协方差和相关系数.ppt

3.3协方差和相关系数,1.定义若E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，则称其为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)或Cov(X,Y),即,Cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)],协方差,2.协方差的计算,3.3.1协方差,离散型随机向量,其中P{X=xi,Y=yj}=piji,j=1,2,3,….,连续型随机向量,3.协方差计算公式,Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y),（1）若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0,注,（2）D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),4.协方差的性质,（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X),（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数,（3）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),（4）当X与Y相互独立时，有Cov(X,Y)=0,例1设二维随机变量的联合分布律为,,其中p+q=1，求相关系数XY．,解由(X,Y)的联合分布律，可得X与Y的边缘分布律为,均为0-1分布，于是有,所以,,求,解因为,同理可得,例2设二维（X，Y）随机变量的密度函数为,由协方差的性质(2)知,协方差取值的大小要受到量纲的影响,为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差,1.定义对于随机变量X和Y,若D(X)≠０,D(Y)≠０,则称,为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）。,当ρXY=0时,称X与Y不相关。,（1）|ρXY|≤1；,（2）|ρXY|=1当且仅当P{Y=aX+b}=1,其中a,b为常数。,相关系数ρXY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。,3.3.1相关系数（标准协方差）,２.性质,证明（1）,,,,,,,即,,,,(2)由方差性质得,成立的充分必要条件为,,而,,,,,,,,,的充要条件是,即,从而,且,,,,于是由:,,得,,这说明X与Y是不相关的,但,显然，X与Y是不相互独立的,例3若X~N(0,1),Y=X2,问X与Y是否不相关？,解因为X~N(0,1),密度函数,为偶函数,所以,解X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度fX(x),fY(y)如下：,例4设(X,Y)服从二维正态分布，求X,Y的相关系数。,1.将一枚不均匀硬币投掷n次，以Ｘ和Ｙ分别表示出现正面和反面的次数，则Ｘ和Ｙ的相关系数为（Ａ）－１；（Ｂ）０；（Ｃ）；(D)1。,2.设随机变量Ｘ和Ｙ独立同分布，记U=X+Y,V=X-Y,则Ｕ和Ｖ（Ａ）不独立；（Ｂ）独立；（Ｃ）相关系数为０；（D）相关系数不为０。,3.设Ｘ是随机变量，Ｙ=aX+b(a≠０),证明：,４.设随机变量Ｘ的概率密度为,求Ｘ与|X|的协方差，问Ｘ和|X|是否不相关，是否相互独立．,练习题,选例1,求ρXY,解E(X)=2,E(Y)=2；,E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；,D(X)=1/2,D(Y)=1/2。,E(XY)=,Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;,选例2设随机变量X的方差D(X)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相关系数ρXY,解,证明(1)因为,同样E(Y)=0,于是ρXY=0，所以X与Y不相关。,选例3已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。,显然，fX(x)fY(y)≠f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。,(2),选例3已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。,