函数二函数的极限三函数的连续市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

n一一 函数函数n二二 函数极限函数极限n三三 函数连续性函数连续性第1页1.1.1 常量与变量常量与变量 常量：在某一改变过程中不改变，保持一定数值常量：在某一改变过程中不改变，保持一定数值 量叫做常量。量叫做常量。变量：在某一改变过程中改变，能够取不一样数值变量：在某一改变过程中改变，能够取不一样数值 量叫做变量。量叫做变量。常量与变量划分是相正确。常量与变量划分是相正确。第2页定义定义1：设：设x 和和 y 为同一过程两个变量为同一过程两个变量，若对非空数集，若对非空数集D 中任一中任一x（记为（记为 ），在数集，在数集M中存在中存在 y （记为（记为 ）按一定法则）按一定法则 f 有有 唯一确定唯一确定 值与之对应，则称值与之对应，则称 f 是定义在是定义在D上上函数函数。记作记作 y=f y=f(x x)数集数集D称为该函数称为该函数 定义域定义域，x 叫做叫做自变量，自变量，y 叫做叫做因变量。因变量。自变量取自变量取 时函数值时函数值 记成记成 、或或 1.1.2 函数概念函数概念第3页全体函数值集合全体函数值集合 称为函数值域。称为函数值域。第4页 函数两个要素函数两个要素 函数函数对应法则对应法则对应法则对应法则和和定义域定义域定义域定义域称为函数两个要素称为函数两个要素.（）对应法则）对应法则 第5页第6页分段函数：在定义域不一样部分内用不一样解析式分段函数：在定义域不一样部分内用不一样解析式 表示函数，称为分段函数。表示函数，称为分段函数。分段函数分段函数第7页符号函数符号函数第8页第9页第10页1.1.3 函数表示方法函数表示方法 （1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间函数关系。）解析法：用数学公式或方程来表示变量间函数关系。（2）列表法：把一系列自变量值及其对应函数）列表法：把一系列自变量值及其对应函数 值列成一个表格来表示函数关系。值列成一个表格来表示函数关系。（3）图象法：用坐标平面内图形（普通是曲线）表示）图象法：用坐标平面内图形（普通是曲线）表示 变量间函数关系。变量间函数关系。板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间关系板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间关系18.1818.1815.4515.4512.2712.274.554.55含量被破坏百含量被破坏百含量被破坏百含量被破坏百分比分比分比分比 y y 128 128 96 96 64 64 32 32保温时间保温时间保温时间保温时间x x(h h)第11页1.1.4 几个特殊函数性质几个特殊函数性质（1）奇偶性）奇偶性 设函数设函数 f(x)定义域为定义域为对称区间对称区间（-L,L）（也能够）（也能够 是是-L,L,（，），假如对于定义域任），假如对于定义域任 一一 x 都满足都满足f(x)=f(x)（f(x)=f(x)），），则称函数则称函数 f(x)为奇函数（或偶函数）。为奇函数（或偶函数）。第12页（2）单调性）单调性 若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上有定义，假如对于区间上有定义，假如对于区间 I 上上 任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，有时，有 ，则称函数，则称函数 f(x)在区间在区间 I 上单调增加（单调递减）。上单调增加（单调递减）。单调递增或单调递减函数统称为单调函数。单调递增或单调递减函数统称为单调函数。第13页 （3）有界性）有界性 设函数设函数 y=f(x)定义在区间定义在区间(a，b)上，若存在上，若存在 一个常一个常 数数 k，使得当使得当 x (a，b)时，恒有时，恒有 成立，则称成立，则称f(x)在在(a，b)有上界（下界）。有上界（下界）。若若 f(x)在在(a，b)现有上界又有下界，现有上界又有下界，则称则称f(x)在在(a，b)上有界。上有界。假如函数假如函数 f(x)在其定义域内有界，则称在其定义域内有界，则称f(x)为有界函数。为有界函数。第14页（4）函数周期性）函数周期性 设有函数设有函数 f(x)，假如存在一个不为零数，假如存在一个不为零数 T，使得对于定义域任一实数使得对于定义域任一实数 x，都有，都有 f(x+T)=f(x)则称则称 f(x)周期函数，周期函数，T 为函数周期。为函数周期。第15页1.1.5 反函数反函数 设函数设函数 y=f(x)定义域为定义域为 D，值域为，值域为 M。如对于任意如对于任意 y M，有，有x D，使得，使得f(x)=y，则变量则变量 x 是变量是变量 y 函数，其对应规则记作函数，其对应规则记作 。这个定义在这个定义在 M 上函数上函数 ，称它为函数，称它为函数 y=f(x)反函数，而反函数，而 y=f(x)称为直接函数。称为直接函数。