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(完整word版)现代数字信号处理复习题2014汇总
现代数字信号处理技术复习题
一、填空题
1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。
判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：
（1）x(t)的均值为与时间无关的常数： （C为常数） ；
（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：；
（3）信号的瞬时功率有限，即：。
高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪声信号。
信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。
广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。

2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E定义为：

其功率P定义为：

离散随机信号f(n)在区间上的能量E定义为：

其功率P定义为：
注意:(1)如果信号的能量0<E<∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。
(2)如果信号的功率0<P<∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。
3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。
4、对平稳随机信号，其自相关函数为，自协方差函数为，
（1）当时，有：= ，＝。
（2）当时，有：= ，＝。
5、高斯－马尔可夫随机信号的自相关函数的一般表达式可表示为: 。
6、高斯–马尔可夫信号的自相关函数为，其均值 ，均方值 ,方差。其一阶概率密度函数的表达式为： 。
注意：（1）
（2）一阶高斯随机信号的概率密度函数为：，
式中，
7、求的功率谱的一般表达式为:。
8、由Wold分解定理推论可知，任何或序列均可用 无限阶的惟一MA模型MA(∞) 来表示。
9、经典功率谱估计的方法主要有 周期图法(直接法) 和 相关图法(间接法) 两大类。对经典谱估计方法的改进措施主要有: 。
10、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指： 在最小均方误差（MMSE）准则下，误差e(n)与每一个输入样本x(n-k)都是正交的 。
11、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越大，收敛速度越 快 ；最小特征值越小，收敛速度越 慢 。
12、谱估计的分辨率是指 估计值保证真实谱中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力 ，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是 窗函数的主瓣宽度。
注意：主瓣越宽，分辨率越低。
13、 统计检测理论是利用 信号 与 噪声 的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论，主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题。
14、信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号和 波形 的确定问题。
15、在二元假设检验中，如果发送端发送为H1，而检测为H0，则成为 ，发送端发送H0，而检测为H1，则称为 。
16、若滤波器的冲激响应时无限长，称为 滤波器，反之，称为 滤波器。若滤波器的输出到达 最大信噪比 成为 匹配 滤波器；若使输出滤波器的 均方估计误差 为最小，称为 维纳 滤波器。
17、在参量估计中，所包含的转换空间有 参量空间 和 观测空间。
18、在谱估计中，由 经典谱估计 和 现代谱估计 组成了完整的谱估计。
19、如果系统为一个稳定系统，则在Z变换中，零极点的分布应在 单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中，零极点的分布应在 左边平面。
20.统计检测理论是利用 信号 与 噪声 的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论。
21.主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题
22.信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号参量 和 波形 的确定问题。
23.在二元假设检验中，如果发送端发送为H1，而检测为H0，则成为 漏警 ，发送端发送H0，而检测为H1，则称为 虚警 。
24.若滤波器的冲激响应时无限长，称为 IIR 滤波器，反之，称为 FIR 滤波器
25.若滤波器的输出到达 最大信噪比 成为 匹配 滤波器；若使输出滤波器的 均方估计误差 为最小，称为 维纳 滤波器。
26.在参量估计中，所包含的转换空间有 参量空间 和 观测空间
27.在谱估计中，有 经典谱估计 和 现代谱估计 组成了完整的谱估计。
28.如果系统为一个稳定系统，则在Z变换中，零极点的分布应在 单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中，零极点的分布应在 左边平面。
29. 一般采用（ 协方差函数 或者 自相关函数 ）和（ 偏相关函数 ）这两个统计量对AR/MA/ARMA三种模型进行识别：如果（ 偏相关函数 ）是截尾的，则说明该时间序列适于用AR模型建模。
30. Cramer-Rao不等式是用于描述估计量有效性下限的重要公式，对一个估计量进行估计的最小方差是（）。该不等式可借用Fisher信息量加以描述，请给出Fisher信息量的数学表达式
（）。
31. 在信号检测常用的四种准则中，（ Bayes最小风险准则 ）主要是考虑发生错误给判决造成的代价最小，因此该准则必须需要知道（ 先验概率 ）和（ 代价函数 ）这两个应用条件。
32. 在小波分析中，高小波尺度反映的是信号（ 低 ）（高还是低？）频段频率。

