微分方程在经济中的应用-数学与应用数学本科毕业论文.doc
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1、xx学院本科毕业论文(设计)题目: 微分方程在经济中的应用院(系)理学院专 业数学与应用数学年 级 级姓 名xx学 号 指导教师xx职 称副教授2016年05月03日 目 录摘要.1ABSTRACT.2第一章 微分方程的基本理论.3 1.1微分方程的概念.3 1.2微分方程的解.4第二章 微分方程的经济模型.8 2.1 经济增长模型.8 2.2供需均衡的价格调整模型 . 9 2.3索洛新古典经济增长模型.10 2.4公司资产函数模型.11 2.5新产品的推广模型.12 2.6人才分配模型.13 2.7价格调整模型.14第三章 微分方程在经济中的应用举例.16 3.1商品的需求量(供应量)问题.
2、16 3.2产量、收入、成本及利润问题.18 3.3国民收入问题.20 3.4国民债务问题 .21 3.5流动的收入、消费和投资问题.21 3.6商品存储过程中的腐败问题.22 3.7汽车中的经济问题.22参考文献.25后记.26xxx学院本科毕业论文(设计) 摘 要本文首先把微分方程的基本理论进行了概述,通过对微分方程概念和解的介绍,给下文的微分方程在经济中的应用做了很好的铺垫,在介绍微分方程基本理论的基础上,介绍了微分方程的七种经济模型,并通过对经济模型的求解,解释了相应经济量的意义或规律,结合具体的社会经济实际意义进行了分析和推断。把微分方程应用到社会经济领域中,列举了微分方程在经济中的
3、七个方面的应用。关键词: 微分方程;数学模型;经济增长;应用举例; ABSTRACT In this paper,the basic theory of differential equations are summarized .Based on the differential equations to introduce the concept of reconciliation .Application to differential equation below in the economy have made the very good upholstery.After intro
4、ducing the basic concepts ,seven kinds of mathematical economic models are also presented.To explain the economic quantity corresponding meaning or laws through the solution. then explaining and counting the differential equations.analysis and deduce the concrete reality meaning of social economy.Th
5、en the differential equation is applied to the field of social economy and the seven aspects in the economy of the differential equation. Key words:Differential equation;Mathematic model;Economic growth;Examples of application 第一章 微分方程的基本理论微分方程是伴随着微积分发展起来的,微积分是它的本体,生产生活实践是它的源泉。300年来,微分方程诞生于数学与自然科学进行
6、崭新结合的16、17世纪,成长于生产实践和数学的发展进程,表现出强大的生命力和活力,蕴含着丰富的数学思想方法。微分方程有着深刻而生动的实际背景,它从生产实践与科学技术中产生,而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。随着社会的发展,数学与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识和接受。作为高等数学基础内容之一的微分学,它在经济领域中的应用日益广泛,也是经济工作者和决策者进行实践和研究的重要工具之一。1、1 微分方程的概念 什么是微分方程?在经济应用中能用到哪些关于微分方程的知识?早在一百多年前,马克思就研究了这些问题,那么现在我们是怎样给它定义的呢? 定义1 含有未知函数的
7、导数(或微分)的方程叫做微分方程 定义2 未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程;未知函数是多元 函数,从而出现多元函数的偏导数的方程,叫做偏微分方程。如 就是偏微分方程。 定义3 微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分方程的阶。 定义4 若一个微分方程的阶为,则称这个微分方程为阶微分方程。如 是一阶微分方程,是二阶微分方程。 定义5 如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等,则称此函数为 微分方程的解。 定义6 求微分方程解的过程,叫做解微分方程。 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称为通解。当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的
