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具比例时滞四元数值中立型C...berg神经网络稳定性分析_陈展衡.pdf
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1、2023 年 3 月伊犁师范大学学报(自然科学版)Mar.2023第 17 卷 第 1 期Journal of Yili Normal University(Natural Science Edition)Vol.17 No.1具比例时滞四元数值中立型Cohen-Grossberg神经网络稳定性分析陈展衡1,2(1.伊犁师范大学 数学与统计学院,新疆 伊宁835000;2.伊犁师范大学 应用数学研究所,新疆 伊宁835000)摘要:主要研究具比例时滞四元数值中立型Cohen-Grossberg神经网络的稳定性.通过利用M-矩阵理论、同胚映射原理、Lyapunov函数、线性矩阵不等式等技术,得到
2、了系统平衡点的存在唯一性和全局指数稳定性的充分条件;最后通过数值仿真验证所得结果的有效性和正确性.关键词:四元数;比例时滞;中立型Cohen-Grossberg神经网络;稳定性中图分类号:O175.13文献标识码:A文章编号:2097-0552(2023)01-0001-080引言引言Cohen-Grossberg(C-G)神经网络是由Cohen和Grossberg两人提出,并且C-G神经网络在神经处理系统中发挥着重要的作用,广泛应用于实际问题中,如图像处理、并行计算、模式识别、优化和控制等.由于其应用的广泛性,学者们纷纷对此进行研究.四元数是超复数,包含1个实部和3个独立的虚部,可以完美地拟
3、合三维和四维特征向量,例如图像处理中的(R,G,B)通道或空间坐标的三维特征.因此四元数神经网络(QVNN)也成为近期相关研究领域中的一个热点.文献 1 对四元数做了一些综述.文献 2 对一类具有不可微分时滞的四元数域神经网络的全局稳定进行研究,该文献将QVNN系统分解为2个CVNN系统进行研究.文献 3,4 同样也将QVNN分解为2个CVNN系统研究.文献 5 将QVNN分解为4个RVNN.文献 9 利用四元数代数性质推导四元数值C-G神经网络系统平衡点的稳定性.文献 10 采用了一种最优算法确定不同四元数的大小,从而解决了一类惯性四元数值 Cohen-Grossberg 神经网络的同步和状
4、态估计问题.以上研究主要集中在四元数值神经网络的研究上,而四元数内的中立型C-G神经网络研究还很少,这也是本文的研究动机之一.由于实际应用的复杂性,时滞不可避免地存在,而比例时滞是一种特殊的时滞情况,它比一般的时滞系统具有更广泛的应用价值,比例时滞系统的研究同样也是近十年兴起的一个热点.比例时滞是时滞中特殊的一类时滞,具有很强的无界性.文献 11 研究了一类具比例时滞的Hopfield神经网络的全局渐近稳定性.文献 12 研究了一类具比例时滞的细胞神经网络的全局渐近稳定性.文献 14 研究了一类具比例时滞脉冲二阶Hopfield神经网络的全局指数稳定性.而应用到四元数域内的研究很少.收稿日期:
5、2022-08-18基金项目:国家自然科学基金资助项目(61663045).作者简介:陈展衡(1975),男,新疆伊宁人,副教授,研究方向:神经网络理论及应用.伊犁师范大学学报(自然科学版)2023年基于以上文献研究,本文拟研究具比例时滞四元数值中立型Cohen-Grossberg神经网络的一些稳定性特性.1预备知识预备知识1.1四元数的定义及性质R,C,Q分别代表实数域、复数域、四元数域.四元数的定义是跟实数域相结合的,1个四元数可以表示成下面的形式:h=h0+h1i+h2j+h3k,h Q.其中系数h0,h1,h2,h3 R,并且虚数单位i,j,k满足条件:i2=j2=k2=ijk=-1,