二、问答题
1、 什么叫能量信号？什么叫功率信号？
答：（1）
（2）
2、 什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？
答：（1）具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。
（2）对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。
注意：因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。也就是说，因果系统的响应不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
3、 如何判断一个线性时不变系统是稳定的？
答：一个线性时不变系统是稳定的充要条件：
（1）充分性：如果成立，对有界的输入，输出也是有界的；
（2）必要性：如果系统稳定，成立。
4、 强平稳随机信号和广义平稳随机信号是如何定义的？
答：（1）

（2）

5、 对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。
答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

6、 试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。
答：

7、 什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？
答：假设估计量为（可以是均值、方差、自相关函数等），它的估计值为，如果，则称为的无偏估计，否则称为有偏估计；
定义估计的偏差为：，如果估计值不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋近于真实的估计量，即：，则称估计值为渐近无偏估计。
8、 请写出ARMA的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。
答：（1）ARMA的数学模型表达式：

式中，为常数，
（2）该模型的电路框图如下所示：

9、 请写出AR的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。
答：（1）AR的数学模型表达式:

（2）该模型的电路框图如下所示：

注意：AR模型又称全极点模型。
10、请写出MA的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。
答：（1）MA的数学模型表达式:

（2）该模型的电路框图如下所示：

注意：MA模型又称全零点模型。
11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？
答：谱估计的分辨率是指估计值保证真实谱中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度,主瓣越宽，分辨率越低。
12、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。
答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。
（2）此方法的具体步骤是：
①给出观察序列，估计出自相关函数：

②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：

式中，一般取，为一个窗函数，通常可取矩形窗。
可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。
13、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？
答：（1）AR谱估计的基本原理是：
阶的AR模型表示为：
其自相关函数满足以下YW方程：

取，可得到如下矩阵方程：

在实际计算中，已知长度为N的序列，可以估计其自相关函数，再利用以上矩阵方程，直接求出参数及，于是可求出的功率谱的估计值。
（2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：

14、Burg算法有什么特点？
答：(1)不需要估计自相关函数,而是从数据直接求解；
(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；
(3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当；
(4)Burg算法估计的参数满足，即求出的AR模型总是稳定的；
(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。
15、试简要说明设计维纳滤波器的一种方法。
答：如果设计的滤波器是线性非时变的，并按照最小均方误差准则来设计，得到的滤波器即是维纳滤波器。

16、在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条件下使用极大极小准则？什么条件下使用Neyman-Pearson准则？
答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson准则。

17、在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？
答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变量），即 或等于被估计量的真值（非随机参量） ，则称为的无偏估计。渐进无偏估计：若,称为的渐进无偏估计。

18、 卡尔曼滤波器是什么？
答：卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。这个系统可用包含正交状态变量的微分方程模型来描述，这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。

19、 在现代信号处理中，对信号的处理通常是给出一个算法，对一个算法性能的评价，应从那些方面进行评价。
答：算法的复杂度，算法的稳定性和现有算法的比较，算法的运算速度、可靠性、算法的收敛速度。

20、 在自适应做小均方算法（LMS）中，学校不错或者自适应步长以LMS算法的性能存在非常密切的关系，在实际应用中，如何选择该参数，以提高其LMS算法的性能？
答：大的学校步长能够提高滤波器的收敛速度，但稳定性能就会降低，反之，为了提高稳态性能而采用小的学习速率时，收敛就会慢，因此，学习步长的选择应该兼顾稳态性能与收敛速度，简单而有效的方法就是在不同的迭代时间使用不同的学习步长，采用时变得学习速率。在暂态即过渡阶段使用大的学习步长，而在稳态使用小的学习步长。
21、 什么是噪声？产生的原因是什么？
答：有色噪声是功率谱密度Pn(w) 常数的噪声。产生的原因主要有：实际的噪声源与接收机的检测器之间可能存在一个或者几个具有某种形状通带的部件，如天线和射频滤波器等，使白噪声通过以后，产生频谱的再分布，形成有色噪声。在有用信号以外，接收信号中可能还还有一个具有高斯特征的干扰信号，如在雷达和声纳系统中往往就是一个干扰目标。
22、 为什么在高阶信号处理中，常常采用高阶累积量，而不采用高阶矩？
答：因为高阶累积量有如下性质：
1） 半不变性，若随机变量{Ei}和yi}统计独立，则累积量具有半不变性，即：cum（E1+y1,…..Ek+yk）= cum(E1,……,Ek) + cum(y1,……,yk),但高阶矩一般没有半不变性。
2） 如果K歌随机变量{E1,…..Ek}的一个子集同其他部分独立，则cum(E1,……,Ek)=0，mom(E1,……,Ek)0.

