浅谈数形结合在中学数学解题中的应用正稿大学学位论文.doc

本科生毕业论文(设计)
题 目： 浅谈数形结合在中学数学解题中的应用
姓 名： 任 城 勇
学 号： 2 0 0 7 0 2 0 1 4 0 4 1
系 别： 数 学 与 计 算 机 科 学 系
年 级: 2 0 0 7
专 业： 数 学 与 应 用 数 学
指导教师 庄中文 职 称： 副 教 授
指导教师 武慧虹 职 称： 讲 师
2011年3月10日
安顺学院毕业论文任务书

数学与计算机科学 系 数学与应用数学 专业 2007 年级 学生姓名 任城勇
毕业论文题目：浅析数形结合在中学数学解题中的应用

任务下达日期：2010年9月18 日

毕业论文写作日期： 2010年 9月 18日至2011年 4月20日

学生签字： 指导教师签字：

摘 要

数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。数形结合中的数应广义地理解为解析式、函数、复数等;其中的形，可以是点集空间图形，进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力，使应用的范围不断拓宽和深化。因此,由此可见，数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是非常重要。本文重点阐述了如何在具体的问题中进行形与数、数与形的转化,以及在数学例题中去培养学生数形结合的解题能力。从而达到锻炼学生思维的灵活性与广泛性，提高学生解决问题的能力。

关键词 ： 数形结合； 参数方程； 复数； 不等式

Abstract

The Combination of thinking that help to clarify the accuracy of a few graphics as an attribute. Clarify the use of intuitive graphical relationship between the number and the number, which is the number of communication links between form and produced through this link or cognitive perception, the formation of mathematical concepts to solve mathematical problems or to find ways of thinking. The Combination of mathematical problems to solve a powerful tool, is also extremely important in middle school mathematics one of the basic methods, by The Combination of mathematical language can be abstract and intuitive graphics combine to make the abstract thinking and thinking in images combine to shorten the the thought chain, simplifying the process of thinking. The Combination of the number should be broadly understood as analytic, functions, complex numbers, etc.; one of the form, can be a point of space graphics, and then radiate the way of thinking Shuxingjiege vigor and vitality, so that applications continue to broaden the scope and deepened. Therefore, we can see, The Combination of students from the abstract to the development of intuitive, then to the abstract visual thinking is very important. This article focuses on how specific issues in the shape and number, number and shape of the transformation, and examples in mathematics to students in problem-solving ability Shuxingjiege. Training students to achieve the flexibility and breadth of thinking to improve their ability to solve problems.

Keywords : the Combination of Math-image; parameter-equation;
complex number; inequality;

目 录

第一章 绪论 ………………………………………………………………………6

第二章 浅析数形结合在中学数学解题中的应用 …………………………………8

2.1 以形助数 …………………………………………………………8

2.2 以数助形 …………………………………………………………9

2.3 “数”、“形”结合 ………………………………………………11

总结及进一步工作 ……………………………………………………………13

参考文献 ……………………………………………………………………………15

致谢 …………………………………………………………………………………16

第一章 绪 论

随着社会的发展,教学研究的重心已由过去的偏重内容,转向于传授知识和能力并重的研究。强调人的潜能开发,心理品质培养和社会文化素质的训练。在全面提高全体学生的基本素质的基础上,使各种能力在学生身上得到不同程度的协调发展。作为教育者必须自觉地、科学地、有针对地培养出适合新时代需求的人才[3]。就数学而言,我们又应该如何做到实现素质教育呢?
数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。“数”和“形”是数学中最基本的两个概念。数量关系借用了图形的性质,可以使许多抽象的概念,关系直观化、形象化,并使一些关系简单化[7]。而图形问题在运用了数量关系的公式、法则后,可以使较艰辛的问题归结为较容易处理的数量关系式的研究。中学数学作为学习高等数学的基础,应当把这种关系体现出来,也就是把代数、三角、几何知识之间的联系体现出来[5]。因此,数形结合是中学数学重要的思想方法,要把数形结合作为一种数学思想来培养,形成学生的数学意识,从而提高学生的解题能力。通过研究本次课题，使老师能深刻理解和重视数学结合，提高学生的解题能力[8]。合理地引导数与形的相互变换，使问题化难为易，化繁为简，达到开拓思维视野，提高解题能力，提升数学素养的作用。可以让我更深一步地了解数学结合的重要性，同时为新世纪的老师在以后教学中能够更加重视教学设计，让老师理解数学结合与学生解题能力的提高是很密切[6]。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休[9]。
新课标下数学教育的主要目的、任务早已不再是简单的知识传授和方法指 导，而是培养学生的各种能力。学习数学的核心是解题，而解题的价值不是答案，而在于它的过程。解题经验告诉我们：当寻找解题思路发生困难的时候，不妨借助图形去探索；当解题过程中的繁杂运算使人望而生畏的时候，不妨借助图形去开辟新路；当需要检验结论的正确性的时候，不妨借助图形去验证，加强数学结合的训练，全面提高分析问题、解决问题的能力[10]。
通过本次研究，能让我们明白作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。

