造非3的倍数的奇数阶全对称幻方的通元公式和直接填数法.pdf
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1、2024 年 4 月第 45 卷第 2 期湘南学院学报Journal of Xiangnan UniversityApr.,2024Vol.45 No.21造非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的通元公式和直接填数法李超(湘南学院 数学与信息科学学院,湖南 郴州 423000)摘 要:文章利用线性取余变换的有关理论,给出了造任意非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方的一系列通元公式和直接填数法。关键词:线性取余变换;构造:非 3 的倍数的奇数阶全对称幻方;通元公式;直接填数法中图分类号:O156 文献标志码:A DOI:10.3969/j.issn.1672-8173.2024.02.0011 造非 3
2、 的倍数的奇数阶全对称幻方的通元公式文 1 给出了造任意奇数阶幻方的一系列通元公式,本文拟进一步探讨造全对称幻方的通元公式。本文中的记号 k 表示整数 k 除以 n 后所得的正余数,即当所得余数为正数时,k 就表示 kn 所得到的这个余数;而当 kn 所得余数为 0 时,则以 n 来作为这个余数,即此时 kn=。另外,本文也用*k来表示通常意义下 kn 所得的非负余数。因此,当 k 为 n 的倍数时*0knk=,当 k 非 n 的倍数时,*kk=。对于 k 和*k这两个记号,文 1 给出了下列引理。引理 1 ,k Z 有*11kk+=。本文所利用的理论是文 2 中的下列定理及其推论。定理 1
3、设112200,ij 都是定整数,1122111122221221,+都与 n互质,且有011022iiijjjij=+=+(1)()()ijijn nn nMaab=+是一个 n 阶 AB 方,iji jba=,则()ijn nMb=的各行和、列和、泛对角和皆为 S.推论 在定理 1 中,若 M 恰由前 n2个正整数构成,则M 是一个 n 阶全对称幻方。为使通元公式尽可能简单,我们总取 M 为 n 阶自然方阵,即取()()1n nMinj=+。这样一来,我们便有()01102211)(iji jbainjiijnjij+=+=+进而,由于定理和推论中,对00ij,除了它们应该是整数外,别无其
4、他约束条件,故我们恒取0010ij=,于是进一步有*112211221(1)iji jbaijnijnijij=+=+(2)下面我们来探讨1122,n 的取值。若 n 为偶数,则由于1122,都得与 n 互质,故1122,都得为奇数,而当它们全为奇数时,收稿日期:2024-03-20作者简介:李超(1940),男,湖南郴州人,教授,研究方向为组合数学。2湘南学院学报2024 年 4 月(第 45 卷)第 2 期11+,11,22+,22就都变成了偶数,都不与 n 互质了。因此,要想按这一理论造全对称幻方,n 便只能为奇数。又因为最低阶的 3 阶幻方实质上就只一个,且这唯一的 3 阶幻方不是全对
5、称幻方。所以本文中不得不首先总限定 n 为大于 3 的奇数。n 也不能为 3 的倍数的奇数。事实上,当 n 为 3 的倍数时,为使11,与 n 互质,11,都不能为 3 的倍数,而只能为 3t+1 或 3t-1(t 为整数)型的数。而当它们为同一型的数时,11就变成了 3 的倍数;当它们为不同型的数时,11+就变成了 3 的倍数。所以 n 只能为非 3 的倍数的奇数。另外,为使1111+,与 n 互质,11与既不能为同一数,也不能为相反数。同理,22,既不能为同一数,也不能为相反数。为使1221 与 n 互质,11,与22,还应该不成比例。我们基于这些探讨,用表 1 的组合形式,给出较为简单的
6、 16 组数,不难检验,它们满足定理 1 和推论的所有要求。表 1 组合形式参数取值123456789101112131415161222-22-2-2-21111-1-1-1-1111-11-11-1-122-2-222-2-221-1-111-11-12-2-222-22-222-22-2-222-21-11-1-111-111+331-11-1-3-333-1-111-3-311113-33-3-1-1-1-133-3-31122+3-31-1-113-33-3-111-13-322-11-333-3-111-1-333-31-11221 3-333-3-3-33-33-33-333-3
7、按照式(2)和这 16 组数,即可得到如下的 16 个通元公式,按它们中的任意一个,都可以造出任意非3 的倍数的奇数阶全对称幻方,即为公式 1:*2ijbnij=+2ij+;公式 2:*2ijbnij=+2ij;公式 3:*2ijbnij=+2ij+;公式 4:*2ijbnij=+2ij;公式 5:*2ijbnij=+2ij;公式 6:*2ijbnij=+2ij+;公式 7:*2ijbnij=+2ij+;公式 8:*2ijbnij=+2ij;公式 9:*2ijbn ij=+2ij+;公式 10:*2ijbn ij=+2ij;公式 11:*2ijbn ij=+2ij+;公式 12:*2ijbn
8、ij=+2ij;3公式 13:*2ijbnij=+2ij;公式 14:*2ijbnij=+2ij+;公式 15:*2ijbnij=+2ij+;公式 16:*2ijbnij=+2ij。作为具体的例子,我们用公式(1)造一个 7 阶全对称幻方,先按照公式(1)计算各ijb:*117 21b=+1224+=,*127 22b=+14+=33,*137 23b=+1642+=,*147 24b=+1844+=,*157 25b=+1 104+=,*167 26b=+1 1213+=,*177 27b=+1 1415+=,*217 41b=+2239+=,*227 42b=+2448+=,*237 43
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