23.在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条件下使用极大极小准则？什么条件下使用24.Neyman-Pearson准则？
答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson准则。
25.在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？
答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变量），即 或等于被估计量的真值（非随机参量） ，则称为的无偏估计。
渐进无偏估计：若,称为的渐进无偏估计。
26.在现代信号处理中，对信号的处理通常是给出一个算法，对一个算法性能的评价，应从那些方面进行评价。
答：算法的复杂度，算法的稳定性和现有算法的比较，算法的运算速度、可靠性、算法的收敛速度。
27.在自适应做小均方算法（LMS）中，学校不错或者自适应步长以LMS算法的性能存在非常密切的关系，在实际应用中，如何选择该参数，以提高其LMS算法的性能？
答：大的学校步长能够提高滤波器的收敛速度，但稳定性能就会降低，反之，为了提高稳态性能而采用小的学习速率时，收敛就会慢，因此，学习步长的选择应该兼顾稳态性能与收敛速度，简单而有效的方法就是在不同的迭代时间使用不同的学习步长，采用时变得学习速率。在暂态即过渡阶段使用大的学习步长，而在稳态使用小的学习步长。
28.短时Fourier变换、小波变换和Gabor变换都是时频信号分析的（线性变换）或（线性时频）表示，而Wigner-Ville分布则属于时频信号分析的（非线性变换）。
29. 简述小波变换的概念及其优点。
答：小波变换从基函数角度出发，吸取傅里叶变换中的三角基(进行频率分析)与短时傅里叶变换中的时移窗函数的特点，形成振荡、衰减的基函数，因为它的定义域有限，故称为小波。小波基函数是时间t、尺度因子a和时移参数b的函数。
小波变换的优点：
⑴小波分解可以覆盖整个频域（提供了一个数学上完备的描述）。
⑵小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性。
⑶小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）。
⑷小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）。
30. 相对于Mallat塔形算法而言，第二代小波方法的优势在哪里？
答：1.它不依赖于傅里叶变换，完全在时域中完成对双正交小波的构造，具有结构化设计和自适应构造方面的有点2.构造方法灵活，可以从一些简单的小波函数，通过提升改善小波函数的特性，从而构造出具有期望特性的小波3.不再是某一给定小波函数的伸缩和平移，它适合于不等间隔采样问题的小波构造4.算法简单，运算速度快，占用内存少，执行效率高，可以分析任意长度的信号。
31.EMD方法在机械设备故障诊断中的应用有（机车轮对轴承损伤定量识别方法）、（烟气轮机摩擦故障诊断）。
32. 随机信号特点？
答：随机信号也称随机过程，随机信号在任何时间的取值都是不能先验证确定的随机变量。虽然随机信号取值不能先验证确定，但这些取值却服从某种统计规律，换言之，随机信号或过程可以用概率分布特点（简称统计性能）统计的描述。
33. 简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。 
答:功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。  功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。
34.自适应滤波方法主要是基于几种基本理论再融合递推算法导出来的？
答：（1） 基于维纳滤波理论的方法 。基于维纳滤波原理，利用相关的瞬时值通过在工作过程中的逐步调整参数逼近信号的统计特性，实现最优滤波。由此得到一种最常用的算法——最小均方算法，简称LMS算法
（2） 基于卡尔曼滤波理论的方法 。利用卡尔曼滤波理论的递推求解法导出自适应滤波器更新权矢量得不同递推算法。
（3） 基于最小二乘准则的方法。最小二乘估计算法是以最小误差平方和为优化目标的。根据滤波器的实现结构，有自适应递归最小二乘法（RLS），自适应最小二乘格型算法，QR分解最小二乘算法三种算法。
（4） 基于神经网络理论的方法。
35. 数字信号处理与模拟信号处理比较：
1模拟通信的优点是直观且容易实现，但存在两个主要缺点：保密性差；抗干扰能力弱。
2数字通信 （1）数字化传输与交换的优点：加强了通信的保密性；提高了抗干扰能力；可构建综合数字通信网 （2）数字化通信的缺点:占用频带较宽；技术要求复杂；进行模数转换时会带来量化误差。
36. 基于归零化峰度的信号分类与基于归一化峰度的信号分类分别有哪些？
答：基于归零化峰度的信号分类：
（1） 峰度等于零的信号为高斯信号；
（2） 峰度小于零的信号为亚高斯信号；
（3） 峰度大于零的信号为超高斯信号；
基于归一化峰度的信号分类：
（1） 归一化峰度等于3的实信号为高斯信号；
（2） 归一化峰度小于3的实信号为亚高斯信号；
（3） 归一化峰度大于3的实信号为超高斯信号；
37. 最大似然估计具有哪些性质？
答：（1）最大似然估计一般不是无偏的，但其偏差可以通过对估计值乘某个合适的常熟加以消除;
(2) 最大似然估计是一致估计；
(3) 最大似然估计给出优效估计，如果它存在的话；
(4) 对于大的,最大似然估计为一高斯分布，并且其均值为、方差为

