第2章 多体系统动力学基本理论.pdf
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1、第2章 多体系统动力学基本理论本章主要介绍多体系统动力学的基本理论,包括多刚体系统动力学建模、多 柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性(Stiff)问题。通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了 解,为具体软件的学习打下良好的理论基础。23.l多体系统动力学研究状况多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题,其系统研究开始于20 世纪60年代。从60年代到80年代,侧重于多刚体系统的研究,主要是研究多 刚体系统的自动建模和数值求解;到了 80年代中期,多刚体系统动力学的研究 已经取得一系列成果,尤其是建模理论趋于成熟,但更稳定、更有效的数值求解 方法
2、仍然是研究的热点;80年代之后,多体系统动力学的研究更偏重于多柔体 系统动力学,这个领域也正式被称为计算多体系统动力学,它至今仍然是力学研 究中最有活力的分支之一,但已经远远地超过一般力学的涵义。本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。2.1.1 多体系统动力学研究的发展机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的,多 体系统动力学是其理论基础。计算机技术自其诞生以来,渗透到了科学计算和 程应川的几乎每一个领域。数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取 得了辉煌的成就,出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有 限元分析软件。计算机技
3、术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及 控制系统分析上的应川,则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学,并 产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。两者共同构成计算机辅助 工程(CAE)技术的重要内容。多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。多体系统动力学 的根本目的是应川计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。它是在经 典力学基础上产生的新学科分支,在经典刚体系统动力学上的基础上,经历了多 刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段,目前已趋于成熟。多刚体系统动力学是基于经典力学理论的,多体系统中最简单的情况自 由质点和一般简单的情况少数多个刚
4、体,是经典力学的研究内容。多刚体系 统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计 算机程序求解的数学模型,并寻求高效、稳定的数值求解方法。由经典力学逐步 发展形成了多刚体系统动力学,在发展过程中形成了各具特色的多个流派。早在1687年,牛顿就建立起牛顿方程解决了质点的运动学和动力学问题;刚体的概念最早由欧拉于1775年提出,他采川反作用力的概念隔离刚体以描述 钱链等约束,并建立了经典力学中的牛顿-欧拉方程。1743年,达朗贝尔研究了 约束刚体系统,区分了作川力和反作用力,达朗贝尔将约束反力称为“丢失”,并形成了虚功原理的初步概念。1788年,拉格朗巳发表了分析力学,系统
5、地 研究了约束机械系统,他系统地考虑了约束,并提出了广义坐标的概念,利用变 分原理考虑系统的动能和势能,得出第二类拉格朗巳方程最少数量坐标的二 阶常微分方程(ODE);并利用约束方程与牛顿定律得出带拉格朗巳乘子的第一 类拉格朗日方程最大数量坐标的微分代数方程(DAE)O虚功形式的动力学 普遍方程尚不能解决具有非完整约束的机械系统问题,1908年若丹给出了若丹 原理虚功率形式的动力学普遍方程,利用若丹原理可以方便地讨论碰撞问题 和非完整系统的动力学问题。对于由多个刚体组成的复杂系统,理论上可以采用经典力学的方法,即以牛 顿-欧拉方法为代表的矢量力学方法和以拉格朗巳方程为代表的分析力学方法。这种方
