六节多元函数微分学几何应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第六节第六节 多元函数微分学几何应用多元函数微分学几何应用一、空间曲线切线与法平面一、空间曲线切线与法平面二、曲面切平面与法线二、曲面切平面与法线第1页一、空间曲线切线与法平面1.设空间曲线 参数方程为：下面来求：第2页按定义，切线是割线极限位置。所以，上任取点我们在曲线附近一点，设它对应于参数，即第3页即对上式取极限，得第4页方向向量切线方向向量也称为曲线切向量。第5页过点 M 且与这点切线垂直平面 由点法式得：点 处法平面方程为法平面：法平面第6页即00第7页设此方程组确定了用隐函数求导法，求出第8页例1 求曲线 x=t,y=t2，z=t3在点(1,1,1)处切线及法平面方程.解123即第9页在点(1,2,1)处切线及法平面方程.解设方程组例2 求曲线确定了等式两边对 x 求导，得即第10页解得=第11页10即第12页二、曲面切平面与法线在曲面 上，经过点 M任意引一条曲线 ，设 参数方程为不全为0.第13页则(*)(链锁法则)第14页由链锁法则，得=(*)式变为=0(#)令又则(#)式可写为第15页这表明：切平面法向量为第16页切平面方程为+法线：法线方程为第17页即令则=即第18页用隐函数求导法 由前两式求出再由第三式得第19页4、曲面法向量方向余弦 若用 表示曲面法向量方向角，假定法向量方向向上，即 为锐角.则法向量方向余弦为:第20页例3 求球面 在点(1,2,3)处切平面及法线方程.解:，即第21页法线方程为即246第22页例4 求旋转抛物面 在点(2,1,4)处切平面及法线方程.解:法线方程为，=即42第23页全微分几何意义平面切平面曲面第24页作业P100，4-8,10,12补充题：求曲面上对应点处切平面及法线方程。第25页