数值分析优秀课程设计.docx
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1、 摘要数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题数值计算方法及其理论学科,是数学一个分支,它以数字计算机求解数学问题理论和方法为研究对象。在实际生产实践中,常常将实际问题转化为数学模型来处理,这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程能够让我们学到很多数学建模方法。利用数值分析处理问题过程:实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算求出结果数值分析这门学科有以下特点:1.面向计算机2.有可靠理论分析3.要有数值试验本文关键经过 Matlab 软件,对数值分析中 LU 分解法、Lagrange插值法、复化Simpon积分方法和Runge-Kutta方法进
2、行编程,并利用这些方法在 MATLAB 中对部分问题进行求解,并得出结论。关键词:数值分析;计算机;编程 ;MATLAB;目录一 LU分解法11.1实验目的11.2实验基本原理11.3算法程序21.4实例及结果3二 Lagrange插值法62.1实验目的62.2实验基本原理62.3算法程序72.4实例及结果7三 复化Simpon积分93.1实验目的93.2实验基本原理93.3算法程序103.4实例及结果10四 Runge-Kutta方法124.1实验目的124.2实验基本原理124.3算法程序134.4实例及结果13总结15参考文献16一 LU分解法1.1试验目标1.了解LU分解法解线性方程组
3、基础原理。2.熟悉计算方法技巧和过程,能用LU分解法处理问题。3.用matlab实现LU分解。1.2试验基础原理1.设A为n阶矩阵,假如A次序主子式Di0(i=1,2,n-1),则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U乘积,且这种分解是唯一。A=LU=1l211ln1ln21u11u12u1nu22u2nunn 2.在满足1条件下可推导得出以下公式(1) lij=(aij-n=1j-1linuij)/uij (2) uij=aij-n=1j-1ljnuni (3) yi=bi-n=1j-1linyn (4) xi=(yi-n=i+1nuinxn)/uii 3.LU分解具体过程以下:
4、(1)第一步分解:u11=a11 (2)第二步分解:l21=a21/u11 u12=a12 u22=a22-l21u22 (3)第三步分解:l31=a31/u11 l32=(a32-l31u12)/u22 u13=a13 u23=a23-l21u13 u33=a33-l31u13-l32u23 (4)第n步分解:依次计算:ln1、ln1、lnn-1,uinunn 1l211ln1ln21u11u12u1nu22u2nunn1.3算法程序function L,U,x=Lu_x(A,d)n,m=size(A);if n=m error(The rows and columns of matrix
5、A must be equal!); retirn;endfor ii=1:nfor i=1:iifor j=1:ii AA(i,j)=A(i,j);endendif(det(AA)=0) error(The matrix can not be divided by LU!) return;endendAn,n=size(A);L=zeros(n,n);U=zeros(n,n);for i=1:n L(i,i)=1;endfor k=1:n for j=k:n U(k,j)=A(k,j)-sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j); end for i=k+1:n L(i,k)=(A
6、(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)/U(k,k); endendy(1)=d(1);for i=2:n for j=1:i-1 d(i)=d(i)-L(i,j)*y(j); endy(i)=d(i);endx(n)=y(n)/U(n,n);for i=(n-1):-1:1 for j=n:-1:i+1 y(i)=y(i)-U(i,j)*x(j); end x(i)=y(i)/U(i,i);end1.4实例及结果1.3x1+5x2+6x3+2x4=207x1+3+7x3+5x4=152x1+7x2+3x3+6x4=163x1+2x2+5x3+8x4=19MATLAB
7、命令窗口输入以下: A=3 5 6 2;7 3 7 5;2 7 3 6;3 2 5 8 b=20 15 16 19; L,U,x=Lu_x(A,b)得到结果以下:A = 3 5 6 2 7 3 7 5 2 7 3 6 3 2 5 8L = 1.0000 0 0 0 2.3333 1.0000 0 0 0.6667 -0.4231 1.0000 0 1.0000 0.3462 -0.3592 1.0000U = 3.0000 5.0000 6.0000 2.0000 0 -8.6667 -7.0000 0.3333 0 0 -3.9615 4.8077 0 0 0 7.6117x = -2.41
8、71 0.7105 3.6824 0.80232.x1x2x3=161718MATLAB命令窗口输入以下: A=3 2 1;6 5 4;5 8 7 b=16 17 18; L,U,x=Lu_x(A,b)得到结果以下:A = 3 2 1 6 5 4 5 8 7A = 3 2 1 6 5 4 5 8 7L = 1.0000 0 0 2.0000 1.0000 0 1.6667 4.6667 1.0000U = 3.0000 2.0000 1.0000 0 1.0000 2.0000 0 0 -4.0000x = -0.0000 15.6667 -15.3333二 Lagrange插值法2.1试验目
9、标1.了解拉格朗日插值基础概念。2.了解插值公式基础原理,利用插值公式求解问题。3.编写matlab程序,实现拉格朗日插值法。2.2试验基础原理拉格朗日插值多项式以下:首先结构个插值节点x0、x1xn上插值基函数,对任一点所对应插值基函数,因为在全部xj(j=0,1,i-1,i+1,n)取零值,所以有因子。又因是一个次数不超出多项式,所以只可能相差一个常数因子,固可表示成:利用得:于是 所以满足 插值多项式可表示为:从而次拉格朗日插值多项式为:2.3算法程序function yy=nalagr(x,y,xx)m=length(x);n=length(y);if m=n,error(向量x和y长
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