6、法对于单刚体或者少数几个刚体组成的系统是可行的,但随着刚体数目的 增加,方程复杂度成倍增长,寻求其解析解往往是不可能的。后来由于计算机数 值计算方法的出现,使得面向具体问题的程序数值方法成为求解复杂问题的一条 可行道路,即针对具体的多刚体问题列出其数学方程,再编制数值计算程序进行 求解。对于每个具体的问题都要编制相应的程序进行求解,虽然可以得到合理 的结果,但是这个过程长期的重复是让人不可忍受的,于是寻求一种适合计算机 操作的程式化的建模和求解方法变得迫切需要了。在这个时候,也就是20世纪 60年代初期,在航天领域和机械领域,分别展开了对于多刚体系统动力学的研 究,并且形成了不同派别的研究方法
7、。最具代表性的几种方法是罗伯森-维滕堡(Roberson-Wittenburg)方法、凯 恩(Kane)方法、旋量方法和变分方法。罗伯森与维滕堡于1966年提出种分析多刚体系统的普遍性方法,简称为 R/W方法,这种方法的主要特点是利用图论的概念及数学工具描述多刚体系统的 结构,以邻接刚体之间的相对位移作为广义坐标,导出适合于任意多刚体系统的 普遍形式动力学方程,并利川增广体概念对方程的系数矩阵作出物理解释。R/W 方法以十分优美的风格处理了树结构多刚体系统,对于非树系统,通过絞切割或 刚体分割方法将非树系统转变成树系统进行处理。凯恩方法是在1965年左右形成的分析复杂系统的种方法,其利川广义速
8、 率代替广义坐标描述系统的运动,直接利川达朗伯原理建立动力学方程,并将矢 量形式的力与达朗伯惯性力直接向特定的基矢量方向投影以消除理想约束力,兼 有矢量力学和分析力学的特点,既适川完整系统,也适川于非完整系统。旋量方法是种特殊的矢量力学方法(或牛顿-欧拉方法,简称为N/E方法),其特点是将矢量与矢量矩合为一体,采川旋量的概念,利川对偶数作为数学工具,使N/E方程具有极其简明的表达形式,在开链和闭链空间机构的运动学和动力学 分析得到广泛运川。变分方法是不同于矢量力学或分析力学的另类分析方法,高斯最小拘束原 理是变分方法的基本原理,保保夫和里洛夫从这原理出发发展了两种不同风格 的计算方法。该方法有
9、利于结合控制系统的优化进行综合分析,而且由于其不受较的约束数目的影响,适用于带多个闭环的复杂系统。这几种方法构成了早期多刚体系统动力学的主要内容,借助计算机数值分析 技术,可以解决由多个物体组成的复杂机械系统动力学分析问题。但是多体系统 动力学在建模与求解方面的自动化程度,相对于结构有限元分析的成熟来说相差 甚远。正是为了解决多体系统动力学建模与求解的自动化问题,美国Chace和 Haug于80年代提出了适宜于计算机自动建模与求解的多刚体系统笛卡尔建模方 法,这种方法不同于以罗伯森-维滕堡方法为代表的拉格朗巳方法,它是为以系 统中每个物体为单元,建立固结在刚体上的坐标系,刚体的位置相对于个公共
10、 参考基进行定义,其位置坐标统为刚体坐标系基点的笛卡尔坐标与坐标系的方 位坐标,再根据较约束和动力学原理建立系统的数学模型进行求解。20世纪80年代,Haug等人确立了“计算多体系统动力学”这门新的学科,多体系统动力学的研究重点由多刚体系统走向侧重多柔体系统,柔性多体系统动 力学成为计算多体系统动力学的重要内容。柔性多体系统动力学在20世纪70年代逐渐引起人们的注意,些系统如高 速车辆、机器人、航天器、高速机构、精密机械等其中柔性体的变形对系统的动 力学行为产生很大影响。二十多年来柔性多体系统动力学一直是研究热点,这期 间产生了许多新的概念和方法,有浮动标架法、运动-弹性动力学方法、有限段 方
11、法以及最新提出的绝对节点坐标法等,其中浮动标架法最早是在航天领域研究 中提出来的。计算多体系统动力学是指川计算机数值手段来研究复杂机械系统的静力学 分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析的理论和方法。相比于多刚体 系统,对于柔性体和多体与控制混合问题的考虑是其重要特征。其具体任务为:建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型,开发实现这个数学模 型的软件系统,用户只需输入描述系统的最基本数据,借助计算机就能自动进行程式化处理。开发和实现有效的处理数学模型的计算方法与数值积分方法,自动得到运动 学规律和动力学响应。实现有效的数据后处理,采川动画显示、图表或其他方式提供数据处理结果。计算
12、多体系统动力学的产生极大地改变了传统机构动力学分析的面貌,使 程师从传统的手工计算中解放了出来,只需根据实际情况建立合适的模型,就可 由计算机自动求解,并可提供丰富的结果分析和利川手段;对于原来不可能求解 或求解极为困难的大型复杂问题,现可利川计算机的强大计算功能顺利求解;而 且现在的动力学分析软件提供了与其它工程辅助设计或分析软件的强大接口功 能,它与其它工程辅助设计和分析软件起提供了完整的计算机辅助工程(CAE)技术。2.1.2 多体系统动力学研究活动自20世纪60年代以来,国内外在多体系统动力学方面多次召开了深具意义 的会议。国际范围内的会议主要有:1977 年国际理论和应用力学学会(I
