棱锥E-BCD的体积取到最大值时,求四棱锥P-ABCD的表面积.13.（13分）已知数列1a，满足对任意正整数n,有a,(2S,-an)=1,其中S,表示数列la,的前n项和.证明：(1)对任意正整数n,有a2Vn；2axX.16.(15分）设函数f()=e*中等数学44(2）对任意正整数n，有a,a0)的焦点，且抛物线C上点P处的切线与圆C2:x+y=1切于点Q.(1)当直线PQ的方程为x-y-V2=0时,求抛物线C,的方程；(2）当正数p变化时，记SI、S,分别为SF P Q、F O Q 的面积,求的最小值。S2(1)若函数f(x)在R上单调递增,求的值.(2)当a1时,(i)证明：函数于(x)有两个极值点/x2(x2),且2 随着的增大而增大;(ii）在（i)的结论下,证明：sin x2-2f(x2)0,Xx2=4,显然0 x2,于是，9-6a+40,13516-8a+4062135故aE624.(0.0).由于直线ax+by-12=0过圆心(0,2)，于是,b=6.设 S(t,-6),A(x,y1),B(x2,2).则 Is:Xjx+(gi-2)(y-2)=16,ls:x2x+(y2-2)(y-2)=16.代人S(t,-6)得Y1UU452023年第4期xit-8yi=0,lAB:t-8y=0.x2t-8y2=0因此直线AB过定点（0,0)5.(V6-2)R.如图3,正四面体ABCD的棱长为2 r，则ABCD的外接球半径为r.2故-r+rR2(V6+2)2R2R=(V6-2)R.V6+2因此,小球的半径r的最大值是(V6-2)R.96.35考虑A中取出2 张纸币的面值之和小于B中取出2 张纸币的面值之和.由于B中取出2 张纸币的面值之和的最大值为10 元，则A中取出2 张纸币中不能包含10 元，而此时B中取出2 张纸币中至少包含1张5 元，从而事件“A中剩下的纸币的面值之和大于B中剩下的纸币的面值之和”的概率是Cs(C3-C:)3(21-3)9P=C.C10213517.100将f(x)整理为关于m、n 的直线方程得(x2-1)m+2xn+x-2=0.1x-21则(/m+n22min(x2-1)2+(2 x)21x-21x2+12当xE3,4时,令t=x-2 E1,2.DOEAB图3t则(Vm+n2+4t+5min1E5t+=+4t因此，当x=3时，m+n的最小值是18.一.2由已知得a,=nd,b,=dq设q=,其中(t,s)=1.S214d?2则+a+abi+b,+bsd?(1+q+)14522S+st+t(s2+st+t)/14.2若s3,则s+st+t?13,矛盾.从而只能s=2,t=1.故q=1.9.V2.由22=2222一Z1Z22+2/2+22=0.则由 1 2 1-z I=(21-z2)(-2)=1z 2+1 z2 1 2-(27+22)=1 z 2+1 z2 1+2/22=31 z,/=61z,I=/2.10.(0,e2).=2时，2(a）则p(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,且p(0)=e,p(e)=0.于是,f(2)00ae2.当0 a0.x-1(x一21中等数学46则f()在区间(1,+)上单调递增,且x1时,f(x)-80,f(2)=e-0,从而a存在xE(1,2)满足f(x)=0,即e=%-1此时f()在区间(1,x)上单调递减,在区间(xo,+)上单调递增.故 f(x)min=f(xo)=e-aln(axo-a)+aaaln(axo-a)+a%-11=a+o+1-2ln a-1a(4-2ln a)0,满足题意.综上,实数aE(O,e)二、11.(1)由题设得12-acsinB一23sin A1sin Asin C.sin B=23sin.A2sin C.sin B=3(2)由（1)得1cos B.cos C-sin B.sin C=cos(B+C):二22元B+C=元A:332a由题设=bcsin A=,知bc=8.23sinA由余弦定理得b+c-bc=9.-bc=9.故b+c=V33.因此，ABC的周长是3+V33.12.（1）已知PA工面ABCD,AC为PC在平面ABCD中的射影,BD工AC.由三垂线定理知PC工BD.又PC工DE，B D 交DE于点D,则PC平面BDE.(2）如图4,设PA=h，A C与BD交于点O,联结OE,设E在平面ABCD中的射影为F.由条件知点F在直线AC上由(1)知PC OE.PEDFBC图4由CAPSCEO 得CO.CA1CE=PCV2+h2由CAPSC F E得CE.CAhEF二PC2+h3.故Ve-BCD11h112+h232262=+hh2242当且仅当二=h即h=V2时，体积取得最大值，h此时四棱锥P-ABCD的表面积是1+V2+V3.13.(1)约定 S。=0.由条件，知对任意正整数n有1=a,(2S,-an)=(S,-Sn-I)(S,+Sn-1n=S22-S2n-1S=nS,=/h(当n=0时也成立)=an=S,-S-,/n+Vn-12/n.