38. 信号的频域分析有哪几种方法？举一个倒频谱应用的例子。
答：1、信号的频谱分析；2、相干分析；3、频谱细化分析；4、倒频谱分析；5、信号调制与解调分析；6、时间序列建模与自回归谱分析；7、全息谱理论和方法。
语音和回声分析及解卷积：振源或声源信号往往受到传递系统（或途径）影响，采用倒频谱分析技术可以分离和提取源信号与传递系统影响，有利于对问题本质的研究。
39. 什么是循环平稳信号？循环相关解调分析的作用是什么？
答：具有周期时变的联合概率密度函数；且存在从一阶到N阶的各阶时变统计量（如），并且他们都是时间周期函数，这样的信号称为N阶循环平稳信号。
循环相关解调分析可以有效分离出信号中的调制源和载波源、识别混频信息，具有较强的噪声抑制特性。
40.从Fourier变换到小波变换的三个阶段：
*）信号加窗；**）基加窗；***）小波基；
⑴ Fourier变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号的Fourier变换

表示信号的频谱。正是Fourier变换的这种重要的物理意义，决定了Fourier变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的。所以，随着应用范围的逐步扩大和理论分析的不断深入，Fourier变换的局限性就渐渐展示出来了：
首先，从理论上说，为了由Fourier变换研究一个时域信号的频谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息，以致于包括将来的信息；
其次，Fourier变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力。但是，在许多实际应用中，畸变正是我们所关心的信号在局部范围内的特征；
再次，Fourier变换不能反映信号在局部时间范围内和局部频带上的谱信息分析，或称为局部化时-频分析，而这正是许多实际应用最感兴趣的问题之一；
最后，因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，因而要给进行分析的一个灵活多变的时间和频率的“窗口”，使其在“中心频率(或称为平均频率、主频)”高的地方，时间窗自动变窄，而在“中心频率”低的地方，时间窗应自动变宽。
⑵ 时间加窗：Gabor在1946年的论文中，为了提取信号的局部信息，这包括时间和频率两方面的局部信息，引入了一个时间局部化的“窗口函数”，其中参数用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。
Gabor变换继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时，它克服了Fourier变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，大大地改进了Fourier变换的分析能力，为信号处理提供了一种新的分析和处理工具，即信号的时-频分析。
Gabor变换的技术、工程含义：由于我们对信号一段时间内的谱感兴趣，就采用信号加窗技术，从本质上来讲还是用谱分析技术去分析信号，属于工程、技术上的方法。这种方法可能在这个问题中有效，在另外的问题中是否有效还是未知数。
⑶ 基加窗：其变换的表达形式与信号加窗一样，但是蕴含的意义却发生重大的改变。在基加窗变换中对信号没有任何限制，只对分析用的基进行处理（加窗）。反映了对基本处理工具的加工，将信号加窗这种技术方法变为了一般的数学方法，应用范围更广，更一般化。
⑷ 小波基：在前面，对一组基用窗函数作用得到局部化的基，这是不得已而为之。以前，使用Fourier基，应用范围有限，Fourier基的缺点很明显，如Fourier基是严格周期函数，在许多实际问题的处理中，如对某段范围内的信号进行处理，使其缺点表现得更为明显。基加窗的目的使信号限制在分析范围内。在基加窗基础上，对基的处理进一步一般化，将基和窗函数两部分看作一个整体，不对基作任何限制，只说明其具有哪些性质。这种方法体现了一般分析问题的方式，把复杂的信号投影到结构简单、清晰、且具有一定联系的一组基上。是一种科学思想的体现。
41.Shannon小波的计算：
*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波；
⑴ Shannon采样定理：设信号，如果存在B>0，使
a.e.
这里是f(x)的Fourier变换，则称f(x)是B频率截断的，这时，只要采样间隔，信号f(x)按间隔进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列可按如下公式构造原信号

