浅析RIEMANN积分与LEBESGUE积分的联系和比较省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、答辩人:答辩人:导师姓名:导师姓名:所学专业:数学与应用所学专业:数学与应用数学数学浅析浅析Riemann积分与积分与Lebesgue积分联络和比较积分联络和比较第1页绪论绪论 R R积分与积分与L积分联络和比较积分联络和比较一些相关定理推广及应用一些相关定理推广及应用小结小结论文答辩主要内容第2页1 1绪论绪论 R R积分与积分与L L积分是微积分理论主要组成部分,它积分是微积分理论主要组成部分,它在数学分析和实变函数以及其它科学领域中都占有在数学分析和实变函数以及其它科学领域中都占有主要位置。同时,它又贯通了分析数学许多主要方主要位置。同时,它又贯通了分析数学许多主要方面。面。本本文文从从
2、微微积积分分发发展展过过程程出出发发引引出出了了我我们们已已知知R R积积分分,尽尽管管R R积积分分理理论论比比较较完完善善,但但在在考考虑虑一一些些问问题题时时,我我们们看看到到了了R R积积分分不不足足。于于是是就就有有了了改改造造R R积积分分必必要要性性,从从而而提提出出了了L L 积积分分。第3页2 R2 R积分与积分与L L积分联络和比较积分联络和比较2.1定义比较定义比较 R积分定义以下:积分定义以下:设设 是定义在是定义在 上一个函数,上一个函数,是一个确定实数。是一个确定实数。若对任给正数若对任给正数 ,总存在某一正数,总存在某一正数 ,使得对,使得对 任何分割任何分割 ,
3、以及在其上任意选取点集,以及在其上任意选取点集 ,只要,只要 ,就有,就有 则称则称 在在 上可积或上可积或R R可积;数可积;数 称为在称为在 上定积分或上定积分或R R积分,记为积分,记为 第4页L L积分定义以下积分定义以下:设设 是一个是一个LebesgueLebesgue可测集可测集,是是定定义在义在 上上LebesgueLebesgue可测函数可测函数,又设又设 是有界,是有界,就是说存在就是说存在 及及 使得使得 ,在在 中任取一中任取一分点组分点组 ,记记并任取并任取 (我们约定,当我们约定,当 时,时,)第5页 作和作和 假如对任意分法与假如对任意分法与 任意取法,当任意取法
4、,当 时,时,趋于有限极限,则称它为趋于有限极限,则称它为 在在 上关于上关于L L测度积测度积分,记作分,记作 它们主要区分是:它们主要区分是:R R积分是将给定函数定义域积分是将给定函数定义域分小而产生,而分小而产生,而L L积分是划分函数值域而产生积分是划分函数值域而产生 。前者优点是前者优点是 度量轻易给出,但当分法度量轻易给出,但当分法细度细度 充分小时,函数充分小时,函数 在在 上振幅上振幅 第6页 仍可能较大;后者优点是函数仍可能较大;后者优点是函数 在在 上上振幅振幅 较小,但较小,但 普通不再是区间,而是可测集。其度普通不再是区间,而是可测集。其度量量 值普通不易给出。对定义
5、域与对值域分割值普通不易给出。对定义域与对值域分割是是R R积分与积分与L L积分本质区分,对值域进行分割求积积分本质区分,对值域进行分割求积分方法使分方法使 中点分成几大类,更简单明了。中点分成几大类,更简单明了。第7页 2.2存在条件比较存在条件比较 Riemann可积函数类可由以下三个定理给可积函数类可由以下三个定理给出:出:定理定理1 1 若若 为为 上上连续函数,连续函数,则则 在在 上上可积。可积。定理定理2 2 若若 是是 上上只有有限个间断点有界函只有有限个间断点有界函数,数,则则 在在 上可积。上可积。定理定理3 3 若若 是是 上上单调函数单调函数,则,则 在在 上上可积。
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