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《概率论与数理统计》补充习题 参考解题过程

第一章
1、 10个考签中有4个难签，3个人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后。证明3人抽到难签的概率相同。
证明：令A，B，C分别表示甲，乙，丙抽到了难签。则
，

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2、 12个乒乓球中有9个新，3个旧，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球中有2个新球的概率。 （0.455）
解：因为第二次取出的3个球中有两个是新的概率跟第一次取出的球的新旧有关，故令
A，B，C，D分别表示第一次取出的三个球有3个旧的，2旧1新，1新2旧和全都新的；令E表示第二次取出的3个球中有2个新球。则

3、 一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时，停机的概率是0.3，加工零件B时，停机的概率时0.4，求这个机床停机的概率。（0.367）
解：令A，B分别表示这个机床在加工零件A和B；用C表示机场停机。则

4、 发报台分别以概率0.6，0.4发出信号“.”和信号“－”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“.”时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信息“.”和“－”；当发出信号“－”时，收报台分别以0.9和0.1收到信号“－”和“.”。求当收报台收到“.”时，发报台确实发出信号“.”的概率，以及收到“－”时，确实发出“－”的概率。（0.923，0.75）
解：令A，B分别表示发报台发出信号“.”和信号“－”；令C，D分别表示收报台收到信息“.”和“－”。则
1）
2）同理可得
5、 两部机器制造大量的同一种机器零件，根据长期资料总结，甲、乙机器制造出的零件废品率分别是0.01和0.02。现有同一机器制造的一批零件，估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲制造的可能性大一倍，现从这批零件中任意抽取一件，经检查是废品。试由此结果计算这批零件是由甲生产的概率。 0.2
解：令A，B分别表示零件由甲，乙生产，C表示零件是废品。
则
6、 加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别是0.9、0.95、0.8。若假定各工序是否出废品为独立的，求经过三道工序而不出废品的概率。 （0.684）
解：令A，B，C分别表示经过第一、二、三道工序不出废品；令D表示经过三道工序而不出废品。则
7、 灯泡使用寿命在1000小时以上的概率是0.2，求3个灯泡在使用了1000小时后，最多坏了1个的概率。（0.104）
解：令A，B分别表示3个灯泡在使用了1000小时后坏了0个和1个，则

8、 某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问的意见，并按照多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率。（0.901）
解： 令A表示某机构对某事作出正确决策，随机变量X表示9个顾问中贡献出正确意见的人数。则

9、 三个人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.2、1/3、0.25。求密码被破译的概率。（0.6）
解： 令这三人为甲，乙，丙，令A，B，C分别表示甲，乙，丙破译此密码，D表示此密码被破译。则。

第二章

二．证明和计算题
1、 证明： 对于任何常数c和随机变量X，都有 D(X)=E(X-c)2－[E(X)-c]2.
证明：由于D(X-c)= E(X-c)2－[E(X)-c]2，又D(X)=D(X-c)，故证毕。
2、 已知随机变量Y是X的函数且Y=sinX。又X的密度函数是，求E(Y)。(0.5)
解：
由于，故sinx在R上是有界量，又，故当时，是无穷小量。由无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量，故得。从而

解得。从而E(Y)＝0.5。

3、已知X的概率密度函数是，
（1）k （2）E(X)
解： 由，得 ，从而k=4.
用分部积分法可得答案。
4、已知X的密度函数是
求 （1）k （2）E(X)
解：，得

解得