线性代数矩阵的初等变换与线性方程组省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、第 三 章矩阵初等变换与线性方程组第1页 第一节第一节 矩阵初等变换矩阵初等变换第2页 本章先讨论矩阵初等变换,建立矩阵秩概本章先讨论矩阵初等变换,建立矩阵秩概念念,并提出求秩有效方法再利用矩阵秩反过来并提出求秩有效方法再利用矩阵秩反过来研究齐次线性方程组有非零解充分必要条件和非研究齐次线性方程组有非零解充分必要条件和非齐次线性方程组有解充分必要条件,并介绍用初齐次线性方程组有解充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程组方法等变换解线性方程组方法初等变换初等变换秩秩 初等初等 方阵方阵关键概念关键概念主要工具主要工具求解线性方程组求解线性方程组第3页引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线
2、性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析:用消元法解以下方程组过程分析:用消元法解以下方程组过程第4页 2 3 2 2+53(i)交换方程次序交换方程次序 (ii)以数以数k(0)乘某个方程乘某个方程(iii)一个方程加上另一个方一个方程加上另一个方程程 k 倍倍均可逆均可逆2同同 解解同同解解变变换换阶梯形阶梯形 0=0自由未知量自由未知量第5页小结:小结:1上述解方程组方法称为消元法上述解方程组方法称为消元法 2一直把方程组看作一个整体变形,用到如一直把方程组看作一个整体变形,用到如 下三种变换下三种变换(1)交换方程次序;)交换方程次序;(2)以不等于数乘某个方程;)以不等于数乘某个方程
3、;(3)一个方程加上另一个方程)一个方程加上另一个方程k倍倍(与相互替换)(与相互替换)(以替换)(以替换)(以替换)(以替换)3上述三种变换都是可逆也就是说上述三种变换都是可逆也就是说第6页因为三种变换都是可逆,所以变换前方程因为三种变换都是可逆,所以变换前方程组与变换后方程组是组与变换后方程组是同解同解故这三种变换是故这三种变换是同同解变换解变换 因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组系数因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组系数和常数进行运算,未知量并未参加运算所以对和常数进行运算,未知量并未参加运算所以对方程组变换完全能够转换为对方程组系数矩阵方程组变换完全能够转换为对方程组系数矩阵(方方
4、程组(程组(1)增广矩阵)增广矩阵B)变换即:)变换即:第7页若记若记 2 3 22 2+53(行行)梯形阵梯形阵ji iijk抽象到了矩阵!抽象到了矩阵!第8页定义定义 下面三种变换称为矩阵初等行变换下面三种变换称为矩阵初等行变换:二、矩阵初等变换二、矩阵初等变换1、初等行变换和初等变换、初等行变换和初等变换第9页定义定义 矩阵矩阵初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等初等变换变换 初等变换逆变换仍为初等变换初等变换逆变换仍为初等变换,且变换类型相且变换类型相同同 同理可定义矩阵初等列变换同理可定义矩阵初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)逆变换逆变
5、换逆变换逆变换逆变换逆变换利用初等变换能够将任一矩阵化为梯形阵利用初等变换能够将任一矩阵化为梯形阵唯一唯一?不不 !作用第10页等价关系性质:等价关系性质:含有上述三条性质关系称为等价含有上述三条性质关系称为等价比如,两个线性方程组同解,比如,两个线性方程组同解,就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价2、矩阵等价、矩阵等价第11页用矩阵初等行变换用矩阵初等行变换 解方程组(解方程组(1):):第12页第13页那么等价最终形状是什么呢?那么等价最终形状是什么呢?第14页特点:特点:(1)、可划出)、可划出一条阶梯线,线一条阶梯线,线下方全为零;下方全为零;(2)、每个台阶)、每个台阶
6、只只 有一行,台阶数即是有一行,台阶数即是非零行行数,阶梯线竖线后面第一个元素为非非零行行数,阶梯线竖线后面第一个元素为非零元,即非零行第一个非零元零元,即非零行第一个非零元3、矩阵行阶梯形、行最简形、标准形、矩阵行阶梯形、行最简形、标准形第15页注意:注意:行最简形矩阵是由方程组唯一确定,行阶行最简形矩阵是由方程组唯一确定,行阶梯形矩阵行数也是由方程组唯一确定梯形矩阵行数也是由方程组唯一确定 行最简形矩阵再经过初等列变换,可化成行最简形矩阵再经过初等列变换,可化成标标准形准形.1 5其它元素都为零其它元素都为零列列,且这些非零元所在,且这些非零元所在零行第一个非零元为零行第一个非零元为即非即
7、非还称为行最简形矩阵,还称为行最简形矩阵,行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B第16页特点:特点:全部与矩阵全部与矩阵 等价矩阵组成一个集合,称为等价矩阵组成一个集合,称为一个一个等价类等价类,标准形,标准形 是这个等价类中最简单矩是这个等价类中最简单矩阵阵.任一个矩阵任一个矩阵都有标准形都有标准形唯一!唯一!第17页比如,比如,第18页三、小结三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换逆变换仍为初等变换初等变换逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价含有性质矩阵等价含有性质2.2.初等变换初等变换结论结论 矩阵矩阵 A 与与 B 等价等价 A与与 B 有相同标准形有相
8、同标准形第19页 第二节第二节 初等矩阵初等矩阵第20页 等价等价三类三类行梯形阵行梯形阵 非零行非零行 数数 r 行最简形行最简形对应方程组对应方程组?标准型标准型 可逆可逆唯一唯一解解同解方程组同解方程组r 唯唯一一自由未知量自由未知量nr 个个多出方程多出方程 经经行行变换均可化为变换均可化为梯形阵梯形阵最简形最简形?与解无关与解无关复习初等变换初等变换第21页定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过经过一次一次初等变换得到方阵初等变换得到方阵称为称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵一个基本运算,应用广矩阵初等变换是矩阵一个基
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