上式称为Shannon插值公式。
⑵采样定理与尺度函数
尺度函数为：
⑶ 写出Shannon小波的时域和频域表达式
频域形式为

在时间域可表示为

这就是一个Shannon小波。
⑷ 写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波

定义函数

则

这时，函数族

是中的标准正交函数族。构造

必生成的闭子空间，。可以验证是上的一个正交多分辨分析，这就是Shannon的多分辨分析。事实上，这里的闭子空间可以具体写成

，即由那些截止频率不超过的能量有限的信号组成。
这时，双尺度方程可由Shannon插值公式表示为

故系数列为

因此，构造方程的系数可写成

由构造方程得到相应的正交小波函数为

在构造过程中涉及到的低通滤波器是

高通滤波器是

相应的矩阵

也是酉矩阵。
为了得到正交小波函数，利用频域计算比较方便。实际上，正交小波函数的频域形式可写成

于是，利用Fourier变换的性质可得

它和前面的Shannon小波函数相比较，只是在时间轴上有半个单位的移动。但是，它们是完全不同的两个Shannon小波。因为，它们生成空间的两个正交小波基是没有相同基函数的。
42.说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；
⑴ 直接说明Haar小波是正交小波
Haar小波是法国数学家A.Haar在二十世纪三十年代给出的。具体定义是

对任意，有

以为例进行验证，如下图所示

即，函数族

构成函数空间的标准正交基，所以，Haar函数h(x)是正交小波，称为Haar小波。

⑵定义函数:

它是的特征函数，构造

生成的闭子空间，。容易验证，是上的一个正交多分辨分析，这就是Haar的多分辨分析。实际上，这里的闭子空间具有如下的具体表表达形式

即由能量有限的台阶函数组成，这些台阶函数的跳跃点至多出现在这样的点上，其中是任意整数。因为函数族

是标准正交系，从而它必是的标准正交基。这时，双尺度方程是

因此，，所以，，这样得到如下构造方程

是一个正交小波，容易看出，她与前面的Haar小波函数相差一个符号。构造过程中相应的低通滤波器是

高通滤波器是

而且

是酉矩阵

43.从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？
答：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。

44.简述基于卡尔曼滤波理论的方法。
答： 为使自适应滤波器能工作在工作在平稳或非平稳的环境，可以借助于卡尔曼滤波器来推导自适应滤波算法。卡尔曼滤波是线性无偏最小方差递推滤波，估计性能是最优的，且递推计算形式又能适应实时处理的需要对于一个线性动态系统的卡尔曼滤波问题，可以用状态方程和测量方程来描述，前者以状态矢量刻画系统的动态，后者描述系统中的测量误差。
假设研究离散线性动态系统的N维参数的状态矢量为，M维观察数据的测量矢量为，通常矢量和都是随机变量，由他们表示系统模型的状态方程和测量分别为
（1）
（2）
其中为系统在和时刻的状态转移矩阵，为已知的测量矩阵
系统动态噪声和观察噪声的统计特性为
， （3）
， （4）
（5）
“H”表示共轭转置；当n=k，=1，当n≠k，=0；噪声矢量和统计独立的。根据观察数据的测量矢量…，可求出系统状态的线性无偏最小方差估计。当时，这种最佳估计问题成为卡尔曼滤波；当时，则称为最优预测；两者之间存在密切的关系。
45.什么叫白噪声?
答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大。
46.若为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数具有那些常用性质？在计算其功率谱时有什么作用？
答：（1）具有如下常用性质：
（a）
（b）=，是实偶函数；
（c）||；
（d）若是周期为T的周期函数，即=，则；
（e）若是不含周期分量的非周期过程，当时，与相互独立，则 。
（2）若，根据辛钦—维纳定理
=
自相关函数和功率谱是一对傅里叶变换对。
47.什么叫白噪声?
答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大。
48.简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。
信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。
功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。
49.在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ采样，然后对采到的N个抽样做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ能有一根谱线，于是他用8KHZ采样，对采到的2N个样点做2N点DFT。问：他的目的能达到吗？
答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。
提高采样频率 ， 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率总是对应模拟频率 。采样频率由到2 增加一倍，也增加一倍，但模拟频率的采样间隔 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率 ，不能提高模拟频率的分辨率。