13、nternational Union of Theoretical and Applied Mechanics-IUTAM)发起在德国慕尼黑由Magnus主持召开第一次多刚体 系统动力学讨论会;1983年北大西洋公约组织与美国国家科学基金委等(NATO-NSF-ARD)联合 组织在美国爱阿华由Haug主持召开“机械系统动力学计算机辅助分析与优化高 级研讨会”;1985年第八届国际车辆动力学协会(International Association of Vehicle System Dynamics-IAVSD)会议,Kortum和Schiehlen发表了用于车辆动力学仿 真的多体软件。1985
14、年IUTAM与国际机器及机构理论联合会(IFTOMM)联合在意大利Udine 由Bianchi和Schiehlen主持举行了第二届国际多体系统动力学讨论会,这次会议 总结了该领域的进展,标志多刚体系统动力学已趋于成熟。1989年由德国斯图加特大学主持对当时比较先进的大型软件进行测试,编 辑出版了“多体系统手册”;以后几乎每年都有国际的多体系统动力学的会议,并出现了多体系统动力学的专门的刊物。在国内召开的关于多体系统动力学方面的重要会议主要有:1986年由中国力学学会一般力学专业委员会在北京主持召开“多刚体系统 动力学”研讨会。1988年在长春召开“柔性多体系统动力学研讨会”。1992年在上海召
15、开“全国多体系统动力学一理论、计算方法与应川学术会 议”。1996年由中国力学学会一般力学专业委员会与中国空间学会空间机械委员 会联合在山东长岛召开“全国多体系统动力学与控制学术会议”。除了国内外重要的会议之外,国内外还出版了多种关于多体系统动力学的优 秀教材或专著。国外的优秀教材和专著主要有:1977 年,Witenburg HilfeT Dynamics of Systems of Rigid Bodies,这是第一 本关于多体系统的教材,其奠定了多刚体系统动力学拉朗巳方法的基础,并将图 论方法引入到多体系统动力学中。1986 年,Schiehlen 出版了“Technische Dyna
16、mik”(德语),其将多体系统作 为与有限元系统及连续系统相当的系统来统一考虑。1988 年,Nikravesh 出版了“Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems1988 年,Roberson 和 Schwertassek 出版了“Dynamics of Multibody System”。1989年,Haug 出版了“Computer-Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems,提出了多刚体系统建模的笛卡尔方法。1989 年,Shabana 出版了“Dynamics of Multi
17、body Systems,这是一本关于 多柔体动力学的专著。1990年,Huston出版了“Multibody Dynamics,其讨论了多体系统动力学、数值方法以及柔性多体系统动力学。1992 年,Bremer 和 Pfeiffer 出版了“Elastische Mehrkorpersystem(德语),其主要讨论了柔性体,并给出了诸多工程实例。1992 年,Amirouche 出版了“Computational Methods for Multibody Dynamics,重点讨论了矩阵方法。1994 年,Garcia 和 Bayo 出版了“Kinematic and Dynamic Si
18、mulation of Multibody Systems,提出了完全笛卡尔坐标方法,并给出了一种求解效率高的 计算方法用于实时仿真的需要。1994 年,Shabana 出版了 Computational Dynamics,主要是有关多刚体系统。1996 年,Stejskal 和 Valasek 出版了 Kinematics and Dynamics of Machinery,从空间机构的CAD设计入手,讨论了自由刚体问题,给出了高副和低副运动学 约束的描述,并讨论了动力学分析以及数值计算方面的问题。国内有影响的教材和专著主要有:刘延柱,洪嘉振,杨海兴.多刚体系统动力学.北京:高等教育出版社,
19、1989黄文虎 邵成勋 等.多柔体系统动力学.北京:科学出版社,1996陆佑方.柔性多体系统动力学.北京:高等教育出版社,1996洪嘉振.计算多体系统动力学.北京:高等教育出版社,19992.1.3 多体系统动力学研究现状计算多体系统动力学中所研究的多体系统,根据系统中物体的力学特性可分 为多刚体系统、柔性多体系统和刚柔混合多体系统。多刚体系统是指可以忽略系 统中物体的弹性变形而将其当作刚体来处理的系统,该类系统常处于低速运动状 态;柔性多体系统是指系统在运动过程中会出现物体的大范围运动与物体的弹性 变形的耦合,从而必须把物体当作柔性体处理的系统,大型、轻质而高速运动的 机械系统常属此类;如果