因此,对任意正整数n有a,S.S/nn1nn一故必有S.=/n,S.=/n+1,此时，a,=/n/n-1,a+I=/n+1-n.故a,aa+/(/n+/n-1)(/n+1-/n)(/n+1+Vn)(/n+1-Vn)=1.因此,对任意正整数n有a,aa+0)Xy2pP因为kpo=1,所以,0=1,P=p=2V/2.2-2=002p故抛物线C,的方程为x?=4V2y.（2）注意到，点P处的切线方程是20(x-0),2pP即2xgx-2 py-x=0.根据切线与圆相切得d=r，即=1 xg=4x+4p2.4元+4p2由方程组2 xox-2 py-x=0,2+y2=1,2一=Q2px-4x-4p=0则1PQI=V1+k21xp-x0l44+2V2时，即x4当且仅当-44(a+l)x.故(x)4则当x1时,e*由1)有e*x+1x.则X0为极大值点，当xE(0,ln a)时,f()0;由(1)知f(x)minf(ln a)0综上,a=1.IPQId于是，S,中等数学4822226-22Vx+P1+20PP又点F0.P到切线PQ的距离d21P2O21+x2P-212+x2P2P2-22+p24pXo1S,=IOFll xol=P221x01而由x=4x+4p2=4p?=x-4x0=1 x 12.-221xo!22S24pP(c+p)(c-2)2p(4xi+x-4x)(c-2)2(x-4x6)26(-2)-44+32(x-4)2-422/2+3,上式等号成立，此时，P=V2+2V2因此，S的最小值是2/2+3.S216.(1)由题设得f(x)=e*-ax-l,f(x)=e*-a.由题意知(x)0恒成立.当a0时，f(x)0,则f(x)单调递增.又f(0)=0,则当x0时，f(x)0时,令f(x)=0=x=ln.则f(x)在区间(-8,lna)上单调递减,在区间(lna,+8)上单调递增,f(x)mn=f(ln a)=a-a ln a-1(a0).设 g(a)=a-a ln a-1(a0).则g(a)=-ln a.故g(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+8）上单调递减.则 f(ln a)=g(a)g(1)=0.若 ln=0,即=1时,f(x)f(0)=0,符合题意；若ln a0,即a1时,f(lna)4(a+1)时,f(x)0;当xE(ln a,x2)时,f(x)0.因此，x=x2为极小值点.从而，f(）有两个极值点.X2因为f(x2)=0,所以,a=e设h(x)=e+x一则h()=2X引用格式：2 0 2 2 中国数学奥林匹克希望联盟夏令营三）J.中等数学，2 0 2 3（4）：49-5 4.文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 4-0 0 49-0 6中图分类号：G424.79文献标识码：A492023年第4期2022中国数学奥林匹克希望联盟夏令营（三）第一试一、填空题（每小题8 分，共6 4分）一、填空题（每小题8 分，共6 4分）1.计算：sin(arcsin 0.7+arcsin 0.3).元COSarcsin 0.3-arcsin 0.7-.22.设集合A=(1,2),B=(3,4),X=imnlz=+bi,其中EA,bEB,z是实系数方程x+mx+n=0的根.则X中所有元素之和是223.已知椭圆厂1(ab0),其622a左、右焦点分别为F(-c,0)、F(c,0).实数、b、c 依次构成等比数列.设P为上任意一点，I为PFF,的内心，yp、y,分别为点P、I的纵坐标.则业P=4.已知正四面体ABCD的顶点C在平面由(1)知e-*-x+1.则h(x)0,h()单调递增,故xz随着的增大而增大，且x2一x=%2因此，2一x随着的增大而增大.e2-1(ii)由a=2 f(x2)=1-2e22sin x2-2,即证要证(x2)1+2sin2e22内,顶点B在平面内的正投影为0,直线BC与平面所成的角为6 0.当顶点A与点O的距离最大时,直线CD与平面所成角的正弦值是5.已知在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、C，ZA=9 0,边BC上一点D满足BD：D C=c:4b.若AD=1,则b+c的最小值是6.已知数列ia,共有7 项,且a=aja7，S,为ia,的前n项和,满足2 S,=a,+a,(1n7).则满足上述条件的数列ia,共有个7.已知,z,r,为n次首一多项式P()的所有实数根.若P(L)=2 020+2 022 1,则n1arctan r+arctan r2+.+arctan r,=8.将6 6 的方格表中的12 个小方格染2+sin x20.即证2-x2-专2+sin x设(x)=2-x-2+sinx-cos x则(x)=2(cos x-1),20.0()：e故(x)单调递减,且()(0)=0.从而,(x)在区间(0,+)上单调递减,且(x)0(0)=0.因此，命题得证。（曹俊清提供）