 第二章 浅析数形结合在中学数学解题中的应用

“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，是数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法，把握、运用好数形结合，能激发学生兴趣，促进学生情感、态度、价值观的发展，能提高课堂教学效果，有利于数学知识的推广[2]。下面从以数助形、以形助数、数形结合三个方面进行进一步阐述。

2．1 以形助数

根据解决问题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观．
以形助数即运用图形的性质使“数”的问题直观化、形象化。
例1[6]：设直线的参数方程

椭圆的参数方程是
问、应满足什么条件使得对于任意m值来说，直线与椭圆总有公共点。
解：先消去参数得普通方程：

两式消去并整理得：

和有交点的条件是上式的判别式
即

化简整理得：

这个不等式要对任何值都成立的条件是：

整理解得：

L

上面的解法基本上是代数解法。但如果我们来考察一下本题的几何意义，就会发现：就是以为参数且过公共点的直线系。题目的要求就是要使这个直线系的所有直线和椭圆有交点。通过进一步观察间的图形关系，就可以发现只要在椭圆内或椭圆上，就可以满足要求。而点在椭圆上或在椭圆内的充要条件是：

P1
即

E

即
图2-1
又

也即
比较这两种解法，很明显看出后一种解法要比前一种解法简捷得多。为什么后一种解法能比较简单？这就是第一种解法把两曲线相交问题转化为求方程组解的问题后，完全抛开了它的几何性质，仅仅从代数的方面去考虑问题，而第二种解法把数量关系和图形性质结合起来思考，一方面从图形关系上揭示出题目的实质，又同时用数量关系来表示这种实质，两者结合就使解题过程大为简化。
下面再从复数、三角、不等式的实例说明数转形的必要性和优越性。

例2：已知 求使最大的复数。

图2-2
这是求最大值问题。可以设代入已知不等式中，把它转化为一般求极值的问题去解。但这样解答的过程就比较繁。若我们结合复数的几何意义去考察，则满足 条件的在复平面
就是以为圆心，为半径
的点。题目是求这些中模最大的一个。即到
原点距离最远的一个。很明显，过原点和圆
心作直线交圆于,两点，离原点较远的
交点表示的复数模最大。则复数就是所要求的答案，通过简单的计算就有：

这个方法同时还可得到另一个结论：
使最小的复数是

例3：已知中,,
求角、和边、。
这是解三角形的问题。一般利用正弦定理和余弦定理去解；但过程较繁琐。若从几何图形上考虑，延长至使。则

则
则 或
所以 或
然后即可求出和、。

例4：已知,且,,求使取
最小值的,和最小值。
从解析几何知识可知满足,的点在直线：和直线:它的右上方。加上,满足这四个条件的点在如图的阴影部分内。其中点坐标就是方程组：

的解：

研究方程,
对于不同的Z,它表示一组互相
图2-3
平行的直线。本题就是要求这
些平行线中与阴影部分有公共点，
且使Z最小的一条。从图中可看出
过点的直线：满足这个条件。因如则直线在的左下方，与阴影部分就无公共点了；若,虽有公共点,Z但不是最小值。
这样，可得到本题的答案：,; 最小值是。这种解法常用在“线性规划”中。
从上面几个例子可看出，一些三角和代数的问题，若运用了数和形相结合的观点去考虑，就能较容易地找到解决问题的方法，解题过程也就较简单。

2．2 以数助形

数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学．数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的．数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上[4]。以数助形的方法贯穿初等数学的实例很多。特别是平面几何中许多难证的问题，在引入坐标法，三角法，复数法后，变得简单明了。
一些几何问题，如果运用数与形结合的观点去考虑“形向数”的转化，通过数的运算和变式，求出相应的结果，则解题方法容易寻找．如采用代数方法、三角方法、解析方法、复数方法、向量方法去解决几何问题，解题思路比较明确，规律性强，不像几何证法须要特殊技巧，因此也就容易找到解题途径。
例5：过不在椭圆上的任一点引两条直线，分别交椭圆于，和，，若，的倾斜角，，满足。求证：，，，四点共圆。
证明：设,,的两方程分别为 及
代入椭圆方程。

