20181高三理科数学期末试卷海淀区带答案.docx

海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 2018.1 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）复数 A. B. C. D.
（2）在极坐标系中 ，方程 表示的圆为
A. B. C. D.
（3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为 A.4 B.5 C.6 D.7
（4）设 是不为零的实数，则“ ”是“方程 表示 的曲线为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
（5）已知直线 与圆 相交于 两点，且 为正三角形，则实数 的值为 A. B. C. 或 D. 或
（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. B. C. D.
（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是 所有正确的说法是
A. ①B. ①②C. ②③D. ①③
（8）已知点 为抛物线 的焦点，点 为点 关于原点的对称点，点 在抛物线 上，则下列说法错误的是 A.使得 为等腰三角形的点 有且仅有4个 B.使得 为直角三角形的点 有且仅有4个 C. 使得 的点 有且仅有4个 D. 使得 的点 有且仅有4个
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）点 到双曲线 的渐近线的距离是 . （10）已知公差为1的等差数列 中， ， ， 成等比数列，则 的前100项和为 . （11）设抛物线 的顶点为 ，经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和抛物线 交于 两点，则 . （12）已知 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则 . （13）已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 的中点，点 在底面 内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为 .
（14）对任意实数 ，定义集合 . ①若集合 表示的平面区域是一个三角形，则实数 的取值范围是 ； ②当 时，若对任意的 ，有 恒成立，且存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 . 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分） 如图，在 中，点 在 边上，且 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值.
（16）（本小题13分） 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS） 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12 品牌A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14 品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 （Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率； （Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）； （Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.

（17）（本小题14分） 如题1，梯形 中， 为 中点.将 沿 翻折到 的位置，如图2. （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）设 分别为 和 的中点，试比较三棱锥 和三棱锥 （图中未画出）的体积大小，并说明理由.
（18）（本小题13分） 已知椭圆 ，点 （Ⅰ）求椭圆 的短轴长和离心率； （Ⅱ）过 的直线 与椭圆 相交于两点 ，设 的中点为 ，判断 与 的大小，并证明你的结论.
（19）（本小题14分） 已知函数 . （Ⅰ）求曲线 在点处的切线方程； （Ⅱ）当 时，求证：函数 有且仅有一个零点； （Ⅲ）当 时，写出函数 的零点的个数.（只需写出结论）
（20）（本小题13分） 无穷数列 满足： 为正整数，且对任意正整数 ， 为前 项 ， ， ， 中等于 的项的个数. （Ⅰ）若 ，请写出数列 的前7项； （Ⅱ）求证：对于任意正整数 ，必存在 ，使得 ； （Ⅲ）求证:“ ”是“存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件。
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2018.1 数学（理科） 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A D B A D C D C 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分) （9） （10）5050 （11）2 （12）6 （13） （14）① ② 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15.（本小题13分） 解：（Ⅰ）如图所示， ，…………………….1分 故 ， ……………………….2分 设 ，则 ， . 在 中，由余弦定理 ……………………….3分 即 ，……………………….4分 解得 ，即 .……………………….5分
（Ⅱ）方法一.在 中，由 ，得 ，故 ……………………….6分 在 中，由正弦定理 ……………………….7分
即 ，故 ，……………………….9分 由 ，得 ，……………………….11分 ………………………13分
方法二. 在 中，由余弦定理 ……………………….7分
由 ，故 ……………………….9分 故 ……………………….11分 故 ………………………13分 16. （本小题13分） （Ⅰ）从品牌 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有： 测试1、2、5、6、9、10、11，共7次 设该测试结果打开速度小于7为事件 ，因此 ……………………….3分 （Ⅱ）12次测试中，品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果的次数有： 测试1、3、4、5、7、8，共6次 随机变量 所有可能的取值为：0，1，2，3 ……………………….7分 随机变量 的分布列为 0 1 2 3
……………………….8分 ……………………….10分
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分. 给出明确结论，1分； 结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分. …………………13分. 标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）
标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）
标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）
标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）
标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）
标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）
标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）
标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当） 参考数据 期望 前6次 后6次 12次 品牌A 5.50 9.83 7.67 品牌B 4.33 11.83 8.08 品牌A与品牌B 4.92 10.83
方差 前6次 后6次 12次 品牌A 12.30 27.37 23.15 品牌B 5.07 31.77 32.08 品牌A与品牌B 8.27 27.97
17. （本小题14分） （Ⅰ）证明：因为 ， ， ， ， 平面 ……………..1分 所以 平面 ……………..2分 因为 平面 ，所以平面 平面 ……………..3分
（Ⅱ）解：在平面 内作 ， 由 平面 ，建系如图. ……………..4分 则 ， ， ， ， . ， ， ……………..7分 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 得， ， 所以 是平面 的一个方向量. ……………..9分 ……………..10分 所以 与平面 所成角的正弦值为 . ……………..11分 （Ⅲ）解：三棱锥 和三棱锥 的体积相等.……………..12分 理由如: 方法一：由 ， ，知 ，则 因为 平面 ，所以 平面 . ……………..13分 故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和 同底等高，所以体积相等. ……………..14分
方法二：如图，取 中点 ，连接 ， ， . 因为在 中， ， 分别是 ， 的中点，所以 因为在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，所以 因为 ， ， 平面 ， ， 平面 所以平面 平面 因为 平面 ，所以 平面 ……………..13分 故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和 同底等高，所以体积相等. ……………..14分
法二法三 方法三：如图，取 中点 ，连接 ， ， . 因为在 中， ， 分别是 ， 的中点，所以 且 因为在正方形 中， 是 的中点，所以 且 所以 且 ，故四边形 是平行四边形，故 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ……………..13分 故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和 同底等高，所以体积相等. ……………..14分
18. （本小题13分） 解：（Ⅰ） ： ，故 ， ， ， 有 ， . ……………..3分 椭圆 的短轴长为 ，离心率为 .……………..5分 （Ⅱ）结论是： . ……………..6分 设直线 ： ， ， ，整理得： ……………..8分 故 ， ……………..10分 ……………..11分 ……………..12分 故 ，即点 在以 为直径的圆内，故 ……………..13分

