力学量算符和量子力学公式的矩阵表示省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

4-2 力学量算符和量子力学公式矩阵表示力学量算符和量子力学公式矩阵表示 一、力学量算符矩阵表示一、力学量算符矩阵表示二、量子力学公式矩阵表示二、量子力学公式矩阵表示 第1页4-2 力学量算符和量子力学公式矩阵表示力学量算符和量子力学公式矩阵表示 量量子子力力学学三三个个基基本本要要素素是是波波函函数数、算算符符和和薛薛定定格格方方程程。上上一一节节讲讲了了波波函函数数矩矩阵阵表表示示，为为了了确确保保理理论论体体系系一一致致性性，必必须须实实现现力力学学量量算符与量子力学公式矩阵表示。算符与量子力学公式矩阵表示。在在量量子子力力学学中中，将将坐坐标标表表象象下下表表示示称称为为波波动动力力学学方方法法，把把任任意意力力学学量量表表象象下下表表示示称称为为矩矩阵阵力力学学方方法法。在在量量子子力力学学历历史史上上，上上述述两两种表示方法几乎是同时发展起来，以后，狄拉克证实了它们是等价。种表示方法几乎是同时发展起来，以后，狄拉克证实了它们是等价。一、力学量算符矩阵表示一、力学量算符矩阵表示 力学量力学量 满足本征方程满足本征方程 算符算符 满足满足 把波函数把波函数 、分别向分别向 展开展开 代入到算符方程中，得代入到算符方程中，得 第2页 上式两端做运算上式两端做运算 ，得，得 令令则则 称为称为算符算符 在在 表象中矩阵元表象中矩阵元。算符算符 在在 表象中表象中矩阵形式矩阵形式为为 第3页 因为因为 是厄米算符，所以它矩阵元复共轭为是厄米算符，所以它矩阵元复共轭为 即矩阵中关于对角线对称元素一定互为复共轭。或者即矩阵中关于对角线对称元素一定互为复共轭。或者 它表明矩阵是它表明矩阵是厄米矩阵厄米矩阵。普通说来，。普通说来，实对称矩阵都是厄米矩阵实对称矩阵都是厄米矩阵。特例特例：力学量算符在本身表象中矩阵。：力学量算符在本身表象中矩阵。算算符符在在本本身身表表象象下下是是一一个个对对称称矩矩阵阵，而而且且本本征征值值就就是是对对角角元元素。它阵迹就是全部本征值之和。素。它阵迹就是全部本征值之和。第4页 说明：说明：（1 1）欲求力学量）欲求力学量 在在 表象下矩阵表示，必须知道力学量表象下矩阵表示，必须知道力学量本征解，才能计算本征解，才能计算 矩阵元；矩阵元；（2 2）不不论论在在任任何何详详细细表表象象中中，任任何何厄厄米米算算符符 矩矩阵阵元元 一一定定是一个数值，故其能够在公式中随意移动位置；是一个数值，故其能够在公式中随意移动位置；（3 3）在在不不一一样样表表象象中中，算算符符矩矩阵阵元元可可能能会会不不一一样样，不不过过该该算算符本征值不会改变；符本征值不会改变；（4 4）假如本征值为连续谱，则）假如本征值为连续谱，则 组成正交归一完备基矢组。组成正交归一完备基矢组。算符算符 满足满足 把波函数把波函数 、分别向分别向 展开展开 代入到算符方程中，得代入到算符方程中，得 第5页 上式两端做运算上式两端做运算 ，得，得 其中，算符其中，算符 矩阵元矩阵元 例例1 1坐标表象中坐标表象中 矩阵元为矩阵元为 其中，其中，为变数，为变数，、为本征值。为本征值。第6页 例例2 2动量表象中动量表象中 矩阵元为矩阵元为 或或 例例3 3动量表象中动量表象中 矩阵元为矩阵元为 第7页 例例4 4求求一一维维谐谐振振子子中中，坐坐标标算算符符、动动量量算算符符和和能能量量算算符符在在能能量表象中矩阵表示。量表象中矩阵表示。解：解：坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中矩阵元分别为坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中矩阵元分别为 所以，它们矩阵表示分别是所以，它们矩阵表示分别是 第8页第9页二、量子力学公式矩阵表示二、量子力学公式矩阵表示 1 1算符方程算符方程 以下内容都是在以下内容都是在 表象下表示。表象下表示。或简写为或简写为 2 2本征方程本征方程 第10页或简写为或简写为 方程有非零解充分必要条件是系数行列式为零。方程有非零解充分必要条件是系数行列式为零。因因为为任任意意力力学学量量在在本本身身表表象象中中矩矩阵阵都都是是对对角角，所所以以，通通常常把把求求解本征方程过程称为矩阵对角化过程解本征方程过程称为矩阵对角化过程。第11页 3 3薛定格方程薛定格方程 式中式中 4 4平均值公式平均值公式 第12页 对对同同一一个个物物理理问问题题能能够够在在不不一一样样表表象象下下处处理理，尽尽管管在在不不一一样样表表象象下下，波波函函数数及及算算符符矩矩阵阵元元是是不不一一样样，但但最最终终所所得得到到物物理理结结果果（力力学学量量可可能能取取值值、取取值值几几率率和和平平均均值值）却却都都是是一一样样。因因为为我我们们所所关关心心只只是是有有物物理理意意义义结结果果，所所以以，允允许许对对表表象象作作选选择择。假假如如选选取取了了一一个个适当表象，将使问题得到简化。这也就是表象理论价值所在。适当表象，将使问题得到简化。这也就是表象理论价值所在。例例5 5已已知知力力学学量量 在在某某表表象象中中矩矩阵阵表表示示为为 ，求求它它本征值和归一化波函数，并将本征值和归一化波函数，并将 对角化。对角化。解：解：首先，求解本征值方程首先，求解本征值方程 下面求本征函数。下面求本征函数。第13页 把波函数归一化把波函数归一化 同理同理 最终，把矩阵对角化。最终，把矩阵对角化。第14页第15页