6、ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j,显然四元数不满足乘法交换律.四元数h=h0+h1i+h2j+h3k的共轭用h*表示,定义如下:h*=h0-h1i-h2j-h3k.h的模用|h=h02+h12+h22+h32表示;h的范数用 h=h02+h12+h22+h32表示.对于矩阵A,AT,A,A*分别代表矩阵的转置、共轭、共轭转置.若A=()apqn n Qn n,则A的范数为 A=p=1nq=1n|apq2.1.2模型描述具比例时滞四元数值中立型C-G神经网络系统x?()t+Ex?()qt=()x()t()-()x()t+Af()x()t+Bg()x(qt+U.(1)其 中,x
7、?()=()x?1(),x?2(),x?n()T Qn代 表 神 经 网 络 状 态 变 量,()x()t=diag()1(),2(),n()Qn代表放大函数,()=()1(),2(),n()T Qn代表固有函数,f()=()f1(),f2(),fn()T Qn,g()=()g1(),g2(),gn()T Qn分别代表有时滞和无时滞的激活函数,U=()u1,u2,unT Qn代表外部输入,E=()epqn n Qn n代表中立型时滞连接权重,A=()apqn n Qn n,B=()bpqn n Qn n分别表示无时滞和有时滞连接权重,比例时滞因素q:0q1,并且满足qt=t-()1-qt,qt
8、为C-G神经网络的比例时滞.系统(1)的初始状态为:x()s=w()s Q,qs1.1.3模型假设为保证文章的有效性和连贯性,现给出本文中用到的假设和引理:假设1设f(),g()满足在四元数域内,则对于任意的,Q,存在L1 0,L2 0,有|f()-f()L1|-,|g()-g()L2|-.假设2()满足,存在W 0,有|W|-|()-().假设3()x()t连续有界,D1()x()tD2.引理17如果f()v:Qn Qn是1个连续的映射,且满足下面2个条件:(1)f()v 在Qn上是单射.(2)若 v+,则f()+,就说f()是Qn自身的同胚.引理25对于矩阵P=()pijn n Rn n,
9、如果所有非对角元数pij0,i j,以下的陈述是等价的:(1)P为M矩阵;(2)P各阶顺序主子式均为正;2陈展衡:具比例时滞四元数值中立型Cohen-Grossberg神经网络稳定性分析第1期(3)存在 Rn 0,使得P 0;(4)P的所有特征根的实部为正.引理39对任意的x,y Qn,存在正定的Hermitian矩阵P Qn n,有x*y+y*xx*Px+y*P-1y.引理48设A Qn n,对任意的x,y Qn,以下不等式成立:x*A*Ax|xT|AT|A|x,x*A*y+y*Ax|xT|AT|y+|yT|A|y.2主要结论主要结论在这一部分,首先证明具比例时滞四元数值中立型C-G神经网络
10、存在唯一的平衡点,其次证明系统平衡点具有全局指数稳定性.定理1在假设 12成立的情况下,如果=|W-|A L1-|B L2,是 M 矩阵,则系统(1)存在唯一的平衡点.证明:设H()z=-()z+Af()z+Bg()z+U.(2)首先证明单射,存在z1 z2,有H()z1-H()z2=-()z1+Af()z1+Bg()z1+()z2-Af()z2-Bg()z2()|A L1+|B L2-|W|z1-z2,又=|W-|A L1-|B L2,是非奇异M矩阵,当且仅当z1=z2时,H()z1=H()z2,所以H()z 是单射.下证当 z 时,H()z:z*()H()z-H()0+()H()z-H()
11、0*z=2Rez*(H(z)-H(0)=2Rez*(-(z)+(0)+Af(z)-Af(0)+Bg(z)-Bg(0)2Re(-|W+|A L1+|B L2)|z2-2min()z2.因此2min()z22 zH()z-H()02 z()H(z)+H(0).所以当 z 时,H()z,则H()z是Qn自身的同胚.定理1证毕.注1设x?是系统(1)的平衡点,令y=x-x?,就可以得到以下四元数值中立型C-G神经网络模型:y?()t+Ey?()qt=()y()t()-()y()t+Af()y()t+Bg()y(qt).(3)其中()y()t=()y()t+x?,()y()t=()y()t+x?-()x