第16页函数表示式函数表示式 反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数 三角函数三角函数三角函数三角函数 对数函数对数函数对数函数对数函数 指数函数指数函数指数函数指数函数 幂函数幂函数幂函数幂函数 常数函数常数函数常数函数常数函数 函数名称函数名称函数名称函数名称1.2.1 1.2.1 基本初等函数基本初等函数第17页 这六种函数统称为基本初等函数，这些函数性质、图这六种函数统称为基本初等函数，这些函数性质、图形必须熟悉形必须熟悉 1.2.2 1.2.2 复合函数复合函数 两个函数两个函数 f 与与 g 组成复合函数关键在于内函数组成复合函数关键在于内函数值域要包含在外函数定义域中。值域要包含在外函数定义域中。第18页 例例2 2 分析以下复合函数结构：分析以下复合函数结构：三、初等函数三、初等函数第19页若数列若数列及常数及常数 a 有以下关系有以下关系:当当 n N 时时,总有总有记作记作此时也称数列收敛此时也称数列收敛,不然称数列发散不然称数列发散.几何解释几何解释:即即或或则称该数列则称该数列极限为极限为 a,1.3.1 数列极限数列极限第20页邻域邻域第21页OK!OK!N N找找到了！到了！nN目：NO,NO,有些有些点在点在条形条形域外域外面！面！第22页Ne 越来越小，N越来越大！第23页比如比如比如比如,趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散第24页第25页第26页第27页目标不惟一！第28页例例例例1.1.已知已知已知已知证实数列证实数列极限为极限为1.证证:欲使欲使即即只要只要所以所以,取取则当则当时时,就有就有故故第29页例例例例2.2.设设设设证实等比数列证实等比数列证证:欲使欲使只要只要即即亦即亦即所以所以,取取,则当则当 n N 时时,就有就有故故极限为极限为 0.第30页一、自变量趋于有限值时函数极限一、自变量趋于有限值时函数极限自变量改变过程六种形式自变量改变过程六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数极限二、自变量趋于无穷大时函数极限本节内容本节内容:1.3.2 函数极限 第31页1.自变量趋于无穷大时函数极限自变量趋于无穷大时函数极限定义定义2.设函数设函数大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若则称常数则称常数时极限时极限,几何解释几何解释:记作记作直线直线 y=A 为曲线为曲线水平渐近线水平渐近线A 为函数为函数第32页这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上不论x是趋于 ，还是趋于 ，反应在圆周上显示是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同点顶点！第33页例例例例 证实证实证实证实证证:取取所以所以注注:就有就有故故欲使欲使即即第34页直线直线 y=A 仍是曲线仍是曲线 y=f(x)渐近线渐近线.两种特殊情况两种特殊情况两种特殊情况两种特殊情况:当当时时,有有当当时时,有有几何意义几何意义:比如，比如，都有水平渐近线都有水平渐近线都有水平渐近线都有水平渐近线又如，又如，第35页2.自变量趋于有限值时函数极限自变量趋于有限值时函数极限1.时函数极限定义时函数极限定义引例引例.测量正方形面积测量正方形面积.面积为面积为A)边长为边长为(真值真值:边长边长面积面积直接观察值直接观察值间接观察值间接观察值任给精度任给精度 ,要求要求确定直接观察值精度确定直接观察值精度 :第37页定义定义1.设函数设函数在点在点某去心邻域内有定义某去心邻域内有定义,当当时时,有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时极限时极限,或或即即当当时时,有有若若记作记作几何解释几何解释:极限存在极限存在函数局部有界函数局部有界这表明这表明:第38页 目标：对任意e0,要找d0，使得0|x-x0|d 时，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x)0,要找d0，使得0|x-x0|d时，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x)0,一切满足不等式一切满足不等式 x,总有总有则称函数则称函数当当时为无穷大时为无穷大,使对使对若在定义中将若在定义中将 式改为式改为则记作则记作(正数正数 X),记作记作总存在总存在第49页注意注意注意注意:1.无穷大不是很大数无穷大不是很大数,它是描述函数一个状态它是描述函数一个状态.2.函数为无穷大函数为无穷大,必定无界必定无界.但反之不真但反之不真!比如比如,函数函数当当但但所以所以时时,不是无穷大不是无穷大!第50页三、无穷小与无穷大关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2.在自变量同一改变过程中,说明:第51页无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1.有限个无穷小和还是无穷小有限个无穷小和还是无穷小.