半区间上D.H.Lehmer问题余项的一种均值_刘晓莹.pdf
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1、西北大学学报(自然科学版)年 月,第 卷第 期,()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金()第一作者:刘晓莹,女,陕西汉中人,从事数论及其应用研究。通信作者:徐哲峰,男,陕西西安人,教授,从事数论及其应用研究,。数论半区间上 问题余项的一种均值刘晓莹,徐哲峰(西北大学 数论及其应用研究中心,陕西 西安)摘要 半区间上 问题余项的分布性质,有助于研究整数及其逆的分布。该文讨论了半区间上 问题余项(,)在不完整区间上的一种均值分布性质。利用(,)与 函数的关系以及 函数的一些均值性质,给出了(,)一种均值的几个较强的渐近公式,结合文献中的结论,可以看出这两种区间上 问题余项的相消性有显著的差异。该
2、结果不仅扩充了半区间上 问题余项的研究内容,而且有助于该领域研究工作的进一步展开。关键词 半区间上 问题;余项;函数;均值;相消性中图分类号:.:,(,)(,)(,),(,),;设 和是两个整数,且(,)。对每一个满足 的整数,存在唯一的 满足(,)对于 为奇素数和 ,建议研究(,)的值或者至少给出它的一些非平凡结论。对 提出的问题,证明了(,)()()。令(,)(,)(),还证明了余项(,)的平方均值,并给出渐近公式(,)()()。等研究了余项(,)的一种均值,证明了下面的渐近公式 (,)(),(,)()。而如果非负整数 ,有 (,)(),由此揭示了完整区间上 问题,即经典 问题余项相消性随
3、参数 的不同有着非常显著的变化。作为经典 问题的延伸,等引入了半区间上的 问题。设 为奇素数,(,),令(,)表示同余式 ()满足 ,和 的解(,)的个数。文献 给出了(,)的值,即(,)()()。令(,)(,)(),等还研究了余项(,)的平方均值,给出了渐近公式(,)()。与文献 中关于完整区间上 问题余项类似,本文讨论半区间上 问题余项的一种均值,给出了定理。定理 设 为素数,则有渐近公式 (,)(),(,)(),(,)(),(,)()。对于非负整数 ,有 (,)(),其中,常数只依赖于任意小的正数,而常数依赖于 和。从定理 的结论来看,对于不同的参数,半区间上 问题余项的这种双参数均值的
4、主项各不相同,但均不为。而文献 中对于完整区间上 问题余项的相同形式的均值仅在 ,时其主项不为,取其他非负整数时主项均为。从这些结论可以看出,这两种区间上 问题余项的相消性有显著的差异。若干引理为方便定理 的证明,本节先给出 个引理。引理设 为奇素数,则对满足(,)的任意正整数,有(,)()()?()()(?()()(,?)()()?()?()()(,?)()。式中(),();(),()。证明过程可参考文献 中的引理.。引理设 为素数,为任意给定的整数,则有()()(,)()()西北大学学报(自然科学版)第 卷和()?()(,)()()。证明过程可参考文献 中的引理.。引理 设 为一个奇数,为
5、模 的原特征且满足()。则有()?()?()()(,?)。证明过程可参考文献 中的引理.。引理 设 为奇整数,为模 的原特征且满足(),则下述等式成立。()?()()(,?),式中,表示模为 的原特征。证明过程可参考文献 中的引理.。引理 设 和 是满足 和(,)的整数,有如下性质()(,)()()和()()()。式中:()表示所有模 的原特征的和;()表示模 的原特征的个数。证明过程可参考文献 中的引理。引理设 为奇整数,为一个给定的整数,则对任意满足 的复变量,有恒等式(,)()()(,)()()(,)。式中,(,)()。证明过程可参考文献 中的引理.。引理设 为奇整数,为模的特征,表示模
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