及

,

、、、四点共圆
此例通过直线参数方程的几何意义和三角知识，运用相交弦定理证明了四点共圆。
例6：在平行四边形中，比大，求证四边形各内角度数分别为，。
此题可设,由题意及平行四边形的性质可得二元一次方程组
来解决。

2．3 “数”、“形”结合

数学解题历来是数学教育界关心的问题，数形结合又对数学解题具有一定的指导作用[7]。数与形虽然是变来变去，但如能充分运用“数”和“形”将开拓思维，发展数学知识结构的横向联系。提交综合解题能力。
例7[9]：证明：

证明：（如图）作，依次在上取，在上取异于的，使；在上取异于的，
使；在上取异于的，使。
M

可得：，
图2-4
D
B
C
A
0

从而
但
N

此例运用等腰三角形，利用外角等于不相邻两内角之和，得到角的关系，又利用边相等的关系，转化为三角式，从而得证。
例8：求的值域
图2-5
解析：此题如果利用解析法解决0
y
x
(2,2)

比较繁琐，如果考虑数形结合的
方法则比较容易。考虑到单位圆上
的点可以写成的形式，而的值域可看作过点（2,2）的直线与圆相交时斜率的变化范围。因单位圆的解析式为： ，设直线为：。由（1）（2）可得。考虑两图形有交点，得，由于直线过点（2,2），有，所以易得，即值域为

总结及进一步工作

数学思想是人们对数学科学的本质及规律研究时的深刻认识，它的具体任务是指导学习数学，解决关于数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则等[10]。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在中学数学应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
通过学习数形结合思想提高学生的数学素养，这是学习数学重要的内容，只有真正掌握了数学思想方法，学生身上的数学价值才能真正展现出来。
高中必修课程（新教材）几乎每一章均渗透了数形结合思想，走上工作岗位后，我将结合实践教学，对这种思想方法进一步总结，找到其内在规律和注意点，应用于教学中，不仅有利于创造思维的培养，创新人才的培养，同时有利于自己数学素养的提高。

参考文献

[1] 叶立军 数学方法论[M] 浙江大学出版社.200
[2] 陈喜娥, 尹雪峰. 浅谈数学思想方法的培养[J]. 山西煤炭管理干部学院学 报 , 2006,5(02):58-59
[3] 赵玲. 数形结合思想及其应用[J]. 山西煤炭管理干部学院学报 . 2004,9(03):22-23.
[4] 王银篷. 浅谈数形结合的方法[J]. 中学数学 , 2004,4(12):21-25.
[5] 朱文俊. 浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].新课程：教研版-2010.No.10.
[6] 耿敏.在数形结合教学中训练学生思维[J].考试周刊-2010.No.51.
[7] 郑颖芳. 数形结合提高解题能力教学策略研究[J].中国科教创新导刊-2010.No.28.
[8] 金凤明.数形结合思想在初中教学中的渗透[J].上海师范大学学报：基础教育版2010.No.5.
[9] 冯艳丽. 浅谈学生数形结合思想的培养[J].教学研究2007.No.12.
[10] 申俊.素质教育与数学思想的关系[J].教育精论 2006.No.6.

致 谢

经过半年的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。
在这里首先要感谢我的导师庄中文、武慧虹老师。庄书记平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从外出实习到查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计，装配草图等整个过程中都给予了我悉心的指导。特别是在我们实习回来的阶段，庄书记先探讨了我们实习的成果，其次对我们的实习做一次总评，并且告诫我们如果以后作为老师应该怎样去做？应该做一个什么样的老师？最后强调开题报告的要求及论文的写作时间，并且对我们第一次写开题报告做了更深入的交谈，对我们选题、写作意图做了更详细的论述。武老师在庄书记之后又对我们的开题报告做了进一步修改，并且在开题报告的格式、参考文献、字体大小都做了相应安排，使我受益匪浅。虽然我的设计较为复杂烦琐，但是武老师仍然细心地纠正图纸中的错误。除了敬佩庄书记、武老师的专业水平外，他们的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。
然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励。此次毕业设计才会顺利完成。
16