一阶常微分方程初值问题的数值方法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一阶常微分方程初值问题数值方法-单步法泰山学院信息科学技术系第1页一阶常微分方程初值问题普通形式是:第2页称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz条件是指:第3页利用Picard迫近轻易证实:Th1 若f(x,y)在区域D上连续,且对y满足Lipschitz条件,则初值问题(1)在a,b上存在唯一连续可微解y.第4页利用Gronwall不等式易证解连续依赖于初值条件:第5页一.Euler方法第6页局部截断误差第7页Euler方法局部截断误差第8页二.改进Euler方法第9页改进Euler方法局部截断误差第10页第11页整体截断误差第12页第13页第14页8.1.2 一阶常微分方程初值问题一阶常微分方程初值问题Runge-Kutta方法方法考虑一阶常微分方程初值问题第15页将区域a,b进行分划：第16页若则第17页第18页n级显式Runge-Kutta方法第19页n级显式Runge-Kutta方法第20页二级Runge-Kutta方法取n=2记第21页由此得第22页其次第23页为使局部截断误差为 ,应取第24页改进Euler方法取第25页中点方法取 第26页二阶Heun方法取 第27页n级显式Runge-Kutta方法第28页二级Runge-Kutta方法取n=2记第29页由此得第30页其次第31页为使局部截断误差为 ,应取第32页改进Euler方法取第33页中点方法取 第34页二阶Heun方法取 第35页二级Runge-Kutta方法不超出二阶记则第36页所以局部截断误差只能到达第37页三级Runge-Kutta方法取n=3第38页记第39页第40页又因为第41页所以要使局部截断误差为O(h4)，必须 第42页Kutta方法取第43页三阶Heun方法取第44页三级Runge-Kutta方法不超出三阶完全类似于二级Runge-Kutta方法分析 将 和 都展开到 项 易证三级Runge-Kutta方法局部截断误差只能到达第45页四级R-K方法取n=4第46页第47页经典R-K方法局部截断误差为O(h5)第48页附注二阶Runge-Kutta方法局部截断误差 只能到达三阶Runge-Kutta方法局部截断误差 只能到达四阶Runge-Kutta方法局部截断误差 只能到达五阶Runge-Kutta方法局部截断误差 只能到达第49页