20、柔性多体系统中有部分物体可以当作刚体来处理,那么 该系统就是刚柔混合多体系统,这是多体系统中最一般的模型。2.1.3.1 多体系统建模理论对于多刚体系统,从20世纪60年代到80年代,在航天和机械两个领域形 成了两类不同的数学建模方法,分别称为拉格朗日方法和笛卡尔方法;20世纪 90年代,在笛卡尔方法的基础上又形成了完全笛卡尔方法。这几种建模方法的 主要区别在于对刚体位形描述的不同。航天领域形成的拉格朗巳方法,是种相对坐标方法,以 Roberson-Wittenburg方法为代表,是以系统每个钱的对邻接刚体为单元,以 个刚体为参考物,另个刚体相对该刚体的位置由钱的广义坐标(又称拉格朗巳 坐标)
21、来描述,广义坐标通常为邻接刚体之间的相对转角或位移。这样开环系统 的位置完全可由所有钱的拉格朗巳坐标阵所确定。其动力学方程的形式为拉格朗 巳坐标阵的二阶微分方程组,即.(2.1-1)这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最 少,树系统的坐标数等于系统自由度,而且动力学方程易转化为常微分方程组(ODEs-Ordinary Differential Equations)o但方程呈严重非线性,为使方程具有程 式化与通用性,在矩阵与中常常包含描述系统拓扑的信息,其形式相当复杂,而 且在选择广义坐标时需人为干预,不利于计算机自动建模。不过目前对于多体系 统动力学的研究比较深入,现
22、在有几种应川软件采川拉格朗0的方法也取得了较 好的效果。对于非树系统,拉格朗巳方法要采川切割钱的方法以消除闭环,这引入了额 外的约束,使得产生的动力学方程为微分代数方程,不能直接采川常微分方程算 法去求解,需要专门的求解技术。机械领域形成的笛卡尔方法是种绝对坐标方法,即Chace和Haug提出的 方法,以系统中每个物体为单元,建立固结在刚体上的坐标系,刚体的位置相 对于个公共参考基进行定义,其位置坐标(也可称为广义坐标)统为刚体坐 标系基点的笛卡尔坐标与坐标系的方位坐标,方位坐标可以选川欧拉角或欧拉参 数。单个物体位置坐标在二维系统中为3个,三维系统中为6个(如果采用欧拉 参数为7个)。对于由
23、N个刚体组成的系统,位置坐标阵中的坐标个数为3N(二 维)或6N(或7N)(三维),由于被约束的存在,这些位置坐标不独立。系统动 力学模型的一般形式可表示为.(2.1-2)式中为位置坐标阵的约束方程,为约束方程的雅可比矩阵,为拉格朗巳乘子。这类数学模型就是微分一代数方程组(DAEs-Differential Algebraic Equations),也 称为欧拉-拉格朗巳方程组(Euler-Lagrange Equations),其方程个数较多,但系数 矩阵呈稀疏状,适宜于计算机自动建立统的模型进行处理。笛卡尔方法对于多 刚体系统的处理不区分开环与闭环(即树系统与非树系统),统处理。目前国 际
24、上最著名的两个动力学分析商业软件ADAMS和DADS都是采川这种建模方法。完全笛卡尔坐标方法,由Garcia和Bayo于1994年提出,是另种形式的绝 对坐标方法。这种方法的特点是避免使川一般笛卡尔方法中的欧拉角或欧拉参 数,而是利川与刚体固结的若干参考点和参考矢量的笛卡尔坐标描述刚体的空间 位置与姿态。参考点选择在钱的中心,参考矢量沿钱的转轴或滑移轴,通常可由 多个刚体共享而使未知变量减少。完全笛卡尔坐标所形成的动力学方程与一般笛 卡尔方法本质相同,只是其雅可比矩阵为坐标线性函数,便于计算。至于柔性多体系统,从计算多体系统动力学角度看,柔性多体系统动力学的 数学模型首先应该和多刚体系统与结构
25、动力学有一定的兼容性。当系统中的柔性 体变形可以不计时,即退化为多刚体系统。当部件间的大范围运动不存在时,即 退化为结构动力学问题。柔性多体系统不存在连体基,通常选定一浮动坐标系描述物体的大范围运 动,物体的弹性变形将相对该坐标系定义。弹性体相对于浮动坐标系的离散将采 川有限单元法与现代模态综合分析方法。在用集中质量有限单元法或一致质量有 限单元法处理弹性体时,用结点坐标来描述弹性变形。在用正则模态或动态子结 构等模态分析方法处理弹性体时用模态坐标描述弹性变形。这就是莱肯斯首先提 出的描述柔性多体系统的混合坐标方法。即川坐标阵描述系统的位形,其中q 为浮动坐标系的位形坐标,a为变形坐标。考虑到
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- 第2章 多体系统动力学基本理论 体系 动力学 基本理论
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