50.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？
解：在 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。
在 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。
51.什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？
答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。

52.已知LTI系统的传输函数为h（t），输入是实平稳随机过程X（t），输出是Y（t），求三者间的关系？
解：平稳随机过程经过LTI系统输出还是平稳随机过程，所以

其中是卷积运算。

52.常用的自适应滤波理论与算法有哪些？
从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。
常用的自适应滤波理论与算法有：
（1）、基于维纳滤波理论的方法。
（2）、基于卡尔曼滤波理论的方法。
（3）、基于最小均方误差准则的方法。
（4）、基于最小二乘准则的方法。

53.简述自适应信号处理技术的应用
自适应滤波处理技术可以用来检测平稳的和非平稳的随机信号。常应用于：
（1）、自适应滤波与逆滤波。
（2）、系统辨识。
（3）、自适应均衡。
（4）、自适应回波抵消。
（5）、自适应噪声抵消与谱线增强。
（6）、自适应谱估计。
（7）、自适应波束形成。
（8）、自适应神经智能信息处理。
（9）、盲自适应信号处理。
54.自适应滤波器的特点及应用范围
答：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。
55.卡尔曼滤波和维纳滤波的关系及存在的问题。
答：卡尔曼滤波有一个过渡过程，而在稳态下与维纳滤波有相同的结果，是因为它们都是以最小均方误差为准则的线性估计器。卡尔曼滤波与维纳滤波中解决最佳滤波的方法也不相同。维纳滤波是用频域及传递函数的方法，而卡尔曼滤波是用时域及状态变量的方法，在理论上是维纳滤波的推广和发展，特别是在处理多变量系统，时变线性系统及非线性系统的最佳滤波等领域，提供了一种比较有效的方法，克服了基于频域处理所遇到的困难。困难包括：维纳滤波要求平稳，而卡尔曼滤波则不要求；他容许初始时间不是负无穷大，这在很多情况下是有实际意义的；卡尔曼滤波的另一个不同点是把状态或信号过程的产生看成是白噪声激励有限维数系统的输出；此外，维纳滤波要求过程的自相关函数和互关函数的简单(先验)知识，而卡尔曼滤波则要求时域中状态变量及信号产生过程的详细知识。卡尔曼滤波在时域上采用线性递推形式对观测值进行处理，能实时地给出系统状态的最优估计，并突破了单维输入和输出的限制。卡尔曼滤波算法的这些优点使它在信号和信息系统中得到了比较广泛的应用。卡尔曼滤波算法在具体应用中也存在一些实际问题，包括：
　　（1）模型误差和数值发散。
即使能够获得精确的模型，也常会因精确模型太复杂，维数过高而与实时处理必须减少计算量及尽量简化模型的要求相矛盾。近似或化简的模型与精确模型之间存在误差，模型误差必然会给滤波带来影响，严重时还会造成滤波结果不收敛。
2）实时要求。
　　影响卡尔曼滤波算法的实时性主要是状态维数n和增益矩阵的计算，它们往往有很大的计算量。一般在计算中采取某些措施，例如应用定常系统新算法或在精度损失允许的情况下尽量减少维数等到措施，从而减少计算量以满足实时滤波的要求。

56.卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波具有以下的特点：
答：(1) 算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。
(2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的， 即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。
(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。
57.关于维纳滤波器的两个主要结论是什么？
①维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：（1）输入向量的自相关矩阵；（2）输入向量与期望响应的互相关向量。
②维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。
58.分别解释“滤波”和“预测”。
解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号y(n)=（n）称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号 ,N≥0,称为预测。

59.介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。
解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近