19. （本小题14分） （Ⅰ）因为函数 所以 ……………..2分 故 ， ……………..4分 曲线 在 处的切线方程为 ……………..5分 （Ⅱ）当 时，令 ，则 ……………..6分 故 是 上的增函数. ……………..7分 由 ，故当 时， ，当 时， . 即当 时， ，当 时， . 故 在 单调递减，在 单调递增.……………..9分 函数 的最小值为 …………….10分 由 ，故 有且仅有一个零点. …………….12分 （Ⅲ）当 时， 有一个零点；当 且 时， 有两个零点. ……………..14分 20. （本小题13分） 解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 ……………..3分 （Ⅱ）假设存在正整数 ，使得对任意的 ， . 由题意， 考虑数列 的前 项： ， ， ，…， 其中至少有 项的取值相同，不妨设 此时有： ，矛盾. 故对于任意的正整数 ，必存在 ，使得 . ………….. 8分
（Ⅲ）充分性： 当 时，数列 为 ， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ，… 特别地， ， 故对任意的 （1）若 为偶数，则 （2）若 为奇数，则 综上， 恒成立，特别地，取 有当 时，恒有 成立 ………….11分 必要性： 方法一:假设存在 （ ），使得“存在 ，当 时，恒有 成立” 则数列 的前 项为 ， ， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 后面的项顺次为 ， ， ， ，…， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ， ，…， ， …… 对任意的 ，总存在 ，使得 ， ，这与 矛盾，故若存在 ，当 时，恒有 成立，必有 ………….. 13分 方法二：若存在 ，当 时， 恒成立，记 . 由第（2）问的结论可知：存在 ，使得 （由s的定义知 ） 不妨设 是数列 中第一个大于等于 的项，即 均小于等于s. 则 .因为 ，所以 ，即 且 为正整数，所以 . 记 ，由数列 的定义可知，在 中恰有t项等于1. 假设 ，则可设 ，其中 ， 考虑这t个1的前一项，即 ， 因为它们均为不超过s的正整数，且 ，所以 中一定存在两项相等， 将其记为a，则数列 中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列 的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设 不成立，所以 ，即必要性得证！………….. 13分 综上，“ ”是“存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件.

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