说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!比如，比如，有限个无穷小之差仍为无穷小有限个无穷小之差仍为无穷小.第52页定理定理定理定理2.2.有界函数与无穷小乘积是无穷小有界函数与无穷小乘积是无穷小有界函数与无穷小乘积是无穷小有界函数与无穷小乘积是无穷小.推论推论 1.常数与无穷小乘积是无穷小常数与无穷小乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小乘积是无穷小有限个无穷小乘积是无穷小.第53页例例例例.求求求求解解:利用定理利用定理 2 可知可知说明说明:y=0 是是渐近线渐近线.第57页 第一章第一章 都是无穷小都是无穷小,引例引例.但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 速度是多样速度是多样.无穷小比较第58页定义定义定义定义.若若则称则称 是比是比 高阶无穷小高阶无穷小,若若若若若若若若或或设设是自变量同一改变过程中无穷小是自变量同一改变过程中无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶无穷小低阶无穷小;则称则称 是是 同阶无穷小同阶无穷小;则称则称 是关于是关于 k 阶无穷小阶无穷小;则称则称 是是 等价无穷小等价无穷小,记作记作第59页第63页1.4.1 函数极限运算法则则有定理 1.（1）若第64页（2 2）若若若若则有则有说明说明:可推广到有限个函数相乘情形可推广到有限个函数相乘情形.推论推论 1.(C 为常数为常数)推论推论 2.(n 为正整数为正整数)第65页（3 3）若若若若且且 B0,则有则有第66页例例1第70页这是因为分子、分母都包含着在这是因为分子、分母都包含着在 x=2时为零因子时为零因子 x2。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求极限。极限。解解 原式原式=例例2 求求注注 此题中若将此题中若将 x=2代入分子、分母，则得到代入分子、分母，则得到无意义式子无意义式子 ，第71页例例3 解解 当当 时，时，分母都趋于零，原分母都趋于零，原式式 出现出现“”形式，两项均不存形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。变换一下形式。原式原式=（消去零因子）（消去零因子）第72页解解 原式原式=解解 当当 时，分母极限为时，分母极限为0，不能直接使用，不能直接使用极限运算法则，若将分子有理化极限运算法则，若将分子有理化例例4 求求第73页例例例例5.5.求求求求解解:x=1 时时分母分母=0,分子分子0,但因但因第74页例例例例6.6.求求求求解解:时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“抓大头抓大头”原式原式第75页普通有以下结果：普通有以下结果：普通有以下结果：普通有以下结果：为非负常数为非负常数)第76页例例例例7.7.求求求求解解 原式原式=第77页思索及练习思索及练习1.是否存在是否存在?为何为何?答答:不存在不存在.不然由不然由利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知存在存在,与已知条件与已知条件矛盾矛盾.解解:原式原式2.问问第80页1.1.函数极限存在夹逼准则函数极限存在夹逼准则函数极限存在夹逼准则函数极限存在夹逼准则且且1.4.3 两个主要极限2.2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限第81页圆扇形圆扇形AOB面积面积二、二、两个主要极限两个主要极限 证证:当当即即亦即亦即时，时，显然有显然有AOB 面积面积AOD面积面积故有故有注注第82页例例例例1.1.求求求求解解:第84页例例2.2.求求解:原式=第85页2.2.例例例例1.1.求求求求解：原式解：原式第86页两个主要极限两个主要极限或注:代表相同表示式第88页思索与练习填空题 (14)第89页二、二、函数间断点函数间断点 一、一、函数连续性定义函数连续性定义 第一章第一章 第90页第91页对自变量增量对自变量增量对自变量增量对自变量增量有函数增量有函数增量第92页第93页可见可见,函数函数在点在点一、一、函数连续性定义函数连续性定义定义定义:在在某邻域内有定义某邻域内有定义,则称函数则称函数(1)在点在点即即(2)极限极限(3)设函数设函数连续必须具备以下条件连续必须具备以下条件:存在存在;且且有定义有定义,存在存在;第94页第95页若若在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续,或称它为该区间上连续函数或称它为该区间上连续函数.第96页对自变量增量对自变量增量对自变量增量对自变量增量有函数增量有函数增量左连续左连续右连续右连续当当时时,有有函数函数在点在点连续有以下等价命题连续有以下等价命题:第97页在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理1.