12、?,f()y()=f()y()+x?-f()x?,g()y()=g()y()+x?-f()x?.接下来进一步研究平衡点的稳定性:定理2在假设成立的条件下,如果存在正定的对角矩阵P1,P2,R1,R2,Q1,Q2以及0,使得下面的LMI成立:3伊犁师范大学学报(自然科学版)2023年=|11|WT|D2TQ10|WT|D2TQ2+P1|EP1|D2T|AP1|D2T|B*-QT1-Q10QT1|E-Q2QT1|D2T|AQT1|D2T|B*-qP2000*-QT2|E-|ETQ2QT2|D2T|AQT2|D2T|B*-R10*-qR2 0,(4)其中11=-|WT|D1TP1-P1|D1|W+L
13、1R1L1+L2R2L2+P1+P2,则系统(3)是全局指数稳定的.证明:设李雅普洛夫函数为V()t=ety*()t P1y()t+qttesy*()s P2y()s ds+qttesg*()y()sR2g()y()sds,(5)对(5)求导得V?()t=ety*()t P1y()t+ety?*()t P1y()t+ety*()t P1y?()t+ety*()t P2y()t-qeqty*()qt P2y()qt+etg*()y()tR2g()y()t-qeqtg*()y(qt)R2g()y(qt)=ety*()t P1y()t-et*()y()t*()y()tP1y()t+etf*()y()
14、tA*()y()tP1y()t+etg*()y(qt)B*()y()tP1y()t-ety?*()qt E*P1y()t-ety*()t P1()y()t()y()t+ety*()t P1()y()tAf()y()t+ety*()t P1()y()tBg()y()qt-ety*()t P1Ey?()qt+ety*()t P2y()t-qeqty*()qt P2y()qt+etg*()y()tR2g()y()t-qeqtg*()y()qtR2g()y(qt),(6)又存在正定的对角矩阵R1,R2,使得下列不等式成立:ety*()t L1R1L1y()t-etf*()y()tR1f()y()t0,
15、(7)ety*()t L2R2L2y()t-etg*()y()tR2g()y()t0.(8)且对于系统(2)有0=()etQ1y?()t+eqtQ2y?(qt)*()y?()t-y?()t+()y?()t-y?()t*()etQ1y?()t+eqtQ2y?(qt)=-ety?*()t QT1y?()t-ety?*()t QT1Ey?()qt-ety?*()t QT1()y()t()y()t+ety?*()t QT1()y()tAf()y()t+ety?*()t QT1()y()tBg()y(qt)-eqty?*()qt QT2y?()t-eqty?*()qt QT2Ey?()qt-eqty?*
16、()qt QT2()y()t()y()t+eqty?*()qt QT2()y()tAf()y()t+eqty?*()qt QT2()y()tBg()y(qt)-ety?*()t Q1y?()t-ety?*()qt E*Q1y?()t-et*()y()t*()y()tQ1y?()t+etf*()y()tA*()y()tQ1y?()t+etg*()y()qtB*()y()tQ1y?()t-eqty?*()t Q2y?()qt-eqty?*()qt E*Q2y?()qt-eqt*()y()t*()y()tQ2y?()qt+eqtf*()y()tA*()y()tQ2y?()qt+eqtg*()y()q
17、tB*()y()tQ2y?()qt,(9)综合(5)(9)可得V?()t ety*()t P1y()t-et*()y()t*()y()tP1y()t+etf*()y()tA*()y()tP1y()t+etg*()y()qtB*()y()tP1y()t-ety?*()qt E*P1y()t-ety*()t P1()y()t()y()t+ety*()t P1()y()tAf()y()t+ety*()t P1()y()tBg()y()qt-ety*()t P1Ey?()qt+ety*()t P2y()t-qeqty*()qt P2y()qt+etg*()y()tR2g()y()t-qeqtg*()y
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