四节空间曲线及其方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线普通方程一、空间曲线普通方程二、二、空间曲线参数方程空间曲线参数方程 三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影返回返回第1页空间曲线空间曲线能够看作两个曲面交线能够看作两个曲面交线.设设 一、空间曲线普通方程一、空间曲线普通方程和和 是两个曲面方程是两个曲面方程,它们交线为它们交线为C(图图7-44).(1)因为曲线因为曲线C上任何点坐标应同时上任何点坐标应同时满足这两个曲面方程满足这两个曲面方程,所以应满足方程组所以应满足方程组图图7-44第2页例例1 方方程组程组 表示怎样曲线表示怎样曲线?解解 方程组中第一个方程表示母
2、线平行于方程组中第一个方程表示母线平行于z轴圆柱面轴圆柱面,其准其准线是线是xOy面上圆面上圆,圆心在原点圆心在原点O,半径为半径为1.反过来反过来,假如点假如点M不在曲线不在曲线C上上,那么它不可能同时在两个曲那么它不可能同时在两个曲面上面上,所以它坐标不满足方程组所以它坐标不满足方程组(1).所以所以,曲线曲线C能够用方能够用方程组程组(1)来表示来表示.方程组方程组(1)叫做叫做空间曲线空间曲线C普通方程普通方程.方程组中第二个方程表示一个母线平行于方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴柱面轴柱面,因为因为它准线是它准线是zOx面上直线面上直线,所以它是一个平面所以它是一个平面.第3页
3、方程组就表示上述平面与圆柱面交线方程组就表示上述平面与圆柱面交线,如图如图7-45 所表示所表示.图图7-45 xyzO第4页例例2 方程组方程组 表示怎样曲线表示怎样曲线?解解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径为半径为a上半球面上半球面.,半径为半径为 第二个方程表示母线平行于第二个方程表示母线平行于z轴圆柱面轴圆柱面,它准线是它准线是xOy面上圆面上圆,这圆圆心在点这圆圆心在点 返回返回第5页二、空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程 空间曲线空间曲线C方程除了普通方程之外方程除了普通方程之外,也能够用参数形式表示也能够用参数形式表示,只要将只
4、要将C上动点坐标上动点坐标x,y,z表示为参数表示为参数t函数函数:(2)当给定当给定 时时,就得到就得到C上一个点上一个点 伴随伴随t变动便可得曲线变动便可得曲线C上全部点上全部点.方程组方程组(2)叫做叫做空间曲线参数方程空间曲线参数方程.第6页都是常数都是常数),那么点那么点M组成图形叫做组成图形叫做螺旋线螺旋线.试建立试建立例例3 假如空间一点假如空间一点M在圆柱面在圆柱面 上以角速度上以角速度 绕绕z轴旋转轴旋转,同时又以线速度同时又以线速度v沿平行于沿平行于z轴正方向上升轴正方向上升(其其中中 其参数方程其参数方程.解解 取时间取时间t为参数为参数.设当设当 时时,处处.经过时间经
5、过时间t,动点由动点由A运动到运动到(图图7-47).动点位于动点位于x轴上一点轴上一点 图图7-47h第7页记记M在在xOy面上投影为面上投影为,坐标为坐标为 因为动点在圆柱面上以角速度因为动点在圆柱面上以角速度 绕绕z轴旋转轴旋转,所以经过时间所以经过时间t,从而从而 因为动点同时以线速度因为动点同时以线速度v沿平行于沿平行于z轴正方向上升轴正方向上升,所以所以第8页所以螺旋线参数方程为所以螺旋线参数方程为也能够用其它变量作参数也能够用其它变量作参数;比如令比如令 ,则螺旋线参数则螺旋线参数方程可写为方程可写为 这里这里,而参数为而参数为 第9页螺旋线是实践中常用曲线.例如,平头螺丝钉外缘
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