在某点连续有限个函数经有限次和在某点连续有限个函数经有限次和,差差,积积,(利用极限四则运算法则证实利用极限四则运算法则证实)商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续函数结果仍是一个在该点连续函数.比如比如,1.5.3 初等函数连续性第98页定理定理定理定理2.2.连续函数复合函数是连续连续函数复合函数是连续连续函数复合函数是连续连续函数复合函数是连续.证证:设函数设函数于是于是故复合函数故复合函数且且即即第99页初等函数连续性初等函数连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数复合函数连续连续函数复合函数连续一切初等函数一切初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续比如比如,连续区间为连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)第100页例例例例1.1.求求求求解解:原式原式第101页第102页在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在第103页1.在x0 及其附近定义;2.极限存在第104页第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点第105页第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点无定义无定义、值太高值太高、值太低值太低跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点第106页哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我我掉下去了掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.第107页哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我我掉下去了掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.恰好恰好，连上了，连上了，我和其它点连上我和其它点连上了！了！第108页哎呀哎呀,太高太高了了!够不够不着，又有个着，又有个洞洞,我我还是掉下去了还是掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.恰好恰好，连上了，连上了，我和其它点连上我和其它点连上了！了！第109页哎呀哎呀,太低太低了了!跳不跳不上去，唉，只能上去，唉，只能在下面呆着了在下面呆着了!注意到：这种间断点称为可去间断点.恰好恰好，连上了，连上了，我和其它点连上我和其它点连上了！了！第110页哎呀哎呀,前不着村，后不前不着村，后不着店，就是能单边撑着店，就是能单边撑着，也靠不住啊，着，也靠不住啊，我我还是掉下去了还是掉下去了!注意到：这种间断点称为跳跃间断点.这点放哪儿能接上呢？第111页哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点第112页：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！这种间断点称为震荡间断点。第113页一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 1.5.4 闭区间上连续函数性质 第一章 第114页一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续函数在闭区间上连续函数即即:设设则则使使值和最小值值和最小值.在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证实略证实略)第115页比如比如,无最大值和最小值无最大值和最小值 第116页推论推论推论推论.由定理由定理 1 可知有可知有证证:设设上有界上有界.二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理零点定理)最少有一点最少有一点且且使使(证实略证实略)在闭区间上连续函数在该区间上有界在闭区间上连续函数在该区间上有界.第117页定理定理定理定理3.(3.(介值定理介值定理介值定理介值定理)设设 且且则对则对 A 与与 B 之间任一数之间任一数 C,一点一点使使最少有最少有第118页有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.3.闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提醒:第130页1当时，较(A)等价无穷小量 (B)同阶无穷小量(B)(C)低阶无穷小量 (D)高阶无穷小量是 （）课堂测验课堂测验第137页2以下各式中正确是 （）B C D A第138页3无穷小量是（）A 比零稍大一点一个数 B 一个很小很小数C 以零为极限一个变量 D 数零4.已知已知，则则a=_。5.计计算算第139页