8、解,这是微分方程的特解。例如是的通解,又如(是任意常数)是的通解,而都是的特解。通常,特解都是由给定的条件代入通解,确定出任意常数的特定值后得到的,这里用来确定特解的条件,叫做初始条件。 一般地,一阶微分方程的初始条件为:;二阶微分方程的初始条件为: 对于形如的微分方程,只要通过逐次积分(次),便可得到通解 例1 求微分方程的通解. 解 将所给方程两边积分一次,得 两边再积分,得 第三次积分,得 因此所求的微分方程的通解为 1、2 微分方程的解微分方程通过结构的不同,大致可以分为以下几类:可分离变量微分方程齐次型微分方程一阶微分方程一阶线性齐次微分方程一阶线性微分方程一阶线性非齐次微分方程微分
9、方程二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程根据经济中所涉及到的微分方程,我们可以给出微分方程不同的解法。 可分离变量微分方程 如果一个一阶微分方程能写成的形式,那么原方程就称为可分离变量微分方程。 称为变量已分离方程。例如是可分离变 量方程。 设,则方程可写成变量已分离的方程,若函数与连续,则两边分别对和积分,得,就为变量可分离方程的通解,其中为任意常数。 齐次微分方程 如果一阶微分方程可写成的形式,则称原方程为齐次微分方程。例如是齐次方程。 引入新的变换,即就可将齐次方程化为变量可分离方程,因为,所以分离变量,得于是得到,将变量还原,便可得原方程的通解。
10、一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性方程。如果,则方程称为一阶线性齐次方程,否则方程称为一阶线性非齐次方程。例如是一阶线性齐次方程。 是一阶线性非齐次方程。 对于一阶线性齐次微分方程 方程是变量可分离的方程,其通解为其中为任意常数。 对于一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程是齐次方程的一般情况,我们 可以设想线性非齐次微分方程有形如的解,但其中为的待定函数,将与代入方程 并整理得,两端积分,得。于是,一阶线性非齐次微分方程的通解为 。二阶常系数线性微分方程 形如其中和为常数,这样的方程称为二阶常系数线性微分方程。 如果,则上述方程称为二阶常系数线性齐次微分方程,否则方程称为二阶常系数
11、线性非齐次微分方程。例如 是二阶常系数线性齐次微分方程; 是二阶常系数线性非齐次微分方程。 求二阶常系数线性齐次微分方程的通解的步骤为:第一步:写出微分方程的特征方程;第二步:求出特征方程的两个根;第三步:据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解。 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解是对应的齐次方程的通解与非齐次方程本身的一个特解之和: 。 第二章 微分方程的经济模型 当今社会,随着经济的全球化和世界金融市场的不断发展,各国已经意识到经济在腾飞中所产生的问题的严重性。英国石油公司曾经在墨西哥湾的原油泄漏,导致附近海域的生态直线下降。曾经美国出台的第二轮量化宽松的货币政策引来各国的一直声
12、讨。再比如以前中国股市的疯狂。事实证明各种经济问题的处理,或者决策的产生,都越来越离不开一种工具数学经济模型。微分方程在经济学中有着广泛的应用,有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型,即以所研究的经济量为未知函数,时间为自变量的微分方程模型,然后求解微分方程,通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律,最后作出预测或决策,下面介绍微分方程在经济学中的几个简单模型。2、1 经济增长模型 国民收入通常分为消费和储蓄两部分,储蓄用于投资,可以增加生产,生产增加后消费、储蓄增加,又可以反过来促进生产,我们记国民收入为 (产出),消费
13、为, 储蓄为, 为边际资本产出比 (即单位边际产出所需资本);为边际储蓄倾向(单位产出产生的储蓄);为边际消费倾向(单位产出用于消费的量);由此我们可以做出基本假设: 产出增长率与资本投入成正比;储蓄全部用于投资; 消费、储蓄比例不变; 产出增长速度与储蓄成正比。 由假设就可以建立模型: 根据假设,代入前式得微分方程这样求出方程的解为:2、2 供需均衡的价格调整模型 设某种商品,它的价格主要由供求关系决定,设供给量与需求均是依赖价格的线性函数当供求平衡时,平衡价格显然当供大于求即时,则价格下降;当求大于供即时,则价格上升。现若价格是时间的函数,在时间时,价格的变化率与此时刻的过剩需求量成正比,
14、即其中为大于的常数,试求价格与时间的函数关系。(设初始价格) 由已知 即 即 其通解为 这里由代入上式,得固所求价格与时间的函数关系为显然当,即价格趋于平衡价格。2、3 索洛新古典经济增长模型 假设储蓄全部转化为投资,即储蓄-投资转化率假设为,投资的规模收益是常数;该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设,采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数。 设为时刻的国民收入,为时刻的资本存量,为时刻的劳动力,索洛曾提出如下的经济增长模型:其中为储蓄率,为劳动力增长率,为初始劳动力 为和的一次齐次函数,称为生产函数。由的前两式,可得令称为资本劳动力比,表示单位劳动力平均占有的资本将代入上
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